Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen
− 32 ( − 2 x − 8 ) = 4 + 5 x ( 8 + 2 x ) \dfrac{-32}{(-2x-8)}=4+\dfrac{5x}{(8+2x)} ( − 2 x − 8 ) − 32 = 4 + ( 8 + 2 x ) 5 x
Definitionsmenge bestimmen:
Im Nenner eines Bruches darf nicht Null stehen. Alle Zahlen, für die sich beim Einsetzen in die Gleichung im Nenner Null ergibt, dürfen nicht in der Definitionsmenge enthalten sein.
Setze jeden der Nenner gleich Null.
− 2 x − 8 = 0 ⇒ x = − 4 2 x + 8 = 0 ⇒ x = − 4 \ \ -2x-8=0\qquad\Rightarrow\qquad x=-4\\\hspace{4.5mm}2x+8=0\qquad\Rightarrow\qquad x= -4 − 2 x − 8 = 0 ⇒ x = − 4 2 x + 8 = 0 ⇒ x = − 4
x = − 4 ⇒ D = R ∖ { − 4 } x=-4\qquad\Rightarrow\qquad D=\mathbb R\setminus \left\{-4\right\} x = − 4 ⇒ D = R ∖ { − 4 }
Lösen der Bruchgleichung:
Bestimme den Hauptnenner, der HN ist: ( − 2 x − 8 ) ⋅ ( 2 x + 8 ) \ (-2x-8)\cdot(2x+8) ( − 2 x − 8 ) ⋅ ( 2 x + 8 )
Multipliziere die Bruchgleichung mit dem HN:
( − 32 ) ⋅ ( − 2 x − 8 ) ⋅ ( 2 x + 8 ) ( − 2 x − 8 ) = 4 ⋅ ( − 2 x − 8 ) ⋅ ( 2 x + 8 ) + 5 x ⋅ ( 2 x + 8 ) ⋅ ( − 2 x − 8 ) 2 x + 8 \dfrac{(-32)\cdot\cancel{(-2x-8)}\cdot(2x+8)}{\cancel{(-2x-8)}}=4\cdot(-2x-8)\cdot(2x+8)+\dfrac{5x\cdot\cancel{(2x+8)}\cdot(-2x-8)}{\cancel{2x+8}} ( − 2 x − 8 ) ( − 32 ) ⋅ ( − 2 x − 8 ) ⋅ ( 2 x + 8 ) = 4 ⋅ ( − 2 x − 8 ) ⋅ ( 2 x + 8 ) + 2 x + 8 5 x ⋅ ( 2 x + 8 ) ⋅ ( − 2 x − 8 )
− 32 ( 2 x + 8 ) = 4 ( − 2 x − 8 ) ( 2 x + 8 ) + 5 x ( − 2 x − 8 ) -32(2x+8)=4(-2x-8)(2x+8)+5x(-2x-8) − 32 ( 2 x + 8 ) = 4 ( − 2 x − 8 ) ( 2 x + 8 ) + 5 x ( − 2 x − 8 )
− 64 x − 256 = − 16 x 2 − 128 x − 256 − 10 x 2 − 40 x \ \ -64x-256=-16x^2-128x-256-10x^2-40x − 64 x − 256 = − 16 x 2 − 128 x − 256 − 10 x 2 − 40 x
− 64 x − 256 = − 26 x 2 − 168 x − 256 \ \ -64x-256= -26x^2-168x-256 − 64 x − 256 = − 26 x 2 − 168 x − 256
26 x 2 + 104 x = 0 ∣ : 26 \ \ 26x^2+104x= 0\ |:26 26 x 2 + 104 x = 0 ∣ : 26
x 2 + 4 x = 0 \hspace{8.5mm}x^2+4x=0 x 2 + 4 x = 0
x ( x + 4 ) = 0 ⇒ x 1 = 0 ; ( x 2 = − 4 ) \hspace{7.5mm}x(x+4)=0\ \Rightarrow\ x_1=0;\quad \\\hspace{32.6mm}(x_2=-4) x ( x + 4 ) = 0 ⇒ x 1 = 0 ; ( x 2 = − 4 ) nicht in der Definitionsmenge enthalten.
Die Lösungsmenge: L = { 0 } \ \ \mathbb{L}=\left\{0\right\} L = { 0 }
