Der Graph Gf hat bei x=5 eine Stelle lokal stärkster Zunahme. Welche Aussagen lassen sich über Gf′ und Gf′′ an dieser Stelle definitiv treffen?
Die Stellen lokal stärkster Zu- oder Abnahme sind die Stellen, an denen die lokale Änderungsrate maximal oder minimal ist. Der Graph ist in der nahen Umgebung nirgendwo steiler (entweder steiler steigend oder steiler fallend).
Da die lokale Änderungsrate an einer Stelle x0 dem Wert der Ableitung an dieser Stelle entspricht (f′(x0)), sind die Stellen lokal stärkster Zu- oder Abnahme genau die Extremstellen der Ableitung. Diese sind zugleich Nullstellen der zweiten Ableitung.
Der Graph steigt, wenn die lokale Änderungsrate, also der Wert der Ableitung an einer Stelle, positiv ist. Nur wenn der Graph steigt, kann überhaupt eine Stelle stärkster Zunahme vorliegen, denn sonst liegt ja gar keine Zunahme vor, sondern eine Abnahme. Deshalb muss Gf′ bei lokal stärkster Zunahme oberhalb der x-Achse verlaufen.
Zusammenfassend suchst du den Punkt von Gf′, der oberhalb der x-Achse ist und in seiner direkten Umgebung am höchsten ist. Du suchst den lokalen Hochpunkt.
Kurzgesagt:
Stelle lokal stärkster Zunahme: Hochpunkt von Gf′, der oberhalb von der x-Achse liegt.
Stellen stärkster Zunahme sind Hochpunkte von Gf′, die oberhalb der x-Achse liegen müssen.
