Bereite zunächst einmal das leere Baumdiagramm vor. Die Form erfährst du aus dem Text oder aus dem Teilergebnis. Auf der ersten Stufe wird nach Region und nicht aus der Region unterschieden ($R$ und $\overline{R}$), auf der zweiten Stufe nach Tageskarte und Dauerkarte($T$und $D$) und auf der dritten nach beanspruchtem Zusatzangebot oder nicht ($Z$ und $\overline{Z}$).

Unten siehst du das fertige Baumdiagramm. Woher die Zahlen kommen, kannst du in der zu der grauen Zahl gehörenden Anmerkung unter dem Bild nachlesen.

1. Aus Text: „...80 % der Befragten [...] nicht aus der Region...“

2. Die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgeht, ist immer 1 bzw 100%

3. Aus Text: „Drei Viertel der Befragten aus der Region besitzen eine Dauerkarte“

4. Aus Text: „Nicht aus der Region stammende Befragte [...] zu 90% Tageskarte...“

5. Aus Text: "Unabhängig davon, ob Befragte mit Tageskarte aus der Region kommen oder nicht, nehmen sie zu 60 % [...] kostenpflichtiges Zusatzangebot [...]" $\rightarrow$ Wahrscheinlichkeit bei beiden Knoten $T$ zu Knoten $Z$

6. Aus Text: "Befragten mit Dauerkarte aus der Region nutzen nur 10 % [...] Zusatzangebot..."

7. Aus Text: "Der Anteil der Befragten, die nicht aus der Region kommen, eine Dauerkarte kaufen und mindestens ein kostenpflichtiges Zusatzangebot nutzen, beträgt 4%." $\rightarrow$ Es handelt sich nicht um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, also keine Wahrscheinlichkeit entlang des Pfades, sondern die Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses $\overline{R}\cap D\cap Z$

8. Mithilfe der Pfadregeln kann eine Gleichung aufgestellt und gelöst werden (siehe unten)

9. Mithilfe der Pfadregeln können die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse berechnet werden (siehe unten)

Zu 8.:

zu 9.:

1 Mengenschreibweise und stochastische Unabhängigkeit

In den günstigen Tupeln muss entweder R oder T oder beides enthalten sein:

$E_1=\left\{\left(R;T;Z\right);\left(R;T;\overline{Z}\right);\left(R;D;Z\right);\left(R;D;\overline{Z}\right);\ \left(\overline{R};T;Z\right);\left(\overline{R};T;\overline{Z}\right)\right\}$

Um zu zeigen, dass zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, überprüft man die Gültigkeit folgender Formel:

$P\left(E_1\cap E_2\right)=P\left(E_1\right)\cdot P\left(E_2\right)$

Bestimme also zunächst die einzelnen Mengen und Wahrscheinlichkeiten. Addiere dazu die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse aus der vorherigen Aufgabe zusammen (2. Pfadregel).

$P\left(E_1\right)=0{,}03+0{,}02+0{,}015+0{,}135+0{,}432+0{,}288=0{,}92$

$P\left(E_2\right)=0{,}03+0{,}015+0{,}432+0{,}04=0{,}517$

Um $P\left(E_1\cap E_2\right)$ zu bestimmen, notiere dir erstmal die Schnittmenge $E_1\cap E_2$ in aufzählender Mengenschreibweise:

$E_1\cap E_2=\left\{\left(R;T;Z\right);\left(R;D;Z\right);\left(\overline{R};T;Z\right)\right\}$

$P\left(E_1\cap E_2\right)=0{,}03+0{,}015+0{,}432=0{,}477$

Setze nun alle Wahrscheinlichkeiten in die Formel ein:

Die Ereignisse sind also stochastisch abhängig.

$E_3$ im Sachzusammenhang

Vereinfache zuerst die angegebene Menge mithilfe der de Morganschen Regel:

$E_3=\overline{E_1\cup E_2}=\overline{E_1}\cap\overline{E_2}$

Beschreibe nun jeweils $\overline{E_1}$ und $\overline{E_2}$ in Worten:

$\overline{E_1}$: "Ein zufällig ausgewählter Besucher kommt nicht aus der Region und hat eine Dauerkarte."

(zunächst $E_2$ in Worten, da du dort bisher nur die Menge kennst: "Ein zufällig ausgewählter Besucher nutzt ein Zusatzangebot.")

$\overline{E_2}$: "Ein zufällig ausgewählter Besucher nutzt kein Zusatzangebot"

Nun kannst du dir die Schnittmenge dieser beiden Ereignisse anschauen:

$\overline{E_1}\cap\overline{E_2}$: "Ein zufällig ausgewählter Besucher kommt nicht aus der Region, besitzt eine Dauerkarte und nutzt kein Zusatzangebot."