FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen
Untersuchung auf ParallelitÀt oder IdentitÀt Betrachte die Normalenvektoren der drei Ebenen:
n â 1 = ( 1 3 1 ) \vec n_1 =\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix} n 1 â = â 1 3 1 â â , n â 2 = ( 1 2 0 ) \vec n_2=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}n 2 â = â 1 2 0 â â âund n â 3 = ( 1 â 2 â 4 ) â \vec n_3 =\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}ân 3 â = â 1 â 2 â 4 â â â
Die drei Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander.
Die drei Ebenen sind nicht parallel zueinander, d.h. die Ebenen schneiden sich.
Haben die drei Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt? Das lineare Gleichungssystem wird mit dem GauĂ-Verfahren gelöst:
I 1 â
x 1 + 3 â
x 2 + 1 â
x 3 = 5 I I 1 â
x 1 + 2 â
x 2 + 0 â
x 3 = 2 I I I 1 â
x 1 â 2 â
x 2 â 4 â
x 3 = 3 â ( 1 3 1 5 1 2 0 2 1 â 2 â 4 3 ) \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&1\cdot x_1&+&3\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=5\\\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&0\cdot x_3&=2\\\mathrm{III}&1\cdot x_1&-&2\cdot x_2&-&4\cdot x_3&=3\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{ccc|c}1&3&1&5\\1&2&0&2\\1&-2&-4&3\end{array}\right)I II III â 1 â
x 1 â 1 â
x 1 â 1 â
x 1 â â + + â â 3 â
x 2 â 2 â
x 2 â 2 â
x 2 â â + + â â 1 â
x 3 â 0 â
x 3 â 4 â
x 3 â â = 5 = 2 = 3 â â â 1 1 1 â 3 2 â 2 â 1 0 â 4 â 5 2 3 â â
( 1 3 1 5 1 2 0 2 1 â 2 â 4 3 ) I I â I â ( 1 3 1 5 0 â 1 â 1 â 3 1 â 2 â 4 3 ) ( 1 3 1 5 0 â 1 â 1 â 3 1 â 2 â 4 3 ) I I I â I â ( 1 3 1 5 0 â 1 â 1 â 3 0 â 5 â 5 â 2 ) \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \left(\begin{array}{ccc|c}1&3&1&5\\1&2&0&2\\1&-2&-4&3\end{array}\right)&\underrightarrow{\mathrm{II}-\mathrm{I}}&\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 1 & -2 &-4 & 3 \end{array}\right)
\\ \\
\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 1 & -2 &-4 & 3 \end{array}\right) &\underrightarrow{\mathrm{III}-\mathrm{I}}&\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 0 & -5 &-5 & -2 \end{array}\right) \end{array}
â 1 1 1 â 3 2 â 2 â 1 0 â 4 â 5 2 3 â â â 1 0 1 â 3 â 1 â 2 â 1 â 1 â 4 â 5 â 3 3 â â â II â I â III â I â â â 1 0 1 â 3 â 1 â 2 â 1 â 1 â 4 â 5 â 3 3 â â â 1 0 0 â 3 â 1 â 5 â 1 â 1 â 5 â 5 â 3 â 2 â â â
( 1 3 1 5 0 â 1 â 1 â 3 0 â 5 â 5 â 2 ) ( â 5 ) â
I I + I I I â ( 1 3 1 5 0 â 1 â 1 â 3 0 0 0 13 ) \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 0 & -5 &-5 & -2 \end{array}\right)&\underrightarrow{(-5)\cdot\mathrm{II}+\mathrm{III}}&\left(\begin{array}{rrr|c}1&3&1&5\\0 & -1 & -1& -3 \\ 0 & 0 &0 & 13 \end{array}\right)\end{array}â 1 0 0 â 3 â 1 â 5 â 1 â 1 â 5 â 5 â 3 â 2 â â â ( â 5 ) â
II + III â â â 1 0 0 â 3 â 1 0 â 1 â 1 0 â 5 â 3 13 â â â
Die letzte Zeile besagt, dass das LGS keine Lösung hat. Es gibt also keinen gemeinsamen Schnittpunkt der drei Ebenen und die drei Ebenen schneiden sich auch nicht in einer gemeinsamen Geraden. Vielmehr gibt es drei Schnittgeraden, die nachfolgend berechnet werden.
