Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen E1:2x2+x3=4, E2:x1+x2+x3=4 und E3:2x1+x3=4 einnehmen.
Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:
n1=021, n2=111und n3=201
Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen nicht identisch oder parallel zueinander sind.
nE1=k1⋅nE2, nE1=k2⋅nE3 und nE2=k3⋅nE3
In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.
Der Normalenvektor nE3 der Ebene E3 ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren nE1 und nE2 darstellbar: nE3=2⋅nE2−1⋅nE1.
Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.
Schnittgeraden
E1∩E2
Betrachte die Ebenengleichungen E1 und E2:
III0⋅x11⋅x1++2⋅x21⋅x2++1⋅x31⋅x3==44
Rechne I−II⇒−x1+x2=0⇒x1=x2
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x2=r⇒x1=r
Löse Gleichung II nach x3 auf und setze x1=r und x2=r ein:
1⋅x1+1⋅x2+1⋅x3 | = | 4 | −1⋅x1−1⋅x2 |
↓ | Löse nach x3 auf. | ||
x3 | = | 4−1⋅x1−1⋅x2 | |
↓ | Setze x1=r und x2=r ein. | ||
x3 | = | 4−1⋅r−1⋅r | |
↓ | Fasse zusammen. | ||
x3 | = | 4−2r |
Untereinander geschrieben:
x1=0+1⋅r
x2=0+1⋅r⇒x1x2x3=004+r⋅11−2
x3=4−2⋅r
Die Schnittgerade g12 hat folgende Gleichung:
g12:x=004+r⋅11−2
Die drei Schnittgeraden g12, g13 und g23 sind identisch.
Alle drei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Die Schnittgerade hat die Gleichung: