Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Lukas ist Biathlet und besitzt eine Treffsicherheit von $p=0{,}85$ . Nach einem Durchgang auf seinen Langlauf-Ski legt sich Lukas an den Schießstand und gibt $5$ Schüsse auf die Scheiben.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Lukas alle Scheiben trifft.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Lukas die ersten beiden trifft.

Nach einer weiteren Runde Langlauf, fällt es Lukas schwerer sich zu konzentrieren. Seine Treffsicherheit beträgt ab jetzt $p=0{,}6$ . Nach seinem Durchgang zeigen die Scheiben das folgende Muster:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er genau dieses Muster getroffen?

Für den letzten Durchgang benötigt er genau vier Treffer. Wie viele Muster kann Lukas auf seinen Scheiben schießen, damit dieses Ereignis erfüllt ist?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Es gibt $5$ Muster, die genau vier Treffer enthalten.
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Stelle die Muster grafisch dar.
Begründe, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$E:\ "Lukas\ trifft\ genau\ vier\ mal."$
folgendermaßen berechnen lässt:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
Die Wahrscheinlichkeit in der Bernoulli-Kette ist
Die Faktoren haben folgende Bedeutungen:
$n=5$ bezeichnet die Anzahl der Schüsse
$k=4$ ist die Anzahl der Treffer. Dann ist $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}=5$ .
$p^k=0{,}6^4$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass viermal getroffen wurde.
$(1-p)^{n-k}=0{,}4^{5-4}=0{,}4$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass einmal nicht getroffen wurde.
Also ist die Wahrscheinlichkeit für $4$ Treffer gleich
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Setze in die Formel der Bernoulli-Kette ein.

$\displaystyle P\left("5\ Treffer"\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}85\cdot0{,}85\cdot0{,}85\cdot0{,}85\cdot0{,}85$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}4437$
	$≈$	$\displaystyle 44{,}37\ \%$

$\displaystyle P\left("1.\ und\ 2.\ Schuss\ Treffer"\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}85\cdot0{,}85\cdot1\cdot1\cdot1$
	$=$	$\displaystyle 0{,}7225$
	$=$	$\displaystyle 72{,}25\ \%$

$\displaystyle P\left("Muster"\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}6\cdot0{,}4\cdot0{,}4\cdot0{,}6\cdot0{,}4$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}0230$
	$≈$	$\displaystyle 2{,}30\%$

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