In der Urne sind, da die Kugeln jedes Mal wieder zurückgelegt werden, vor dem Ziehen immer $5$ rote und $6$ blaue Kugeln.

Werden rote Kugeln als "Treffer" bezeichnet, so ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p=\frac{5}{11}$ und die Gegenwahrscheinlichkeit $1-p=\frac{6}{11}$ für eine blaue Kugel.

Multipliziere jeweils die Trefferwahrscheinlichkeit oder die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, um die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse zu erhalten.

Die drei Wahrscheinlichkeiten lauten

$P\left(\left\{b;b;r\right\}\right)=\frac{6}{11}\cdot\frac{6}{11}\cdot\frac{5}{11}=\left(\frac{6}{11}\right)^2\cdot\frac{5}{11}$

$P\left(\left\{b;r;b\right\}\right)=\frac{6}{11}\cdot\frac{5}{11}\cdot\frac{6}{11}=\left(\frac{6}{11}\right)^2\cdot\frac{5}{11}$

$P\left(\left\{r;b;b\right\}\right)=\frac{5}{11}\cdot\frac{6}{11}\cdot\frac{6}{11}=\left(\frac{6}{11}\right)^2\cdot\frac{5}{11}$

Es ist also egal, an welcher Stelle die rote Kugel gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote Kugel in drei Zügen zu ziehen, ist immer gleich. Es gibt aber drei Möglichkeiten, sie zu ziehen.

Das Ereignis $A$ ist in Worten "Es wird genau eine rote Kugel gezogen (die Position der Kugel ist egal)".

Die Wahrscheinlichkeit ist $P\left(A\right)=3\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^2\cdot\frac{5}{11}$, denn sie umfasst genau die drei oberen Ergebnisse.

Für komplizierte Beispiele kann man die Zahl $3$ nicht so leicht ermitteln. Dafür benötigt man den Binomialkoeffizienten $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$. Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, um aus einer Menge mit $n$ Elementen zufällig $k$ Elemente auszuwählen oder mit anderen Worten, wie viele Pfade im Baumdiagramm genau den einen Treffer enthalten.

Hier: $P\left(A\right)=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\cdot \frac {5}{11}\cdot\left(\frac 6{11}\right)^2$