Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:

${\vec{n}}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\; n\_1\; =\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 2\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$, ${\vec{n}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\; n\_2\; =\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$und ${\vec{n}}_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\; n\_3\; =\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 0\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$

Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen nicht identisch oder parallel zueinander sind.

${\vec{n}}_{E_1}\mathrm{\ne }{k}_1\cdot {\vec{n}}_{E_2}\backslash vec\{n\}\_\{E\_1\}\backslash ne\; k\_1\backslash cdot\backslash vec\{n\}\_\{E\_2\}$, ${\vec{n}}_{E_1}\mathrm{\ne }{k}_2\cdot {\vec{n}}_{E_3}\backslash vec\{n\}\_\{E\_1\}\backslash ne\; k\_2\backslash cdot\backslash vec\{n\}\_\{E\_3\}$ und ${\vec{n}}_{E_2}\mathrm{\ne }{k}_3\cdot {\vec{n}}_{E_3}\backslash vec\{n\}\_\{E\_2\}\backslash ne\; k\_3\backslash cdot\backslash vec\{n\}\_\{E\_3\}$

In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.

Der Normalenvektor ${\vec{n}}_{E_3}\backslash vec\; n\_\{E\_3\}$ der Ebene $E_{3}E\_3$ ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren ${\vec{n}}_{E_1}\backslash vec\; n\_\{E\_1\}$ und ${\vec{n}}_{E_2}\backslash vec\; n\_\{E\_2\}$ darstellbar: ${\vec{n}}_{E_3}=2\cdot {\vec{n}}_{E_2}-1\cdot {\vec{n}}_{E_1}\backslash vec\; n\_\{E\_3\}=2\backslash cdot\; \backslash vec\; n\_\{E\_2\}-1\backslash cdot\backslash vec\; n\_\{E\_1\}$.

Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.

Schnittgeraden

$E{\text{}}_1\cap E_{2}E\_1\backslash cap\; E\_2$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}E\_1$ und $E_{2}E\_2$:

Rechne $\mathrm{I}-\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}-\backslash mathrm\{II\}$$\Rightarrow -x_1+x_2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;-x\_1+x\_2=0$$\Rightarrow x_1=x_2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_1=x\_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\Rightarrow x_1=rx\_2=r\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_1=r$

Löse Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ nach $x_{3}x\_3$ auf und setze $x_1=rx\_1=r$ und $x_2=rx\_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$x_1=0+1\cdot rx\_1=0+1\backslash cdot\; r$

$x_2=0+1\cdot r\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)x\_2=0+1\backslash cdot\; r\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash begin\{pmatrix\}x\_1\backslash \backslash x\_2\backslash \backslash x\_3\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 0\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 1\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}$

$x_3=4-2\cdot rx\_3=4-2\backslash cdot\; r$

Die Schnittgerade $g_{12}g\_\{12\}$ hat folgende Gleichung:

$g_{12}:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)\text{}g\_\{12\}:\backslash ;\backslash vec\; x=\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 0\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 1\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}\; $

Die drei Schnittgeraden $g_{12}g\_\{12\}$, $g_{13}g\_\{13\}$ und $g_{23}g\_\{23\}$ sind identisch.

Alle drei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Die Schnittgerade hat die Gleichung: