Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen
Untersuchung auf Parallelität oder Identität Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:
n ⃗ 1 = ( − 2 6 − 4 ) \vec n_1 =\begin{pmatrix}-2\\6\\-4\end{pmatrix} n 1 = − 2 6 − 4 n ⃗ 2 = ( 3 − 1 2 ) \vec n_2=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix} n 2 = 3 − 1 2 n ⃗ 3 = ( 1 − 3 2 ) \vec n_3 =\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix} n 3 = 1 − 3 2
Der Normalenvektor n ⃗ 1 \vec n_1 n 1 n ⃗ 3 \vec{n}_3 n 3
n ⃗ 1 = ( − 2 ) ⋅ n ⃗ 3 \vec{n}_1= (-2)\cdot \vec{n}_3 n 1 = ( − 2 ) ⋅ n 3
Dies hat zur Folge, dass die Ebenen E 1 E_1 E 1 E 3 E_3 E 3 E 1 ≠ a ⋅ E 3 E_1 \ne a\cdot E_3 E 1 = a ⋅ E 3
Weiterhin gilt:
Der Normalenvektor n ⃗ E 2 \vec{n}_{E_2} n E 2
n ⃗ E 2 ≠ k 1 ⋅ n ⃗ E 1 \vec{n}_{E_2}\ne k_1\cdot\vec{n}_{E_1} n E 2 = k 1 ⋅ n E 1 n ⃗ E 2 ≠ k 2 ⋅ n ⃗ E 3 \vec{n}_{E_2}\ne k_2\cdot\vec{n}_{E_3} n E 2 = k 2 ⋅ n E 3
Die Ebene E 2 E_2 E 2 zwei Schnittgeraden.
Berechnung der beiden Schnittgeraden Erste Schnittgerade g 12 g_{12}\; g 12 : E 1 ∩ E 2 E_1\cap E_2 E 1 ∩ E 2
Betrachte die Ebenengleichungen E 1 E_1 E 1 E 2 E_2 E 2
I − 2 ⋅ x 1 + 6 ⋅ x 2 − 4 ⋅ x 3 = 4 I I 3 ⋅ x 1 − 1 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x 3 = 6 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&-2\cdot x_1&+&6\cdot x_2&-&4\cdot x_3&=&4\\\mathrm{II}&3\cdot x_1&-&1\cdot x_2&+&2\cdot x_3&=&6\end{array} I II − 2 ⋅ x 1 3 ⋅ x 1 + − 6 ⋅ x 2 1 ⋅ x 2 − + 4 ⋅ x 3 2 ⋅ x 3 = = 4 6
Rechne I + 2 ⋅ I I ⇒ 4 x 1 + 4 x 2 = 16 \mathrm{I}+2\cdot\mathrm{II}\;\Rightarrow\;4x_1+4x_2=16 I + 2 ⋅ II ⇒ 4 x 1 + 4 x 2 = 16 ⇒ x 1 = 4 − x 2 \;\Rightarrow\;x_1=4-x_2 ⇒ x 1 = 4 − x 2
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x 2 = r ⇒ x 1 = 4 − r x_2=r\;\Rightarrow\;x_1=4-r x 2 = r ⇒ x 1 = 4 − r
Löse Gleichung I I \mathrm{II} II x 3 x_3 x 3 x 1 = 4 − r x_1=4-r x 1 = 4 − r x 2 = r x_2=r x 2 = r
3 ⋅ x 1 − x 2 + 2 ⋅ x 3 \displaystyle 3\cdot x_1-x_2+2\cdot x_3 3 ⋅ x 1 − x 2 + 2 ⋅ x 3 = = = 6 \displaystyle 6 6 − 3 ⋅ x 1 + x 2 \displaystyle -3\cdot x_1+x_2 − 3 ⋅ x 1 + x 2 2 ⋅ x 3 \displaystyle 2\cdot x_3 2 ⋅ x 3 = = = 6 − 3 ⋅ x 1 + x 2 \displaystyle 6-3\cdot x_1+x_2 6 − 3 ⋅ x 1 + x 2 ↓ Setze x 1 = 4 − r x_1=4-r x 1 = 4 − r x 2 = r x_2=r x 2 = r
2 ⋅ x 3 \displaystyle 2\cdot x_3 2 ⋅ x 3 = = = 6 − 3 ⋅ ( 4 − r ) + r \displaystyle 6-3\cdot(4-r)+r 6 − 3 ⋅ ( 4 − r ) + r ↓ Löse die Klammer auf.
2 ⋅ x 3 \displaystyle 2\cdot x_3 2 ⋅ x 3 = = = 6 − 12 + 3 ⋅ r + r \displaystyle 6-12+3\cdot r+r 6 − 12 + 3 ⋅ r + r ↓ Fasse zusammen.
