Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:

${\vec{n}}_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -4\end{array}\right)\backslash vec\; n\_1\; =\backslash begin\{pmatrix\}-2\backslash \backslash 6\backslash \backslash -4\backslash end\{pmatrix\}$, ${\vec{n}}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)\backslash vec\; n\_2=\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash -1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$ ​und ${\vec{n}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)\text{}\backslash vec\; n\_3\; =\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash -3\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$

Der Normalenvektor ${\vec{n}}_1\backslash vec\; n\_1$ ist ein Vielfaches des Normalenvektors ${\vec{n}}_3\backslash vec\{n\}\_3$.

${\vec{n}}_1=(-2)\cdot {\vec{n}}_3\backslash vec\{n\}\_1=\; (-2)\backslash cdot\; \backslash vec\{n\}\_3$

Dies hat zur Folge, dass die Ebenen $E_{1}E\_1$ und $E_{3}E\_3$ parallel sind. Sie sind aber nicht identisch, da $E_1\mathrm{\ne }a\cdot E_{3}E\_1\; \backslash ne\; a\backslash cdot\; E\_3$ ist.

Weiterhin gilt:

Der Normalenvektor ${\vec{n}}_{E_2}\backslash vec\{n\}\_\{E\_2\}$ ist kein Vielfaches der anderen beiden Normalenvektoren:

${\vec{n}}_{E_2}\mathrm{\ne }{k}_1\cdot {\vec{n}}_{E_1}\backslash vec\{n\}\_\{E\_2\}\backslash ne\; k\_1\backslash cdot\backslash vec\{n\}\_\{E\_1\}$​​ und ${\vec{n}}_{E_2}\mathrm{\ne }{k}_2\cdot {\vec{n}}_{E_3}\backslash vec\{n\}\_\{E\_2\}\backslash ne\; k\_2\backslash cdot\backslash vec\{n\}\_\{E\_3\}$

Die Ebene $E_{2}E\_2$ ist somit nicht parallel zu den beiden anderen Ebenen. Sie schneidet diese beiden Ebenen in zwei Schnittgeraden.

Berechnung der beiden Schnittgeraden

Erste Schnittgerade $g_{12}g\_\{12\}\backslash ;$: $E{\text{}}_1\cap E_2\text{}E\_1\backslash cap\; E\_2$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}E\_1$​ und $E_{2}E\_2$​:

Rechne $\mathrm{I}+2\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\Rightarrow 4x_1+4x_2=16\backslash mathrm\{I\}+2\backslash cdot\backslash mathrm\{II\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;4x\_1+4x\_2=16$$\Rightarrow x_1=4-x_2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_1=4-x\_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\Rightarrow x_1=4-rx\_2=r\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_1=4-r$

Löse Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ nach $x_{3}x\_3$​ auf und setze $x_1=4-rx\_1=4-r$ und $x_2=rx\_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$x_1=4-1\cdot r{x}_2=0+1\cdot r\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)\text{}{x}_3=-3+2\cdot rx\_1=4-1\backslash cdot\; r\backslash \backslash \; x\_2=0+1\backslash cdot\; r\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash begin\{pmatrix\}x\_1\backslash \backslash x\_2\backslash \backslash x\_3\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash 0\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\backslash \backslash \; x\_3=-3+2\backslash cdot\; r$

Die Schnittgerade $g_{12}g\_\{12\}$​ hat folgende Gleichung:

Zweite Schnittgerade $g_{12}g\_\{12\}\backslash ;$: $E{\text{}}_2\cap E_3\text{}E\_2\backslash cap\; E\_3$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{2}E\_2$​ und $E_{3}E\_3$​:

Rechne $\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}\Rightarrow 2x_1+2x_2=4\backslash mathrm\{II\}-\backslash mathrm\{III\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;2x\_1+2x\_2=4$$\Rightarrow x_1=2-x_2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_1=2-x\_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\Rightarrow x_1=2-rx\_2=r\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_1=2-r$

Löse Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ nach $x_{3}x\_3$​ auf und setze $x_1=2-rx\_1=2-r$ und $x_2=rx\_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$x_1=2-1\cdot r{x}_2=0+1\cdot r\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)\text{}{x}_3=0+2\cdot rx\_1=2-1\backslash cdot\; r\backslash \backslash \; x\_2=0+1\backslash cdot\; r\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash begin\{pmatrix\}x\_1\backslash \backslash x\_2\backslash \backslash x\_3\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 0\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\backslash \backslash \; x\_3=0+2\backslash cdot\; r$

Die Schnittgerade $g_{23}g\_\{23\}$​ hat folgende Gleichung:

Die Richtungsvektoren der beiden Schnittgeraden sind identisch. Somit sind die beiden Schnittgeraden parallel zueinander. Aber die beiden Geraden sind nicht identisch.