Berechnung der Schnittgeraden g 12 : E 1 â© E 2 â g_{12}:E_1\cap E_2âg 12 â : E 1 â â© E 2 â â
Betrachte die Ebenengleichungen E 1 E_1E 1 â â und E 2 E_2E 2 â â:
I 1 â
x 1 + 3 â
x 2 + 1 â
x 3 = 5 I I 1 â
x 1 + 2 â
x 2 + 0 â
x 3 = 2 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&1\cdot x_1&+&3\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&5\\\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&0\cdot x_3&=&2\end{array}I II â 1 â
x 1 â 1 â
x 1 â â + + â 3 â
x 2 â 2 â
x 2 â â + + â 1 â
x 3 â 0 â
x 3 â â = = â 5 2 â
Rechne I â I I â
â â â
â x 2 + x 3 = 3 \mathrm{I}-\mathrm{II}\;\Rightarrow\;x_2+x_3=3I â II â x 2 â + x 3 â = 3 â
â â â
â x 2 = 3 â x 3 \;\Rightarrow\;x_2=3-x_3â x 2 â = 3 â x 3 â
Eine Variable ist frei wÀhlbar.
Setze x 3 = r â
â â â
â x 2 = 3 â r x_3=r\;\Rightarrow\;x_2=3-rx 3 â = r â x 2 â = 3 â r
Löse Gleichung I \mathrm{I}I  nach x 1 x_1x 1 â â auf und setze x 2 = 3 â r x_2=3-rx 2 â = 3 â r und x 3 = r x_3=rx 3 â = r  ein:
1 â
x 1 + 3 â
x 2 + 1 â
x 3 \displaystyle 1\cdot x_1+3\cdot x_2+1\cdot x_31 â
x 1 â + 3 â
x 2 â + 1 â
x 3 â = == 5 \displaystyle 55 â 3 â
x 2 â 1 â
x 3 \displaystyle -3\cdot x_2-1\cdot x_3â 3 â
x 2 â â 1 â
x 3 â â Löse nach x 1 x_1 x 1 â auf.
x 1 \displaystyle x_1x 1 â = == 5 â 3 â
x 2 â 1 â
x 3 \displaystyle 5-3\cdot x_2-1\cdot x_35 â 3 â
x 2 â â 1 â
x 3 â â Setze x 2 = 3 â r x_2=3-rx 2 â = 3 â r und x 3 = r x_3=rx 3 â = r  ein
x 1 \displaystyle x_1x 1 â = == 5 â 3 â
( 3 â r ) â r \displaystyle 5-3\cdot(3-r)-r5 â 3 â
( 3 â r ) â r â Löse die Klammer auf.
x 1 \displaystyle x_1x 1 â = == 5 â 9 + 3 â
r â r \displaystyle 5-9+3\cdot r-r5 â 9 + 3 â
r â r â Fasse zusammen.
x 1 \displaystyle x_1x 1 â = == â 4 + 2 â
r \displaystyle -4+2\cdot râ 4 + 2 â
r
Untereinander geschrieben:
x 1 = â 4 + 2 â
r x 2 = 3 â 1 â
r â
â â â
â ( x 1 x 2 x 3 ) = ( â 4 3 0 ) + r â
( 2 â 1 1 ) â x 3 = 0 + 1 â
r x_1=-4+2\cdot r\\
x_2=3-1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\\â
x_3=0+1\cdot rx 1 â = â 4 + 2 â
r x 2 â = 3 â 1 â
r â â x 1 â x 2 â x 3 â â â = â â 4 3 0 â â + r â
â 2 â 1 1 â â â x 3 â = 0 + 1 â
r
Die Schnittgerade g 12 g_{12}g 12 â â hat folgende Gleichung:
g 12 : â
â X â = ( â 4 3 0 ) + r â
( 2 â 1 1 ) \displaystyle g_{12}:\;\vec X=\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}g 12 â : X = â â 4 3 0 â â + r â
â 2 â 1 1 â â
g 13 : E ï»ż 1 â© E 3 â g_{13}:Eï»ż_1\cap E_3âg 13 â : E ï»ż 1 â â© E 3 â â
Betrachte die Ebenengleichungen E 1 E_1E 1 â â und E 3 E_3E 3 â â:
I 1 â
x 1 + 3 â
x 2 + 1 â
x 3 = 5 I I I 1 â
x 1 â 2 â
x 2 â 4 â
x 3 = 3 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&1\cdot x_1&+&3\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&5\\\mathrm{III}&1\cdot x_1&-&2\cdot x_2&-&4\cdot x_3&=&3\end{array}I III â 1 â
x 1 â 1 â
x 1 â â + â â 3 â
x 2 â 2 â
x 2 â â + â â 1 â
x 3 â 4 â
x 3 â â = = â 5 3 â
Rechne I â I I I â
â â â
â 5 x 2 + 5 x 3 = 2 \mathrm{I}-\mathrm{III}\;\Rightarrow\;5x_2+5x_3=2I â III â 5 x 2 â + 5 x 3 â = 2 â
â â â
â x 2 = 0,4 â x 3 \;\Rightarrow\;x_2=0{,}4-x_3â x 2 â = 0 , 4 â x 3 â
Eine Variable ist frei wÀhlbar.
Setze x 3 = r â
â â â
â x 2 = 0,4 â r x_3=r\;\Rightarrow\;x_2=0{,}4-rx 3 â = r â x 2 â = 0 , 4 â r
Löse Gleichung I I I \mathrm{III}III  nach x 1 x_1x 1 â â auf und setze x 2 = 0,4 â r x_2=0{,}4-rx 2 â = 0 , 4 â r und x 3 = r x_3=rx 3 â = r  ein:
1 â
x 1 â 2 â
x 2 â 4 â
x 3 \displaystyle 1\cdot x_1-2\cdot x_2-4\cdot x_31 â
x 1 â â 2 â
x 2 â â 4 â
x 3 â = == 3 \displaystyle 33 + 2 â
x 2 + 4 â
x 3 \displaystyle +2\cdot x_2+4\cdot x_3+ 2 â
x 2 â + 4 â
x 3 â â Löse nach x 1 x_1 x 1 â auf.
x 1 \displaystyle x_1x 1 â = == 3 + 2 â
x 2 + 4 â
x 3 \displaystyle 3+2\cdot x_2+4\cdot x_33 + 2 â
x 2 â + 4 â
x 3 â â Setze x 2 = 0,4 â r x_2=0{,}4-rx 2 â = 0 , 4 â r und x 3 = r x_3=rx 3 â = r  ein.
x 1 \displaystyle x_1x 1 â = == 3 + 2 â
( 0,4 â r ) + 4 â
r \displaystyle 3+2\cdot (0{,}4-r)+4\cdot r3 + 2 â
( 0 , 4 â r ) + 4 â
r â Löse die Klammer auf.
x 1 \displaystyle x_1x 1 â = == 3 + 0,8 â 2 â
r + 4 â
r \displaystyle 3+0{,}8-2\cdot r+4\cdot r3 + 0 , 8 â 2 â
r + 4 â
r â Fasse zusammen.
