Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen
Mit diesen Übungsaufgaben lernst du, die Lagebeziehung von Ebenen rechnerisch zu überprüfen.
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Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen E1:3x1−4x2+2x3=6, E2:−1,5x1+2x2−x3=−2 und E3:4,5x1−6x2+3x3=12 einnehmen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen
Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:
n1=3−42, n2=−1,52−1und n3=4,5−63
Untersuche die Normalenvektoren auf Parallelität. Es gilt:
(−2)⋅n2=n1, (32)⋅n3=n1 und (−3)⋅n2=n3
Die Normalenvektoren sind Vielfache voneinander. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen identisch oder parallel zueinander sind.
Betrachte nun die Ebenengleichungen E1 und E2. Hier gilt:
Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor (−2). Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind 6 und (−2), d.h. hier gilt der Faktor (−3). Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist E1=a⋅E2. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.
Betrachte jetzt die Ebenengleichungen E1 und E3. Hier gilt:
Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor (32). Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind 6 und 12, d.h. hier gilt der Faktor (21). Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist E1=b⋅E3. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.
Für die Ebenengleichungen E2 und E3 gilt:
Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor (−3). Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind (−2) und 12, d.h. hier gilt der Faktor (−6). Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist E3=c⋅E2. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.
Ergebnis: Es handelt sich um drei zueinander echt parallele Ebenen.
Weitere Untersuchungen sind nicht erforderlich.
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Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen E1:2x2+x3=4, E2:x1+x2+x3=4 und E3:2x1+x3=4 einnehmen.
Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:
n1=021, n2=111und n3=201
Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen nicht identisch oder parallel zueinander sind.
nE1=k1⋅nE2, nE1=k2⋅nE3 und nE2=k3⋅nE3
In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.
Der Normalenvektor nE3 der Ebene E3 ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren nE1 und nE2 darstellbar: nE3=2⋅nE2−1⋅nE1.
Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.
Schnittgeraden
E1∩E2
Betrachte die Ebenengleichungen E1 und E2:
III0⋅x11⋅x1++2⋅x21⋅x2++1⋅x31⋅x3==44
Rechne I−II⇒−x1+x2=0⇒x1=x2
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x2=r⇒x1=r
Löse Gleichung II nach x3 auf und setze x1=r und x2=r ein:
1⋅x1+1⋅x2+1⋅x3 = 4 −1⋅x1−1⋅x2 ↓ Löse nach x3 auf.
x3 = 4−1⋅x1−1⋅x2 ↓ Setze x1=r und x2=r ein.
x3 = 4−1⋅r−1⋅r ↓ Fasse zusammen.
x3 = 4−2r Untereinander geschrieben:
x1=0+1⋅r
x2=0+1⋅r⇒x1x2x3=004+r⋅11−2
x3=4−2⋅r
Die Schnittgerade g12 hat folgende Gleichung:
g12:x=004+r⋅11−2
Die drei Schnittgeraden g12, g13 und g23 sind identisch.
Alle drei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Die Schnittgerade hat die Gleichung:
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Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen E1:−2x1+6x2−4x3=4, E2:3x1−x2+2x3=6 und E3:x1−3x2+2x3=2 einnehmen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen
Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:
n1=−26−4, n2=3−12 und n3=1−32
Der Normalenvektor n1 ist ein Vielfaches des Normalenvektors n3.
n1=(−2)⋅n3
Dies hat zur Folge, dass die Ebenen E1 und E3 parallel sind. Sie sind aber nicht identisch, da E1=a⋅E3 ist.
Weiterhin gilt:
Der Normalenvektor nE2 ist kein Vielfaches der anderen beiden Normalenvektoren:
nE2=k1⋅nE1 und nE2=k2⋅nE3
Die Ebene E2 ist somit nicht parallel zu den beiden anderen Ebenen. Sie schneidet diese beiden Ebenen in zwei Schnittgeraden.
Berechnung der beiden Schnittgeraden
Erste Schnittgerade g12: E1∩E2
Betrachte die Ebenengleichungen E1 und E2:
III−2⋅x13⋅x1+−6⋅x21⋅x2−+4⋅x32⋅x3==46
Rechne I+2⋅II⇒4x1+4x2=16⇒x1=4−x2
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x2=r⇒x1=4−r
Löse Gleichung II nach x3 auf und setze x1=4−r und x2=r ein:
3⋅x1−x2+2⋅x3 = 6 −3⋅x1+x2 2⋅x3 = 6−3⋅x1+x2 ↓ Setze x1=4−r und x2=r ein.
2⋅x3 = 6−3⋅(4−r)+r ↓ Löse die Klammer auf.
2⋅x3 = 6−12+3⋅r+r ↓ Fasse zusammen.
2⋅x3 = −6+4⋅r :2 x3 = −3+2⋅r Untereinander geschrieben:
x1=4−1⋅rx2=0+1⋅r⇒x1x2x3=40−3+r⋅−112x3=−3+2⋅r
Die Schnittgerade g12 hat folgende Gleichung:
Zweite Schnittgerade g12: E2∩E3
Betrachte die Ebenengleichungen E2 und E3:
IIIII3⋅x11⋅x1−−1⋅x23⋅x2++2⋅x32⋅x3==62
Rechne II−III⇒2x1+2x2=4⇒x1=2−x2
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x2=r⇒x1=2−r
Löse Gleichung II nach x3 auf und setze x1=2−r und x2=r ein:
3⋅x1−x2+2⋅x3 = 6 −3⋅x1+x2 2⋅x3 = 6−3⋅x1+x2 ↓ Setze x1=2−r und x2=r ein.
2⋅x3 = 6−3⋅(2−r)+r ↓ Löse die Klammer auf.
2⋅x3 = 6−6+3⋅r+r ↓ Vereinfache.
2⋅x3 = 4⋅r :2 x3 = 2⋅r Untereinander geschrieben:
x1=2−1⋅rx2=0+1⋅r⇒x1x2x3=200+r⋅−112x3=0+2⋅r
Die Schnittgerade g23 hat folgende Gleichung:
Die Richtungsvektoren der beiden Schnittgeraden sind identisch. Somit sind die beiden Schnittgeraden parallel zueinander. Aber die beiden Geraden sind nicht identisch.
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Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen
E1:2x1+x2+x3=2, E2:3x1+4x2+x3=4 und E3:X=100+r⋅120+s⋅012 einnehmen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen
Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Dazu wird zuerst die Ebene E3 in die Koordinatenform umgewandelt.
Berechne das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene E3
n=120×012=4−21und setze in die Normalenform ein:
E:(X−A)∘n = 0 ↓ Setze A=100 und n=4−21 ein.
X−100∘4−21 = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
4⋅x1−2⋅x2+x3−4 = 0 4⋅x1−2⋅x2+x3 = 4 Die umgewandelte Ebenengleichung der Ebene E3 lautet:
E3:4⋅x1−2⋅x2+x3=4
Betrachte nun die Normalenvektoren der drei Ebenen:
n1=211, n2=341 und n3=4−21
Die Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander, d.h. die Ebenen sind nicht parallel (und damit auch nicht identisch). Demnach müssen sich die Ebenen schneiden.
Berechnung der Schnittgeraden
Erste Schnittgerade g12:E1∩E2
Betrachte die Ebenengleichungen E1 und E2:
III2⋅x13⋅x1++1⋅x24⋅x2++1⋅x31⋅x3==24
Rechne II−I⇒x1+3⋅x2=2⇒x1=2−3⋅x2
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x2=r⇒x1=2−3⋅r
Löse Gleichung II nach x3 auf und setze x1=2−3⋅r und x2=r ein:
3⋅x1+4⋅x2+x3 = 4 −3⋅x1−4⋅x2 x3 = 4−3⋅x1−4⋅x2 ↓ Setze x1=2−3⋅r und x2=r ein.
x3 = 4−3⋅(2−3⋅r)−4⋅r ↓ Löse die Klammer auf.
x3 = 4−6+9⋅r−4⋅r ↓ Fasse zusammen.
x3 = −2+5⋅r Untereinander geschrieben:
x1=2−3⋅rx2=0+1⋅r⇒x1x2x3=20−2+r⋅−315x3=−2+5⋅r
Die Schnittgerade g12 hat folgende Gleichung:
Zweite Schnittgerade g23:E2∩E3
Betrachte die Ebenengleichungen E2 und E3:
IIIII3⋅x14⋅x1+−4⋅x22⋅x2++1⋅x31⋅x3==44
Rechne III−II⇒x1−6⋅x2=0⇒x1=6⋅x2
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x2=r⇒x1=6⋅r
Löse Gleichung III nach x3 auf und setze x1=6⋅r und x2=r ein:
4⋅x1−2⋅x2+x3 = 4 −4⋅x1+2⋅x2 x3 = 4−4⋅x1+2⋅x2 ↓ Setze x1=6⋅r und x2=r ein.
x3 = 4−4⋅6⋅r+2⋅r ↓ Fasse zusammen.
x3 = 4−22⋅r Untereinander geschrieben:
x1=0+6⋅rx2=0+1⋅r⇒x1x2x3=004+r⋅61−22x3=4−22⋅r
Die Schnittgerade g23 hat folgende Gleichung:
Dritte Schnittgerade g13:E1∩E3
Betrachte die Ebenengleichungen E1 und E3:
IIII2⋅x14⋅x1+−1⋅x22⋅x2++1⋅x31⋅x3==24
Rechne III−II⇒2⋅x1−3⋅x2=2⇒x1=1+1,5⋅x2
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x2=r⇒x1=1+1,5⋅r
Löse Gleichung III nach x3 auf und setze x1=1+1,5⋅r und x2=r ein:
4⋅x1−2⋅x2+x3 = 4 −4⋅x1+2⋅x2 x3 = 4−4⋅x1+2⋅x2 ↓ Setze x1=1+1,5⋅r und x2=r ein
x3 = 4−4⋅(1+1,5⋅r)+2⋅r ↓ Löse die Klammer auf.
= 4−4−6⋅r+2⋅r ↓ Fasse zusammen.
x3 = −4⋅r Untereinander geschrieben:
x1=1+1,5⋅rx2=0+1⋅r⇒x1x2x3=100+r⋅1,51−4x3=0−4⋅r
Die Schnittgerade g13 hat folgende Gleichung:
Schneiden sich die 3 Ebenen eventuell in einem Punkt?
Betrachte dazu das lineare Gleichungssystem, das aus den drei Ebenengleichungen besteht:
IIIIII2⋅x13⋅x14⋅x1++−1⋅x24⋅x22⋅x2+++1⋅x31⋅x31⋅x3=2=4=4→23414−2111244
Zur leichten Anwendung des Gaußverfahrens wird die 3. Spalte zur 1. Spalte.
11123414−22441⋅III−1⋅I⟶1⋅II−1⋅I10021213−3222⟶1⋅III−2⋅II10021013−922−2
BeachteDie Spalten wurden vertauscht Achte bei den folgenden Rechnungen auf die geänderte Reihenfolge der Variablen:
.
Dann folgt aus der letzten Zeile: −9⋅x2=−2⇒x2=92
In der letzten Matrix lautet die 2. Zeile:
x1+3⋅x2 = 2 −3⋅x2 ↓ Löse nach x1 auf.
x1 = 2−3⋅x2 ↓ Setze x2=92 ein.
x1 = 2−3⋅92 x1 = 34 In der letzten Matrix lautet die 1. Zeile:
1⋅x3+2⋅x1+1⋅x2 = 2 −2⋅x1−1⋅x2 ↓ Löse nach x3 auf.
x3 = 2−2⋅x1−1⋅x2 ↓ Setze x1=34 und x2=92 ein.
x3 = 2−2⋅34−1⋅92 x3 = 2−38−92 ↓ Erweitere auf den Nenner 9.
= 918−924−92 ↓ Fasse zusammen.
x3 = −98 Das lineare Gleichungssystem hat die Lösung:
Die drei Ebenen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt S(34∣92∣−98).
Anmerkung: Wenn man die 3 Schnittgeraden miteinander schneidet, stellt man fest, dass sie sich auch im Punkt S schneiden (siehe auch obige Abbildung). Der Rechenaufwand ist dabei allerdings größer als bei der Lösung des LGS.
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Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen E1:x1+3x2+x3=5, E2:x1+2x2=2 und E3:x1−2x2−4x3=3 einnehmen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen
Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Betrachte die Normalenvektoren der drei Ebenen:
n1=131, n2=120 und n3=1−2−4
Die drei Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander.
