Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen
Untersuchung auf Parallelität oder Identität Betrachte die Normalenvektoren der drei Ebenen:
n ⃗ 1 = ( 1 3 1 ) \vec n_1 =\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix} n 1 = 1 3 1 n ⃗ 2 = ( 1 2 0 ) \vec n_2=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} n 2 = 1 2 0 n ⃗ 3 = ( 1 − 2 − 4 ) \vec n_3 =\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix} n 3 = 1 − 2 − 4
Die drei Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander.
Die drei Ebenen sind nicht parallel zueinander, d.h. die Ebenen schneiden sich.
Haben die drei Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt? Das lineare Gleichungssystem wird mit dem Gauß-Verfahren gelöst:
I 1 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 3 = 5 I I 1 ⋅ x 1 + 2 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x 3 = 2 I I I 1 ⋅ x 1 − 2 ⋅ x 2 − 4 ⋅ x 3 = 3 → ( 1 3 1 5 1 2 0 2 1 − 2 − 4 3 ) \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&1\cdot x_1&+&3\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=5\\\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&0\cdot x_3&=2\\\mathrm{III}&1\cdot x_1&-&2\cdot x_2&-&4\cdot x_3&=3\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{ccc|c}1&3&1&5\\1&2&0&2\\1&-2&-4&3\end{array}\right) I II III 1 ⋅ x 1 1 ⋅ x 1 1 ⋅ x 1 + + − 3 ⋅ x 2 2 ⋅ x 2 2 ⋅ x 2 + + − 1 ⋅ x 3 0 ⋅ x 3 4 ⋅ x 3 = 5 = 2 = 3 → 1 1 1 3 2 − 2 1 0 − 4 5 2 3
( 1 3 1 5 1 2 0 2 1 − 2 − 4 3 ) I I − I → ( 1 3 1 5 0 − 1 − 1 − 3 1 − 2 − 4 3 ) ( 1 3 1 5 0 − 1 − 1 − 3 1 − 2 − 4 3 ) I I I − I → ( 1 3 1 5 0 − 1 − 1 − 3 0 − 5 − 5 − 2 ) \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \left(\begin{array}{ccc|c}1&3&1&5\\1&2&0&2\\1&-2&-4&3\end{array}\right)&\underrightarrow{\mathrm{II}-\mathrm{I}}&\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 1 & -2 &-4 & 3 \end{array}\right)
\\ \\
\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 1 & -2 &-4 & 3 \end{array}\right) &\underrightarrow{\mathrm{III}-\mathrm{I}}&\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 0 & -5 &-5 & -2 \end{array}\right) \end{array}
1 1 1 3 2 − 2 1 0 − 4 5 2 3 1 0 1 3 − 1 − 2 1 − 1 − 4 5 − 3 3 II − I III − I 1 0 1 3 − 1 − 2 1 − 1 − 4 5 − 3 3 1 0 0 3 − 1 − 5 1 − 1 − 5 5 − 3 − 2
( 1 3 1 5 0 − 1 − 1 − 3 0 − 5 − 5 − 2 ) ( − 5 ) ⋅ I I + I I I → ( 1 3 1 5 0 − 1 − 1 − 3 0 0 0 13 ) \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 0 & -5 &-5 & -2 \end{array}\right)&\underrightarrow{(-5)\cdot\mathrm{II}+\mathrm{III}}&\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 0 & 0 &0 & 13 \end{array}\right)\end{array} 1 0 0 3 − 1 − 5 1 − 1 − 5 5 − 3 − 2 ( − 5 ) ⋅ II + III 1 0 0 3 − 1 0 1 − 1 0 5 − 3 13
Die letzte Zeile besagt, dass das LGS keine Lösung hat. Es gibt also keinen gemeinsamen Schnittpunkt der drei Ebenen und die drei Ebenen schneiden sich auch nicht in einer gemeinsamen Geraden. Vielmehr gibt es drei Schnittgeraden, die nachfolgend berechnet werden.
Berechnung der Schnittgeraden g 12 : E 1 ∩ E 2 g_{12}:E_1\cap E_2 g 12 : E 1 ∩ E 2
Betrachte die Ebenengleichungen E 1 E_1 E 1 E 2 E_2 E 2
I 1 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 3 = 5 I I 1 ⋅ x 1 + 2 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x 3 = 2 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&1\cdot x_1&+&3\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&5\\\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&0\cdot x_3&=&2\end{array} I II 1 ⋅ x 1 1 ⋅ x 1 + + 3 ⋅ x 2 2 ⋅ x 2 + + 1 ⋅ x 3 0 ⋅ x 3 = = 5 2
Rechne I − I I ⇒ x 2 + x 3 = 3 \mathrm{I}-\mathrm{II}\;\Rightarrow\;x_2+x_3=3 I − II ⇒ x 2 + x 3 = 3 ⇒ x 2 = 3 − x 3 \;\Rightarrow\;x_2=3-x_3 ⇒ x 2 = 3 − x 3
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x 3 = r ⇒ x 2 = 3 − r x_3=r\;\Rightarrow\;x_2=3-r x 3 = r ⇒ x 2 = 3 − r
Löse Gleichung I \mathrm{I} I x 1 x_1 x 1 x 2 = 3 − r x_2=3-r x 2 = 3 − r x 3 = r x_3=r x 3 = r
1 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 3 \displaystyle 1\cdot x_1+3\cdot x_2+1\cdot x_3 1 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 3 = = = 5 \displaystyle 5 5 − 3 ⋅ x 2 − 1 ⋅ x 3 \displaystyle -3\cdot x_2-1\cdot x_3 − 3 ⋅ x 2 − 1 ⋅ x 3 ↓ Löse nach x 1 x_1 x 1
x 1 \displaystyle x_1 x 1 = = = 5 − 3 ⋅ x 2 − 1 ⋅ x 3 \displaystyle 5-3\cdot x_2-1\cdot x_3 5 − 3 ⋅ x 2 − 1 ⋅ x 3 ↓ Setze x 2 = 3 − r x_2=3-r x 2 = 3 − r x 3 = r x_3=r x 3 = r
x 1 \displaystyle x_1 x 1 = = = 5 − 3 ⋅ ( 3 − r ) − r \displaystyle 5-3\cdot(3-r)-r 5 − 3 ⋅ ( 3 − r ) − r ↓ Löse die Klammer auf.
x 1 \displaystyle x_1 x 1 = = = 5 − 9 + 3 ⋅ r − r \displaystyle 5-9+3\cdot r-r 5 − 9 + 3 ⋅ r − r ↓ Fasse zusammen.
x 1 \displaystyle x_1 x 1 = = = − 4 + 2 ⋅ r \displaystyle -4+2\cdot r − 4 + 2 ⋅ r
Untereinander geschrieben:
x 1 = − 4 + 2 ⋅ r x 2 = 3 − 1 ⋅ r ⇒ ( x 1 x 2 x 3 ) = ( − 4 3 0 ) + r ⋅ ( 2 − 1 1 ) x 3 = 0 + 1 ⋅ r x_1=-4+2\cdot r\\
x_2=3-1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\\
x_3=0+1\cdot r x 1 = − 4 + 2 ⋅ r x 2 = 3 − 1 ⋅ r ⇒ x 1 x 2 x 3 = − 4 3 0 + r ⋅ 2 − 1 1 x 3 = 0 + 1 ⋅ r
Die Schnittgerade g 12 g_{12} g 12
g 12 : X ⃗ = ( − 4 3 0 ) + r ⋅ ( 2 − 1 1 ) \displaystyle g_{12}:\;\vec X=\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix} g 12 : X = − 4 3 0 + r ⋅ 2 − 1 1
g 13 : E 1 ∩ E 3 g_{13}:E_1\cap E_3 g 13 : E 1 ∩ E 3
Betrachte die Ebenengleichungen E 1 E_1 E 1 E 3 E_3 E 3
I 1 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 3 = 5 I I I 1 ⋅ x 1 − 2 ⋅ x 2 − 4 ⋅ x 3 = 3 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&1\cdot x_1&+&3\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&5\\\mathrm{III}&1\cdot x_1&-&2\cdot x_2&-&4\cdot x_3&=&3\end{array} I III 1 ⋅ x 1 1 ⋅ x 1 + − 3 ⋅ x 2 2 ⋅ x 2 + − 1 ⋅ x 3 4 ⋅ x 3 = = 5 3
Rechne I − I I I ⇒ 5 x 2 + 5 x 3 = 2 \mathrm{I}-\mathrm{III}\;\Rightarrow\;5x_2+5x_3=2 I − III ⇒ 5 x 2 + 5 x 3 = 2 ⇒ x 2 = 0 , 4 − x 3 \;\Rightarrow\;x_2=0{,}4-x_3 ⇒ x 2 = 0 , 4 − x 3
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x 3 = r ⇒ x 2 = 0 , 4 − r x_3=r\;\Rightarrow\;x_2=0{,}4-r x 3 = r ⇒ x 2 = 0 , 4 − r
Löse Gleichung I I I \mathrm{III} III x 1 x_1 x 1 x 2 = 0 , 4 − r x_2=0{,}4-r x 2 = 0 , 4 − r x 3 = r x_3=r x 3 = r
1 ⋅ x 1 − 2 ⋅ x 2 − 4 ⋅ x 3 \displaystyle 1\cdot x_1-2\cdot x_2-4\cdot x_3 1 ⋅ x 1 − 2 ⋅ x 2 − 4 ⋅ x 3 = = = 3 \displaystyle 3 3 + 2 ⋅ x 2 + 4 ⋅ x 3 \displaystyle +2\cdot x_2+4\cdot x_3 + 2 ⋅ x 2 + 4 ⋅ x 3 ↓ Löse nach x 1 x_1 x 1
x 1 \displaystyle x_1 x 1 = = = 3 + 2 ⋅ x 2 + 4 ⋅ x 3 \displaystyle 3+2\cdot x_2+4\cdot x_3 3 + 2 ⋅ x 2 + 4 ⋅ x 3 ↓ Setze x 2 = 0 , 4 − r x_2=0{,}4-r x 2 = 0 , 4 − r x 3 = r x_3=r x 3 = r
x 1 \displaystyle x_1 x 1 = = = 3 + 2 ⋅ ( 0 , 4 − r ) + 4 ⋅ r \displaystyle 3+2\cdot (0{,}4-r)+4\cdot r 3 + 2 ⋅ ( 0 , 4 − r ) + 4 ⋅ r ↓ Löse die Klammer auf.
x 1 \displaystyle x_1 x 1 = = = 3 + 0 , 8 − 2 ⋅ r + 4 ⋅ r \displaystyle 3+0{,}8-2\cdot r+4\cdot r 3 + 0 , 8 − 2 ⋅ r + 4 ⋅ r ↓ Fasse zusammen.
x 1 \displaystyle x_1 x 1 = = = 3 , 8 + 2 ⋅ r \displaystyle 3{,}8+2\cdot r 3 , 8 + 2 ⋅ r
Untereinander geschrieben:
x 1 = 3 , 8 + 2 ⋅ r x 2 = 0 , 4 − 1 ⋅ r ⇒ ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 3 , 8 0 , 4 0 ) + r ⋅ ( 2 − 1 1 ) x 3 = 0 + 1 ⋅ r x_1=3{,}8+2\cdot r\\
x_2=0{,}4-1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}8\\0{,}4\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\\
x_3=0+1\cdot r x 1 = 3 , 8 + 2 ⋅ r x 2 = 0 , 4 − 1 ⋅ r ⇒ x 1 x 2 x 3 = 3 , 8 0 , 4 0 + r ⋅ 2 − 1 1 x 3 = 0 + 1 ⋅ r
Die Schnittgerade g 13 g_{13} g 13
g 13 : X ⃗ = ( 3 , 8 0 , 4 0 ) + r ⋅ ( 2 − 1 1 ) \displaystyle g_{13}:\;\vec X=\begin{pmatrix}3{,}8\\0{,}4\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix} g 13 : X = 3 , 8 0 , 4 0 + r ⋅ 2 − 1 1 g 23 : E 2 ∩ E 3 g_{23}:E_2\cap E_3 g 23 : E 2 ∩ E 3
Betrachte die Ebenengleichungen E 2 E_2 E 2 E 3 E_3 E 3
I I 1 ⋅ x 1 + 2 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x 3 = 2 I I I 1 ⋅ x 1 − 2 ⋅ x 2 − 4 ⋅ x 3 = 3 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&0\cdot x_3&=&2\\\mathrm{III}&1\cdot x_1&-&2\cdot x_2&-&4\cdot x_3&=&3\end{array} II III 1 ⋅ x 1 1 ⋅ x 1 + − 2 ⋅ x 2 2 ⋅ x 2 + − 0 ⋅ x 3 4 ⋅ x 3 = = 2 3
Rechne I I − I I I ⇒ 4 x 2 + 4 x 3 = − 1 \mathrm{II}-\mathrm{III}\;\Rightarrow\;4x_2+4x_3=-1 II − III ⇒ 4 x 2 + 4 x 3 = − 1 ⇒ x 2 = − 0 , 25 − x 3 \;\Rightarrow\;x_2=-0{,}25-x_3 ⇒ x 2 = − 0 , 25 − x 3
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x 3 = r ⇒ x 2 = − 0 , 25 − r x_3=r\;\Rightarrow\;x_2=-0{,}25-r x 3 = r ⇒ x 2 = − 0 , 25 − r
Löse Gleichung I I \mathrm{II} II x 1 x_1 x 1 x 2 = − 0 , 25 − r x_2=-0{,}25-r x 2 = − 0 , 25 − r x 3 = r x_3=r x 3 = r
1 ⋅ x 1 + 2 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x 3 \displaystyle 1\cdot x_1+2\cdot x_2+0\cdot x_3 1 ⋅ x 1 + 2 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x 3 = = = 2 \displaystyle 2 2 − 2 ⋅ x 2 \displaystyle -2\cdot x_2 − 2 ⋅ x 2 x 1 \displaystyle x_1 x 1 = = = 2 − 2 ⋅ x 2 \displaystyle 2-2\cdot x_2 2 − 2 ⋅ x 2 ↓ Setze x 2 = − 0 , 25 − r x_2=-0{,}25-r x 2 = − 0 , 25 − r
x 1 \displaystyle x_1 x 1 = = = 2 − 2 ⋅ ( − 0 , 25 − r ) \displaystyle 2-2\cdot(-0{,}25-r) 2 − 2 ⋅ ( − 0 , 25 − r ) ↓ Fasse zusammen
x 1 \displaystyle x_1 x 1 = = = 2 , 5 + 2 ⋅ r \displaystyle 2{,}5+2\cdot r 2 , 5 + 2 ⋅ r
Untereinander geschrieben:
x 1 = 2 , 5 + 2 ⋅ r x 2 = − 0 , 25 − 1 ⋅ r ⇒ ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 2 , 5 − 0 , 25 0 ) + r ⋅ ( 2 − 1 1 ) x 3 = 0 + 1 ⋅ r x_1=2{,}5+2\cdot r\\
x_2=-0{,}25-1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}5\\-0{,}25\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\\
x_3=0+1\cdot r x 1 = 2 , 5 + 2 ⋅ r x 2 = − 0 , 25 − 1 ⋅ r ⇒ x 1 x 2 x 3 = 2 , 5 − 0 , 25 0 + r ⋅ 2 − 1 1 x 3 = 0 + 1 ⋅ r
Die Schnittgerade g 23 g_{23} g 23
g 23 : X ⃗ = ( 2 , 5 − 0 , 25 0 ) + r ⋅ ( 2 − 1 1 ) \displaystyle g_{23}:\;\vec X=\begin{pmatrix}2{,}5\\-0{,}25\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix} g 23 : X = 2 , 5 − 0 , 25 0 + r ⋅ 2 − 1 1 
