Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:

$\vec n_1 =\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}$, $\vec n_2 =\begin{pmatrix}-1{,}5\\2\\-1\end{pmatrix}$und $\vec n_3 =\begin{pmatrix}4{,}5\\-6\\3\end{pmatrix}$

Untersuche die Normalenvektoren auf Parallelität. Es gilt:

$(-2)\cdot \vec n_2 =\vec n_1$, $\left(\frac{2}{3}\right)\cdot\vec{n}_3=\vec{n}_1$ und $(-3)\cdot \vec n_2 =\vec n_3$

Die Normalenvektoren sind Vielfache voneinander.  Dies hat zur Folge, dass die Ebenen identisch oder parallel zueinander sind.

Betrachte nun die Ebenengleichungen $E_1$ und $E_2$. Hier gilt:

Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor $(-2)$. Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind $6$ und $(-2)$, d.h. hier gilt der Faktor $(-3)$. Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist $E_1​\neq a⋅E_2$​. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.

Betrachte jetzt die Ebenengleichungen $E_1$ und $E_3$. Hier gilt:

Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor $(\frac{2}{3})$. Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind $6$ und $12$, d.h. hier gilt der Faktor $\left(\frac{1}{2}\right)$. Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist $E_1​\neq b⋅E_3$​. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.

Für die Ebenengleichungen $E_2$ und $E_3$ gilt:

Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor $(-3)$. Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind $(-2)$ und $12$, d.h. hier gilt der Faktor $(-6)$. Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist $E_3\neq c⋅E_2$​. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.

Ergebnis: Es handelt sich um drei zueinander echt parallele Ebenen.

Weitere Untersuchungen sind nicht erforderlich.

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:

$\vec n_1 =\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec n_2 =\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$und $\vec n_3 =\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$

Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen nicht identisch oder parallel zueinander sind.

$\vec{n}_{E_1}\ne k_1\cdot\vec{n}_{E_2}$, $\vec{n}_{E_1}\ne k_2\cdot\vec{n}_{E_3}$ und $\vec{n}_{E_2}\ne k_3\cdot\vec{n}_{E_3}$

In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.

Der Normalenvektor $\vec n_{E_3}$ der Ebene $E_3$ ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren $\vec n_{E_1}$ und $\vec n_{E_2}$ darstellbar: $\vec n_{E_3}=2\cdot \vec n_{E_2}-1\cdot\vec n_{E_1}$.

Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.

Schnittgeraden

$E_1\cap E_2$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_1$ und $E_2$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&0\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&4\\\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&1\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&4\end{array}$

Rechne $\mathrm{I}-\mathrm{II}$$\;\Rightarrow\;-x_1+x_2=0$$\;\Rightarrow\;x_1=x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\;\Rightarrow\;x_1=r$

Löse Gleichung $\mathrm{II}$ nach $x_3$ auf und setze $x_1=r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$x_1=0+1\cdot r$

$x_2=0+1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$

$x_3=4-2\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{12}$ hat folgende Gleichung:

$g_{12}:\;\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} $

Die drei Schnittgeraden $g_{12}$, $g_{13}$ und $g_{23}$ sind identisch.

Alle drei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Die Schnittgerade hat die Gleichung:

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:

$\vec n_1 =\begin{pmatrix}-2\\6\\-4\end{pmatrix}$, $\vec n_2=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$ ​und $\vec n_3 =\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}​$

Der Normalenvektor $\vec n_1$ ist ein Vielfaches des Normalenvektors $\vec{n}_3$.

$\vec{n}_1= (-2)\cdot \vec{n}_3$

Dies hat zur Folge, dass die Ebenen $E_1$ und $E_3$ parallel sind. Sie sind aber nicht identisch, da $E_1 \ne a\cdot E_3$ ist.

Weiterhin gilt:

Der Normalenvektor $\vec{n}_{E_2}$ ist kein Vielfaches der anderen beiden Normalenvektoren:

$\vec{n}_{E_2}\ne k_1\cdot\vec{n}_{E_1}$​​ und $\vec{n}_{E_2}\ne k_2\cdot\vec{n}_{E_3}$

Die Ebene $E_2$ ist somit nicht parallel zu den beiden anderen Ebenen. Sie schneidet diese beiden Ebenen in zwei Schnittgeraden.

Berechnung der beiden Schnittgeraden

Erste Schnittgerade $g_{12}\;$: $E_1\cap E_2​$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_1$​ und $E_2$​:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&-2\cdot x_1&+&6\cdot x_2&-&4\cdot x_3&=&4\\\mathrm{II}&3\cdot x_1&-&1\cdot x_2&+&2\cdot x_3&=&6\end{array}$

Rechne $\mathrm{I}+2\cdot\mathrm{II}\;\Rightarrow\;4x_1+4x_2=16$$\;\Rightarrow\;x_1=4-x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\;\Rightarrow\;x_1=4-r$

Löse Gleichung $\mathrm{II}$ nach $x_3$​ auf und setze $x_1=4-r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$x_1=4-1\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\\​ x_3=-3+2\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{12}$​ hat folgende Gleichung:

Zweite Schnittgerade $g_{12}\;$: $E_2\cap E_3​$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_2$​ und $E_3$​:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{II}&3\cdot x_1&-&1\cdot x_2&+&2\cdot x_3&=&6\\\mathrm{III}&1\cdot x_1&-&3\cdot x_2&+&2\cdot x_3&=&2\end{array}$

Rechne $\mathrm{II}-\mathrm{III}\;\Rightarrow\;2x_1+2x_2=4$$\;\Rightarrow\;x_1=2-x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\;\Rightarrow\;x_1=2-r$

Löse Gleichung $\mathrm{II}$ nach $x_3$​ auf und setze $x_1=2-r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$x_1=2-1\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\\​ x_3=0+2\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{23}$​ hat folgende Gleichung:

Die Richtungsvektoren der beiden Schnittgeraden sind identisch. Somit sind die beiden Schnittgeraden parallel zueinander. Aber die beiden Geraden sind nicht identisch.

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Dazu wird zuerst die Ebene $E_3$ in die Koordinatenform umgewandelt.

Berechne das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene $E_3$

$\vec n=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}$und setze in die Normalenform ein:

Die umgewandelte Ebenengleichung der Ebene $E_3$ lautet:

$E_3:\;4\cdot x_1-2\cdot x_2+x_3=4$

Betrachte nun die Normalenvektoren der drei Ebenen:

$\vec n_1 =\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$, $\vec n_2=\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}$ ​und $\vec n_3 =\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}​$

Die Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander, d.h. die Ebenen sind nicht parallel (und damit auch nicht identisch). Demnach müssen sich die Ebenen schneiden.

Berechnung der Schnittgeraden

Erste Schnittgerade $g_{12}:\;E_1\cap E_2​$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_1$​ und $E_2$​:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2\cdot x_1&+&1\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&2\\\mathrm{II}&3\cdot x_1&+&4\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&4\end{array}$

Rechne $\mathrm{II}-\mathrm{I}\;\Rightarrow\;x_1+3\cdot x_2=2$$\;\Rightarrow\;x_1=2-3\cdot x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\;\Rightarrow\;x_1=2-3\cdot r$

Löse Gleichung $\mathrm{II}$ nach $x_3$​ auf und setze $x_1=2-3\cdot r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$x_1=2-3\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\5\end{pmatrix}\\​ x_3=-2+5\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{12}$​ hat folgende Gleichung:

Zweite Schnittgerade $g_{23}:\;E_2\cap E_3​$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_2$​ und $E_3$​:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{II}&3\cdot x_1&+&4\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&4\\\mathrm{III}&4\cdot x_1&-&2\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&4\end{array}$

Rechne $\mathrm{III}-\mathrm{II}\;\Rightarrow\;x_1-6\cdot x_2=0$$\;\Rightarrow\;x_1=6\cdot x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\;\Rightarrow\;x_1=6\cdot r$

Löse Gleichung $\mathrm{III}$ nach $x_3$​ auf und setze $x_1=6\cdot r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$x_1=0+6\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}6\\1\\-22\end{pmatrix}\\​ x_3=4-22\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{23}$​ hat folgende Gleichung:

Dritte Schnittgerade $g_{13}:\;E_1\cap E_3​$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_1$​ und $E_3$​:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2\cdot x_1&+&1\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&2\\\mathrm{III}&4\cdot x_1&-&2\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&4\end{array}$

Rechne $\mathrm{III}-\mathrm{II}\;\Rightarrow\;2\cdot x_1-3\cdot x_2=2$$\;\Rightarrow\;x_1=1+1{,}5\cdot x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\;\Rightarrow\;x_1=1+1{,}5\cdot r$

Löse Gleichung $\mathrm{III}$ nach $x_3$​ auf und setze $x_1=1+1{,}5\cdot r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$x_1=1+1{,}5\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1{,}5\\1\\-4\end{pmatrix}\\​ x_3=0-4\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{13}$​ hat folgende Gleichung:

Schneiden sich die 3 Ebenen eventuell in einem Punkt?