2 ⋅ x 3 \displaystyle 2\cdot x_3 2 ⋅ x 3 = = = − 6 + 4 ⋅ r \displaystyle -6+4\cdot r − 6 + 4 ⋅ r : 2 \displaystyle :2 : 2 x 3 \displaystyle x_3 x 3 = = = − 3 + 2 ⋅ r \displaystyle -3+2\cdot r − 3 + 2 ⋅ r
Untereinander geschrieben:
x 1 = 4 − 1 ⋅ r x 2 = 0 + 1 ⋅ r ⇒ ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 4 0 − 3 ) + r ⋅ ( − 1 1 2 ) x 3 = − 3 + 2 ⋅ r x_1=4-1\cdot r\\
x_2=0+1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\\
x_3=-3+2\cdot r x 1 = 4 − 1 ⋅ r x 2 = 0 + 1 ⋅ r ⇒ x 1 x 2 x 3 = 4 0 − 3 + r ⋅ − 1 1 2 x 3 = − 3 + 2 ⋅ r
Die Schnittgerade g 12 g_{12} g 12
g 12 : X ⃗ = ( 4 0 − 3 ) + r ⋅ ( − 1 1 2 ) \displaystyle g_{12}:\;\vec X=\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix} g 12 : X = 4 0 − 3 + r ⋅ − 1 1 2 Zweite Schnittgerade g 12 g_{12}\; g 12 : E 2 ∩ E 3 E_2\cap E_3 E 2 ∩ E 3
Betrachte die Ebenengleichungen E 2 E_2 E 2 E 3 E_3 E 3
I I 3 ⋅ x 1 − 1 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x 3 = 6 I I I 1 ⋅ x 1 − 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x 3 = 2 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{II}&3\cdot x_1&-&1\cdot x_2&+&2\cdot x_3&=&6\\\mathrm{III}&1\cdot x_1&-&3\cdot x_2&+&2\cdot x_3&=&2\end{array} II III 3 ⋅ x 1 1 ⋅ x 1 − − 1 ⋅ x 2 3 ⋅ x 2 + + 2 ⋅ x 3 2 ⋅ x 3 = = 6 2
Rechne I I − I I I ⇒ 2 x 1 + 2 x 2 = 4 \mathrm{II}-\mathrm{III}\;\Rightarrow\;2x_1+2x_2=4 II − III ⇒ 2 x 1 + 2 x 2 = 4 ⇒ x 1 = 2 − x 2 \;\Rightarrow\;x_1=2-x_2 ⇒ x 1 = 2 − x 2
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze x 2 = r ⇒ x 1 = 2 − r x_2=r\;\Rightarrow\;x_1=2-r x 2 = r ⇒ x 1 = 2 − r
Löse Gleichung I I \mathrm{II} II x 3 x_3 x 3 x 1 = 2 − r x_1=2-r x 1 = 2 − r x 2 = r x_2=r x 2 = r
3 ⋅ x 1 − x 2 + 2 ⋅ x 3 \displaystyle 3\cdot x_1-x_2+2\cdot x_3 3 ⋅ x 1 − x 2 + 2 ⋅ x 3 = = = 6 \displaystyle 6 6 − 3 ⋅ x 1 + x 2 \displaystyle -3\cdot x_1+x_2 − 3 ⋅ x 1 + x 2 2 ⋅ x 3 \displaystyle 2\cdot x_3 2 ⋅ x 3 = = = 6 − 3 ⋅ x 1 + x 2 \displaystyle 6-3\cdot x_1+x_2 6 − 3 ⋅ x 1 + x 2 ↓ Setze x 1 = 2 − r x_1=2-r x 1 = 2 − r x 2 = r x_2=r x 2 = r
2 ⋅ x 3 \displaystyle 2\cdot x_3 2 ⋅ x 3 = = = 6 − 3 ⋅ ( 2 − r ) + r \displaystyle 6-3\cdot(2-r)+r 6 − 3 ⋅ ( 2 − r ) + r ↓ Löse die Klammer auf.
2 ⋅ x 3 \displaystyle 2\cdot x_3 2 ⋅ x 3 = = = 6 − 6 + 3 ⋅ r + r \displaystyle 6-6+3\cdot r+r 6 − 6 + 3 ⋅ r + r ↓ Vereinfache.
2 ⋅ x 3 \displaystyle 2\cdot x_3 2 ⋅ x 3 = = = 4 ⋅ r \displaystyle 4\cdot r 4 ⋅ r : 2 \displaystyle :2 : 2 x 3 \displaystyle x_3 x 3 = = = 2 ⋅ r \displaystyle 2\cdot r 2 ⋅ r
Untereinander geschrieben:
x 1 = 2 − 1 ⋅ r x 2 = 0 + 1 ⋅ r ⇒ ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 2 0 0 ) + r ⋅ ( − 1 1 2 ) x 3 = 0 + 2 ⋅ r x_1=2-1\cdot r\\
x_2=0+1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\\
x_3=0+2\cdot r x 1 = 2 − 1 ⋅ r x 2 = 0 + 1 ⋅ r ⇒ x 1 x 2 x 3 = 2 0 0 + r ⋅ − 1 1 2 x 3 = 0 + 2 ⋅ r
Die Schnittgerade g 23 g_{23} g 23
g 23 : X ⃗ = ( 2 0 0 ) + r ⋅ ( − 1 1 2 ) \displaystyle g_{23}:\;\vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix} g 23 : X = 2 0 0 + r ⋅ − 1 1 2 Die Richtungsvektoren der beiden Schnittgeraden sind identisch. Somit sind die beiden Schnittgeraden parallel zueinander. Aber die beiden Geraden sind nicht identisch.
▸ Zusätzliche graphische Veranschaulichung
