Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Eine Firma stellt Computertastaturen her, von denen 2 % Ausschuss sind. Bestimme die Anzahl der Tastaturen, die mindestens produziert werden müssen, damit mit 90%iger Wahrscheinlichkeit zumindest eine defekte dabei ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Mindestens eine Tastatur ist defekt“ kannst du direkt nur sehr schwierig berechnen. Deshalb ist es sinnvoll, diese Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis „Keine Tastatur ist defekt“ zu berechnen.

Du startest also mit folgendem Ansatz:

$P(\text{„Mindestens eine Tastatur ist defekt“}) = 1 - P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“})$

Stelle nun die Formel für die Binomialverteilung von $P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“})$ auf (also $k = 0$ , da keine defekt ist).

$\displaystyle P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“})$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\cdot0{,}02^0\cdot\left(1-0{,}02\right)^{n-0}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{0!\cdot\left(n-0\right)!}\cdot0{,}02^0\cdot0{,}98^n$
	↓	Vereinfache den Term, indem du $0!$ durch das Ergebnis der Fakultät ersetzt, die Potenz $0{,}02^0$ ausrechnest und die Differenz im Bruch berechnest.
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{n!}\cdot1\cdot0{,}98^n$
	↓	Vereinfache den Bruch $\frac{n!}{n!}$ .
	$=$	$\displaystyle 0{,}98^n$

Führe den zuvor aufgestellten Ansatz mit P(„mindestens eine Tastatur ist defekt“) $= 90 %$ aus.

$\displaystyle 1-0{,}98^n$	$=$	$\displaystyle 0{,}9$	$\displaystyle +0{,}98^n-0{,}9$
$\displaystyle 0{,}1$	$=$	$\displaystyle 0{,}98^n$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle \log_{0{,}98}0{,}1$	$=$	$\displaystyle n$
$\displaystyle n$	$\approx ≈$	$\displaystyle 114$

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