Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:

$\vec n_1 =\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec n_2 =\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$und $\vec n_3 =\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$

Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen nicht identisch oder parallel zueinander sind.

$\vec{n}_{E_1}\ne k_1\cdot\vec{n}_{E_2}$, $\vec{n}_{E_1}\ne k_2\cdot\vec{n}_{E_3}$ und $\vec{n}_{E_2}\ne k_3\cdot\vec{n}_{E_3}$

In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.

Der Normalenvektor $\vec n_{E_3}$ der Ebene $E_3$ ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren $\vec n_{E_1}$ und $\vec n_{E_2}$ darstellbar: $\vec n_{E_3}=2\cdot \vec n_{E_2}-1\cdot\vec n_{E_1}$.

Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.

Schnittgeraden

$E_1\cap E_2$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_1$ und $E_2$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&0\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&4\\\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&1\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&4\end{array}$

Rechne $\mathrm{I}-\mathrm{II}$$\;\Rightarrow\;-x_1+x_2=0$$\;\Rightarrow\;x_1=x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\;\Rightarrow\;x_1=r$

Löse Gleichung $\mathrm{II}$ nach $x_3$ auf und setze $x_1=r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$x_1=0+1\cdot r$

$x_2=0+1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$

$x_3=4-2\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{12}$ hat folgende Gleichung:

$g_{12}:\;\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} $

Die drei Schnittgeraden $g_{12}$, $g_{13}$ und $g_{23}$ sind identisch.

Alle drei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Die Schnittgerade hat die Gleichung: