Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen

Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen $E_1:\;x_1+3x_2+x_3=5$ , $E_2:\;x_1+2x_2=2$ und $E_3:\;x_1-2x_2-4x_3=3$ einnehmen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte die Normalenvektoren der drei Ebenen:

$\vec n_1 =\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$ , $\vec n_2=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ und $\vec n_3 =\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}$

Die drei Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander.

Die drei Ebenen sind nicht parallel zueinander, d.h. die Ebenen schneiden sich.

Haben die drei Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt?

Das lineare Gleichungssystem wird mit dem Gauß-Verfahren gelöst:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&1\cdot x_1&+&3\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=5\\\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&0\cdot x_3&=2\\\mathrm{III}&1\cdot x_1&-&2\cdot x_2&-&4\cdot x_3&=3\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{ccc|c}1&3&1&5\\1&2&0&2\\1&-2&-4&3\end{array}\right)$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \left(\begin{array}{ccc|c}1&3&1&5\\1&2&0&2\\1&-2&-4&3\end{array}\right)&\underrightarrow{\mathrm{II}-\mathrm{I}}&\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 1 & -2 &-4 & 3 \end{array}\right) \\ \\ \left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 1 & -2 &-4 & 3 \end{array}\right) &\underrightarrow{\mathrm{III}-\mathrm{I}}&\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 0 & -5 &-5 & -2 \end{array}\right) \end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 0 & -5 &-5 & -2 \end{array}\right)&\underrightarrow{(-5)\cdot\mathrm{II}+\mathrm{III}}&\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 0 & 0 &0 & 13 \end{array}\right)\end{array}$

Die letzte Zeile besagt, dass das LGS keine Lösung hat. Es gibt also keinen gemeinsamen Schnittpunkt der drei Ebenen und die drei Ebenen schneiden sich auch nicht in einer gemeinsamen Geraden. Vielmehr gibt es drei Schnittgeraden, die nachfolgend berechnet werden.

Berechnung der Schnittgeraden

$g_{12}:E_1\cap E_2$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{2}$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&1\cdot x_1&+&3\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&5\\\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&0\cdot x_3&=&2\end{array}$

Rechne $\mathrm{I}-\mathrm{II}\;\Rightarrow\;x_2+x_3=3$ $\;\Rightarrow\;x_2=3-x_3$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_3=r\;\Rightarrow\;x_2=3-r$

Löse Gleichung $\mathrm{I}$ nach $x_{1}$ auf und setze $x_{2} = 3 - r$ und $x_{3} = r$ ein:

$\displaystyle 1\cdot x_1+3\cdot x_2+1\cdot x_3$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle -3\cdot x_2-1\cdot x_3$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 5-3\cdot x_2-1\cdot x_3$
	↓	Setze $x_{2} = 3 - r$ und $x_{3} = r$ ein
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 5-3\cdot(3-r)-r$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 5-9+3\cdot r-r$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -4+2\cdot r$

Untereinander geschrieben:

$x_1=-4+2\cdot r\\ x_2=3-1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\\ x_3=0+1\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{12}$ hat folgende Gleichung:

\displaystyle g_{12}:\;\vec X=\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}

$g_{13}:E_1\cap E_3$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{3}$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&1\cdot x_1&+&3\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&5\\\mathrm{III}&1\cdot x_1&-&2\cdot x_2&-&4\cdot x_3&=&3\end{array}$

Rechne $\mathrm{I}-\mathrm{III}\;\Rightarrow\;5x_2+5x_3=2$ $\;\Rightarrow\;x_2=0{,}4-x_3$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_3=r\;\Rightarrow\;x_2=0{,}4-r$

Löse Gleichung $\mathrm{III}$ nach $x_{1}$ auf und setze $x_2=0{,}4-r$ und $x_{3} = r$ ein:

$\displaystyle 1\cdot x_1-2\cdot x_2-4\cdot x_3$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle +2\cdot x_2+4\cdot x_3$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 3+2\cdot x_2+4\cdot x_3$
	↓	Setze $x_2=0{,}4-r$ und $x_{3} = r$ ein.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 3+2\cdot (0{,}4-r)+4\cdot r$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 3+0{,}8-2\cdot r+4\cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 3{,}8+2\cdot r$

Untereinander geschrieben:

$x_1=3{,}8+2\cdot r\\ x_2=0{,}4-1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}8\\0{,}4\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\\ x_3=0+1\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{13}$ hat folgende Gleichung:

\displaystyle g_{13}:\;\vec X=\begin{pmatrix}3{,}8\\0{,}4\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}

$g_{23}:E_2\cap E_3$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{2}$ und $E_{3}$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&0\cdot x_3&=&2\\\mathrm{III}&1\cdot x_1&-&2\cdot x_2&-&4\cdot x_3&=&3\end{array}$

Rechne $\mathrm{II}-\mathrm{III}\;\Rightarrow\;4x_2+4x_3=-1$ $\;\Rightarrow\;x_2=-0{,}25-x_3$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_3=r\;\Rightarrow\;x_2=-0{,}25-r$

Löse Gleichung $\mathrm{II}$ nach $x_{1}$ auf und setze $x_2=-0{,}25-r$ und $x_{3} = r$ ein:

$\displaystyle 1\cdot x_1+2\cdot x_2+0\cdot x_3$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle -2\cdot x_2$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 2-2\cdot x_2$
	↓	Setze $x_2=-0{,}25-r$ ein.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 2-2\cdot(-0{,}25-r)$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 2{,}5+2\cdot r$

Untereinander geschrieben:

$x_1=2{,}5+2\cdot r\\ x_2=-0{,}25-1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}5\\-0{,}25\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\\ x_3=0+1\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{23}$ hat folgende Gleichung:

\displaystyle g_{23}:\;\vec X=\begin{pmatrix}2{,}5\\-0{,}25\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}

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