x 1 \displaystyle x_1x 1 â = == 3,8 + 2 â
r \displaystyle 3{,}8+2\cdot r3 , 8 + 2 â
r
Untereinander geschrieben:
x 1 = 3,8 + 2 â
r x 2 = 0,4 â 1 â
r â
â â â
â ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 3,8 0,4 0 ) + r â
( 2 â 1 1 ) â x 3 = 0 + 1 â
r x_1=3{,}8+2\cdot r\\
x_2=0{,}4-1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}8\\0{,}4\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\\â
x_3=0+1\cdot rx 1 â = 3 , 8 + 2 â
r x 2 â = 0 , 4 â 1 â
r â â x 1 â x 2 â x 3 â â â = â 3 , 8 0 , 4 0 â â + r â
â 2 â 1 1 â â â x 3 â = 0 + 1 â
r
Die Schnittgerade g 13 g_{13}g 13 â â hat folgende Gleichung:
g 13 : â
â X â = ( 3,8 0,4 0 ) + r â
( 2 â 1 1 ) \displaystyle g_{13}:\;\vec X=\begin{pmatrix}3{,}8\\0{,}4\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}g 13 â : X = â 3 , 8 0 , 4 0 â â + r â
â 2 â 1 1 â â g 23 : E ï»ż 2 â© E 3 â g_{23}:Eï»ż_2\cap E_3âg 23 â : E ï»ż 2 â â© E 3 â â
Betrachte die Ebenengleichungen E 2 E_2E 2 â â und E 3 E_3E 3 â â:
I I 1 â
x 1 + 2 â
x 2 + 0 â
x 3 = 2 I I I 1 â
x 1 â 2 â
x 2 â 4 â
x 3 = 3 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{II}&1\cdot x_1&+&2\cdot x_2&+&0\cdot x_3&=&2\\\mathrm{III}&1\cdot x_1&-&2\cdot x_2&-&4\cdot x_3&=&3\end{array}II III â 1 â
x 1 â 1 â
x 1 â â + â â 2 â
x 2 â 2 â
x 2 â â + â â 0 â
x 3 â 4 â
x 3 â â = = â 2 3 â
Rechne I I â I I I â
â â â
â 4 x 2 + 4 x 3 = â 1 \mathrm{II}-\mathrm{III}\;\Rightarrow\;4x_2+4x_3=-1II â III â 4 x 2 â + 4 x 3 â = â 1 â
â â â
â x 2 = â 0,25 â x 3 \;\Rightarrow\;x_2=-0{,}25-x_3â x 2 â = â 0 , 25 â x 3 â
Eine Variable ist frei wÀhlbar.
Setze x 3 = r â
â â â
â x 2 = â 0,25 â r x_3=r\;\Rightarrow\;x_2=-0{,}25-rx 3 â = r â x 2 â = â 0 , 25 â r
Löse Gleichung I I \mathrm{II}II  nach x 1 x_1x 1 â â auf und setze x 2 = â 0,25 â r x_2=-0{,}25-rx 2 â = â 0 , 25 â r und x 3 = r x_3=rx 3 â = r  ein:
1 â
x 1 + 2 â
x 2 + 0 â
x 3 \displaystyle 1\cdot x_1+2\cdot x_2+0\cdot x_31 â
x 1 â + 2 â
x 2 â + 0 â
x 3 â = == 2 \displaystyle 22 â 2 â
x 2 \displaystyle -2\cdot x_2â 2 â
x 2 â x 1 \displaystyle x_1x 1 â = == 2 â 2 â
x 2 \displaystyle 2-2\cdot x_22 â 2 â
x 2 â â Setze x 2 = â 0,25 â r x_2=-0{,}25-rx 2 â = â 0 , 25 â r  ein.
x 1 \displaystyle x_1x 1 â = == 2 â 2 â
( â 0,25 â r ) \displaystyle 2-2\cdot(-0{,}25-r)2 â 2 â
( â 0 , 25 â r ) â Fasse zusammen
x 1 \displaystyle x_1x 1 â = == 2,5 + 2 â
r \displaystyle 2{,}5+2\cdot r2 , 5 + 2 â
r
Untereinander geschrieben:
x 1 = 2,5 + 2 â
r x 2 = â 0,25 â 1 â
r â
â â â
â ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 2,5 â 0,25 0 ) + r â
( 2 â 1 1 ) â x 3 = 0 + 1 â
r x_1=2{,}5+2\cdot r\\
x_2=-0{,}25-1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}5\\-0{,}25\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\\â
x_3=0+1\cdot rx 1 â = 2 , 5 + 2 â
r x 2 â = â 0 , 25 â 1 â
r â â x 1 â x 2 â x 3 â â â = â 2 , 5 â 0 , 25 0 â â + r â
â 2 â 1 1 â â â x 3 â = 0 + 1 â
r
Die Schnittgerade g 23 g_{23}g 23 â hat folgende Gleichung:
g 23 : â
â X â = ( 2,5 â 0,25 0 ) + r â
( 2 â 1 1 ) \displaystyle g_{23}:\;\vec X=\begin{pmatrix}2{,}5\\-0{,}25\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}g 23 â : X = â 2 , 5 â 0 , 25 0 â â + r â
â 2 â 1 1 â â