Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:

$\vec n_1 =\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}$, $\vec n_2 =\begin{pmatrix}-1{,}5\\2\\-1\end{pmatrix}$und $\vec n_3 =\begin{pmatrix}4{,}5\\-6\\3\end{pmatrix}$

Untersuche die Normalenvektoren auf Parallelität. Es gilt:

$(-2)\cdot \vec n_2 =\vec n_1$, $\left(\frac{2}{3}\right)\cdot\vec{n}_3=\vec{n}_1$ und $(-3)\cdot \vec n_2 =\vec n_3$

Die Normalenvektoren sind Vielfache voneinander.  Dies hat zur Folge, dass die Ebenen identisch oder parallel zueinander sind.

Betrachte nun die Ebenengleichungen $E_1$ und $E_2$. Hier gilt:

Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor $(-2)$. Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind $6$ und $(-2)$, d.h. hier gilt der Faktor $(-3)$. Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist $E_1​\neq a⋅E_2$​. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.

Betrachte jetzt die Ebenengleichungen $E_1$ und $E_3$. Hier gilt:

Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor $(\frac{2}{3})$. Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind $6$ und $12$, d.h. hier gilt der Faktor $\left(\frac{1}{2}\right)$. Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist $E_1​\neq b⋅E_3$​. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.

Für die Ebenengleichungen $E_2$ und $E_3$ gilt:

Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor $(-3)$. Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind $(-2)$ und $12$, d.h. hier gilt der Faktor $(-6)$. Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist $E_3\neq c⋅E_2$​. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.

Ergebnis: Es handelt sich um drei zueinander echt parallele Ebenen.

Weitere Untersuchungen sind nicht erforderlich.