Die drei Ebenen sind nicht parallel zueinander, d.h. die Ebenen schneiden sich.
Haben die drei Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt?
Das lineare Gleichungssystem wird mit dem Gauß-Verfahren gelöst:
IIIIII1⋅x11⋅x11⋅x1++−3⋅x22⋅x22⋅x2++−1⋅x30⋅x34⋅x3=5=2=3→11132−210−4523
11132−210−45231013−1−21−1−45−33II−IIII−I1013−1−21−1−45−331003−1−51−1−55−3−2
1003−1−51−1−55−3−2(−5)⋅II+III1003−101−105−313
Die letzte Zeile besagt, dass das LGS keine Lösung hat. Es gibt also keinen gemeinsamen Schnittpunkt der drei Ebenen und die drei Ebenen schneiden sich auch nicht in einer gemeinsamen Geraden. Vielmehr gibt es drei Schnittgeraden, die nachfolgend berechnet werden.
Berechnung der Schnittgeraden
g12:E1∩E2
Betrachte die Ebenengleichungen E1 und E2:
III1⋅x11⋅x1++3⋅x22⋅x2++1⋅x30⋅x3==52
Rechne I−II⇒x2+x3=3⇒x2=3−x3
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x3=r⇒x2=3−r
Löse Gleichung I nach x1 auf und setze x2=3−r und x3=r ein:
1⋅x1+3⋅x2+1⋅x3 = 5 −3⋅x2−1⋅x3 ↓ Löse nach x1 auf.
x1 = 5−3⋅x2−1⋅x3 ↓ Setze x2=3−r und x3=r ein
x1 = 5−3⋅(3−r)−r ↓ Löse die Klammer auf.
x1 = 5−9+3⋅r−r ↓ Fasse zusammen.
x1 = −4+2⋅r Untereinander geschrieben:
x1=−4+2⋅rx2=3−1⋅r⇒x1x2x3=−430+r⋅2−11x3=0+1⋅r
Die Schnittgerade g12 hat folgende Gleichung:
g13:E1∩E3
Betrachte die Ebenengleichungen E1 und E3:
IIII1⋅x11⋅x1+−3⋅x22⋅x2+−1⋅x34⋅x3==53
Rechne I−III⇒5x2+5x3=2⇒x2=0,4−x3
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x3=r⇒x2=0,4−r
Löse Gleichung III nach x1 auf und setze x2=0,4−r und x3=r ein:
1⋅x1−2⋅x2−4⋅x3 = 3 +2⋅x2+4⋅x3 ↓ Löse nach x1 auf.
x1 = 3+2⋅x2+4⋅x3 ↓ Setze x2=0,4−r und x3=r ein.
x1 = 3+2⋅(0,4−r)+4⋅r ↓ Löse die Klammer auf.
x1 = 3+0,8−2⋅r+4⋅r ↓ Fasse zusammen.
x1 = 3,8+2⋅r Untereinander geschrieben:
x1=3,8+2⋅rx2=0,4−1⋅r⇒x1x2x3=3,80,40+r⋅2−11x3=0+1⋅r
Die Schnittgerade g13 hat folgende Gleichung:
g23:E2∩E3
Betrachte die Ebenengleichungen E2 und E3:
IIIII1⋅x11⋅x1+−2⋅x22⋅x2+−0⋅x34⋅x3==23
Rechne II−III⇒4x2+4x3=−1⇒x2=−0,25−x3
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x3=r⇒x2=−0,25−r
Löse Gleichung II nach x1 auf und setze x2=−0,25−r und x3=r ein:
1⋅x1+2⋅x2+0⋅x3 = 2 −2⋅x2 x1 = 2−2⋅x2 ↓ Setze x2=−0,25−r ein.
x1 = 2−2⋅(−0,25−r) ↓ Fasse zusammen
x1 = 2,5+2⋅r Untereinander geschrieben:
x1=2,5+2⋅rx2=−0,25−1⋅r⇒x1x2x3=2,5−0,250+r⋅2−11x3=0+1⋅r
Die Schnittgerade g23 hat folgende Gleichung:
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