Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

In einem Forum wird eine wichtige Frage gestellt, woraufhin 6 Personen eine Antwort formulieren, ohne die Antwort der anderen gesehen zu haben. Hierbei gibt jeder von ihnen mit einer 70%igen Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort.

Wie könnte man dies als Bernoulli-Kette darstellen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
Die Antworten werden unabhängig voneinander bewertet.
Jede Antwort kann richtig mit Wahrscheinlichkeit 0,7 oder falsch mit Wahrscheinlichkeit 0,3 sein.
Die 6 Antworten werden jetzt hintereinander als Bernoulli-Experimente betrachtet.
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit
(1) haben alle sechs mit ihrer Antwort recht?
(2) hat keiner von ihnen recht?
(3) geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?
(4) gibt mindestens einer die richtige Antwort?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeiten berechnen
P("Person hat recht")= $\mathrm P\left(\mathrm R\right)$ = 0,7
Bestimmte die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis
P("Person hat unrecht")= $\mathrm P\left(\overline{\mathrm R}\right)$ = 0,3
Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle sechs mit ihrer Antwort recht?
Ob eine Antwort richtig ist wird nicht von der Richtigkeit der anderen Antworten beeinflusst, also sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass alle Personen richtig liegen, musst du also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person richtig liegt, hoch die Anzahl der Personen nehmen.
P("alle sechs haben recht")= $P\left(R\right)^6$
$=0{,}7^6 \approx0{,}118=11{,}8\%$
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat keiner von ihnen recht?
Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass alle Personen falsch liegen, musst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person falsch liegt hoch die Anzahl der Personen nehmen.
P("alle sechs haben unrecht") = $P\left(\overline R\right)^6$
$=0{,}3^6=0{,}000729=0{,}0729\%$
Mit welcher Wahrscheinlichkeit geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?
Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass genau der erste und der letzte die richtige Antwort geben, musst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Antworten miteinander multiplizieren (wegen der stochastischen Unabhängigkeit), wobei gilt: P=0,7 wenn die Antwort richtig und P=0,3 wenn die Antwort falsch ist.
P("genau erste und letzte die richtige Antwort richtig") = $0{,}7\cdot0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}7$
$=0{,}003969=0{,}3969\%$
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt mindestens einer die richtige Antwort?
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Antwort richtig ist, kannst du mit Hilfe des Gegenereignisses (alle sechs haben Unrecht) berechnen.
P("mindestens eine Antwort richtig") $=1-0{,}000729$
$=0{,}999271=99{,}9271\%$
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Wie viele Personen müssten mindestens auf die Frage antworten, um mit einer Wahrscheinlichkeit, die größer als 99% ist, zumindest eine richtige Antwort zu erhalten?

$\displaystyle P\left("\min destens\ einer\ hat\ Recht"\right)$	$=$	$\displaystyle 1-P\left("keiner\ hat\ Recht"\right)$
	↓	Stelle die Formel für die Binomialverteilung von $P($ "keiner hat Recht" $)$ auf (damit ist k=0, da keiner richtig antwortet).
$\displaystyle P\left("keiner\ hat\ Recht"\right)$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\cdot0{,}7^0\cdot\left(1-0{,}7\right)^{n-0}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizient an.
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{0!\cdot\left(n-0\right)!}\cdot0{,}7^0\cdot0{,}3^{n-0}$
	↓	$0!=1,x^0=1$
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{n!}\cdot1\cdot0{,}3^n$
	$=$	$\displaystyle 0{,}3^n$
	↓	Mache Ansatz P("mindestens einer hat Recht") $>99\%$ und schreibe die Wahrscheinlichkeit mit jener des Gegenereignisses:
$\displaystyle 1-0{,}3^n$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$	$\displaystyle -0{,}99+0{,}3^n$
$\displaystyle 0{,}01$	$>$	$\displaystyle 0{,}3^n$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle \log_{0{,}3}0{,}01$	$<$	$\displaystyle n$
$\displaystyle 3{,}82$	$<$	$\displaystyle n$

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Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle sechs mit ihrer Antwort recht?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat keiner von ihnen recht?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt mindestens einer die richtige Antwort?

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