Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen

Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen $E_{1} : x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 5$ , $E_{2} : x_{1} + 2 x_{2} = 2$ und $E_{3} : x_{1} - 2 x_{2} - 4 x_{3} = 3$ einnehmen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte die Normalenvektoren der drei Ebenen:

${\vec{n}}_{1} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ , ${\vec{n}}_{2} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$ und ${\vec{n}}_{3} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array}) $

Die drei Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander.

Die drei Ebenen sind nicht parallel zueinander, d.h. die Ebenen schneiden sich.

Haben die drei Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt?

Das lineare Gleichungssystem wird mit dem Gauß-Verfahren gelöst:

$\begin{array}{ccccc} I & 1 \cdot x_{1} & + & 3 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = 5 \\ II & 1 \cdot x_{1} & + & 2 \cdot x_{2} & + & 0 \cdot x_{3} & = 2 \\ III & 1 \cdot x_{1} & - & 2 \cdot x_{2} & - & 4 \cdot x_{3} & = 3 \end{array} \to (\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & - 2 & - 4 & 3 \end{array})$

$\begin{array}{c} (\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & - 2 & - 4 & 3 \end{array}) & \underset{\to}{II - I} & (\begin{array}{rrrc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 3 \\ 1 & - 2 & - 4 & 3 \end{array}) \\ (\begin{array}{rrrc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 3 \\ 1 & - 2 & - 4 & 3 \end{array}) & \underset{\to}{III - I} & (\begin{array}{rrrc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 2 \end{array}) \end{array}$

$\begin{array}{c} (\begin{array}{rrrc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 2 \end{array}) & \underset{\to}{(- 5) \cdot II + III} & (\begin{array}{rrrc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 13 \end{array}) \end{array}$

Die letzte Zeile besagt, dass das LGS keine Lösung hat. Es gibt also keinen gemeinsamen Schnittpunkt der drei Ebenen und die drei Ebenen schneiden sich auch nicht in einer gemeinsamen Geraden. Vielmehr gibt es drei Schnittgeraden, die nachfolgend berechnet werden.

Berechnung der Schnittgeraden

$g_{12} : E_{1} \cap E_{2} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{2}$ :

$\begin{array}{ccccc} I & 1 \cdot x_{1} & + & 3 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 5 \\ II & 1 \cdot x_{1} & + & 2 \cdot x_{2} & + & 0 \cdot x_{3} & = & 2 \end{array}$

Rechne $I - II \Rightarrow x_{2} + x_{3} = 3$ $\Rightarrow x_{2} = 3 - x_{3}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{3} = r \Rightarrow x_{2} = 3 - r$

Löse Gleichung $I$ nach $x_{1}$ auf und setze $x_{2} = 3 - r$ und $x_{3} = r$ ein:

$1 \cdot x_{1} + 3 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3}$	$=$	$5$	$- 3 \cdot x_{2} - 1 \cdot x_{3}$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$x_{1}$	$=$	$5 - 3 \cdot x_{2} - 1 \cdot x_{3}$
	↓	Setze $x_{2} = 3 - r$ und $x_{3} = r$ ein
$x_{1}$	$=$	$5 - 3 \cdot (3 - r) - r$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x_{1}$	$=$	$5 - 9 + 3 \cdot r - r$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{1}$	$=$	$- 4 + 2 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = - 4 + 2 \cdot r \\ x_{2} = 3 - 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \\ x_{3} = 0 + 1 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{12}$ hat folgende Gleichung:

g_{12} : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array})

$g_{13} : E _{1} \cap E_{3} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{3}$ :

$\begin{array}{ccccc} I & 1 \cdot x_{1} & + & 3 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 5 \\ III & 1 \cdot x_{1} & - & 2 \cdot x_{2} & - & 4 \cdot x_{3} & = & 3 \end{array}$

Rechne $I - III \Rightarrow 5 x_{2} + 5 x_{3} = 2$ $\Rightarrow x_{2} = 0,4 - x_{3}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{3} = r \Rightarrow x_{2} = 0,4 - r$

Löse Gleichung $III$ nach $x_{1}$ auf und setze $x_{2} = 0,4 - r$ und $x_{3} = r$ ein:

$1 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 4 \cdot x_{3}$	$=$	$3$	$+ 2 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3}$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$x_{1}$	$=$	$3 + 2 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3}$
	↓	Setze $x_{2} = 0,4 - r$ und $x_{3} = r$ ein.
$x_{1}$	$=$	$3 + 2 \cdot (0,4 - r) + 4 \cdot r$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x_{1}$	$=$	$3 + 0,8 - 2 \cdot r + 4 \cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{1}$	$=$	$3,8 + 2 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = 3,8 + 2 \cdot r \\ x_{2} = 0,4 - 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 3,8 \\ 0,4 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \\ x_{3} = 0 + 1 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{13}$ hat folgende Gleichung:

g_{13} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 3,8 \\ 0,4 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array})

$g_{23} : E _{2} \cap E_{3} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{2}$ und $E_{3}$ :

$\begin{array}{ccccc} II & 1 \cdot x_{1} & + & 2 \cdot x_{2} & + & 0 \cdot x_{3} & = & 2 \\ III & 1 \cdot x_{1} & - & 2 \cdot x_{2} & - & 4 \cdot x_{3} & = & 3 \end{array}$

Rechne $II - III \Rightarrow 4 x_{2} + 4 x_{3} = - 1$ $\Rightarrow x_{2} = - 0,25 - x_{3}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{3} = r \Rightarrow x_{2} = - 0,25 - r$

Löse Gleichung $II$ nach $x_{1}$ auf und setze $x_{2} = - 0,25 - r$ und $x_{3} = r$ ein:

$1 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3}$	$=$	$2$	$- 2 \cdot x_{2}$
$x_{1}$	$=$	$2 - 2 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{2} = - 0,25 - r$ ein.
$x_{1}$	$=$	$2 - 2 \cdot (- 0,25 - r)$
	↓	Fasse zusammen
$x_{1}$	$=$	$2,5 + 2 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = 2,5 + 2 \cdot r \\ x_{2} = - 0,25 - 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2,5 \\ - 0,25 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \\ x_{3} = 0 + 1 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{23}$ hat folgende Gleichung:

g_{23} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2,5 \\ - 0,25 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array})

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