Betrachte dazu das lineare Gleichungssystem, das aus den drei Ebenengleichungen besteht:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2\cdot x_1&+&1\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=2\\\mathrm{II}&3\cdot x_1&+&4\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=4\\\mathrm{III}&4\cdot x_1&-&2\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=4\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{ccc|c}2&1&1&2\\3&4&1&4\\4&-2&1&4\end{array}\right)$

Zur leichten Anwendung des Gaußverfahrens wird die $3.$ Spalte zur $1.$ Spalte.

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&2\\1&3&4&4\\1&4&-2&4\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot II - 1 \cdot I}}{\underset{\mathrm{1 \cdot III - 1 \cdot I}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&2\\0&1&3&2\\0&2&-3&2\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot III - 2 \cdot II}}\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&2\\0&1&3&2\\0&0&-9&-2\end{array}\right)$

Dann folgt aus der letzten Zeile: $-9\cdot x_2=-2\;\Rightarrow\;x_2=\dfrac{2}{9}$

In der letzten Matrix lautet die $2.$ Zeile:

In der letzten Matrix lautet die $1.$ Zeile:

Das lineare Gleichungssystem hat die Lösung:

Die drei Ebenen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt $S(\frac{4}{3}|\frac{2}{9}|-\frac{8}{9})$.

Anmerkung: Wenn man die $3$ Schnittgeraden miteinander schneidet, stellt man fest, dass sie sich auch im Punkt $S$ schneiden (siehe auch obige Abbildung). Der Rechenaufwand ist dabei allerdings größer als bei der Lösung des LGS.

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte die Normalenvektoren der drei Ebenen:

$\vec n_1 =\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$, $\vec n_2=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ ​und $\vec n_3 =\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}​$

Die drei Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander.

Die drei Ebenen sind nicht parallel zueinander, d.h. die Ebenen schneiden sich.

Haben die drei Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt?

Das lineare Gleichungssystem wird mit dem Gauß-Verfahren gelöst:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&1\cdot x_1&+&3\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=5\\\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&0\cdot x_3&=2\\\mathrm{III}&1\cdot x_1&-&2\cdot x_2&-&4\cdot x_3&=3\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{ccc|c}1&3&1&5\\1&2&0&2\\1&-2&-4&3\end{array}\right)$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \left(\begin{array}{ccc|c}1&3&1&5\\1&2&0&2\\1&-2&-4&3\end{array}\right)&\underrightarrow{\mathrm{II}-\mathrm{I}}&\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 1 & -2 &-4 & 3 \end{array}\right) \\ \\ \left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 1 & -2 &-4 & 3 \end{array}\right) &\underrightarrow{\mathrm{III}-\mathrm{I}}&\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 0 & -5 &-5 & -2 \end{array}\right) \end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 0 & -5 &-5 & -2 \end{array}\right)&\underrightarrow{(-5)\cdot\mathrm{II}+\mathrm{III}}&\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 0 & 0 &0 & 13 \end{array}\right)\end{array}$

Die letzte Zeile besagt, dass das LGS keine Lösung hat. Es gibt also keinen gemeinsamen Schnittpunkt der drei Ebenen und die drei Ebenen schneiden sich auch nicht in einer gemeinsamen Geraden. Vielmehr gibt es drei Schnittgeraden, die nachfolgend berechnet werden.

Berechnung der Schnittgeraden

$g_{12}:E_1\cap E_2​$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_1$​ und $E_2$​:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&1\cdot x_1&+&3\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&5\\\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&0\cdot x_3&=&2\end{array}$

Rechne $\mathrm{I}-\mathrm{II}\;\Rightarrow\;x_2+x_3=3$$\;\Rightarrow\;x_2=3-x_3$