Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen E1:3x1−4x2+2x3=6, E2:−1,5x1+2x2−x3=−2 und E3:4,5x1−6x2+3x3=12 einnehmen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen
Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:
n1=3−42, n2=−1,52−1und n3=4,5−63
Untersuche die Normalenvektoren auf Parallelität. Es gilt:
(−2)⋅n2=n1, (32)⋅n3=n1 und (−3)⋅n2=n3
Die Normalenvektoren sind Vielfache voneinander. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen identisch oder parallel zueinander sind.
Betrachte nun die Ebenengleichungen E1 und E2. Hier gilt:
Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor (−2). Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind 6 und (−2), d.h. hier gilt der Faktor (−3). Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist E1=a⋅E2. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.
Betrachte jetzt die Ebenengleichungen E1 und E3. Hier gilt:
Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor (32). Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind 6 und 12, d.h. hier gilt der Faktor (21). Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist E1=b⋅E3. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.
Für die Ebenengleichungen E2 und E3 gilt:
Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor (−3). Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind (−2) und 12, d.h. hier gilt der Faktor (−6). Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist E3=c⋅E2. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.
Ergebnis: Es handelt sich um drei zueinander echt parallele Ebenen.
Weitere Untersuchungen sind nicht erforderlich.