Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

1

Eine Firma stellt Computertastaturen her, von denen 2 % Ausschuss sind. Bestimme die Anzahl der Tastaturen, die mindestens produziert werden müssen, damit mit 90%iger Wahrscheinlichkeit zumindest eine defekte dabei ist.

2

Eine bestimmte Maschine besteht aus 8 unabhängig voneinander arbeitenden Teilen. Jedes Teil funktioniert mit der Wahrscheinlichkeit p nicht. Fallen mindestens 2 dieser Teile aus, wird die Maschine funktionsunfähig.

Wie groß darf p, auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet, höchstens sein, damit die Maschine mit (mindestens) 80% Sicherheit arbeiten kann?

3

Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten wird immer eine Karte gezogen und dann wieder zurückgesteckt.

Wie oft muss dies wiederholt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens zwei Pikkarten zu ziehen?

4

In einem Multiple-Choice-Test gibt es 20 Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?

5

In einem Forum wird eine wichtige Frage gestellt, woraufhin 6 Personen eine Antwort formulieren, ohne die Antwort der anderen gesehen zu haben. Hierbei gibt jeder von ihnen mit einer 70%igen Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort.

a

Wie könnte man dies als Bernoulli-Kette darstellen?

b

Mit welcher Wahrscheinlichkeit

(1) haben alle sechs mit ihrer Antwort recht?

(2) hat keiner von ihnen recht?

(3) geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?

(4) gibt mindestens einer die richtige Antwort?

c

Wie viele Personen müssten mindestens auf die Frage antworten, um mit einer Wahrscheinlichkeit, die größer als 99% ist, zumindest eine richtige Antwort zu erhalten?

6

In einer Urne befinden sich 13 weiße und 16 rote Kugeln, von denen 10 zufällig herausgegriffen werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter ihnen genau 6 weiße sind?

7

In einer Bar gibt es jeden Samstag Abend ein Würfelspiel. Hierbei kann der Barbesucher seinen bestellten Cocktail umsonst trinken, wenn er gewinnt.

Die Regeln sind einfach: Barkeeper und Kunde würfeln einen sechsseitigen, nichtgezinkten Würfel.

Würfelt der Besucher eine höhere Zahl als der Barkeeper, gewinnt er.

a

Wie oft muss ein Besucher würfeln, damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit auf einen Gratis-Cocktail bei mindestens 80% liegen?

b

Eine Gruppe von 5 Personen trinken an einem Samstag 10 Cocktails.

Wie wahrscheinlich ist es, dass

.\phantom{.}A.\phantom{.}Kein Cocktail gewonnen wird?

.\phantom{.}B.\phantom{.}Genau drei Cocktails gewonnen werden?

.\phantom{.}C.\phantom{.}Mehr als drei Cocktails gewonnen werden?

.\phantom{.}D.\phantom{.}Genau neun Cocktails gewonnen werden?

.\phantom{.}E.\phantom{.}Alle zehn Cocktails gewonnen werden?

c

Wie oft muss die Gruppe das Spiel mit dem Barkeeper spielen, damit sie zu mindestens 95% Wahrscheinlichkeit zehn Cocktails gewinnen?


d

Der durchschnittliche Preis für einen Cocktail beträgt 6,90€. Die Kosten für diesen inklusive dem Lohn für den Barkeeper sind für den Betreiber der Bar etwa 4€. Ein durchschnittlicher Gast trinkt 1,5 Cocktails. An einem Freitag (ohne dieses Angebot) trinken die Gäste am Abend etwa 120 Cocktails.

Wie viele Gäste mehr müssen durch das besondere Spiel angelockt werden, damit sich dieses für den Betreiber der Bar lohnt?

e

Ein Gast ist ein Halunke, der mogelt. Er nutzt die Unaufmerksamkeit des Kellners aus, indem er seinen Wurf zunächst unter dem Würfelbecher heimlich betrachtet und bei einer gewürfelten 1-3 den Würfel nochmal unbemerkt würfelt.

Wie ist nun seine Gewinnchance?

8

Eine Firma für Bohrmaschinen stellt mit 20% Ausschuss her.

a

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig gewählten Bohrmaschinen kein Ausschussstück zu finden ist?

b

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20 Bohrmaschinen zum Ausschuss zählen?


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