Aufgabengruppe II

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_1$ mit der

x-Achse.

Setze$\ g_1=0\$ und berechne$\ x$.

Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $\ g_1\$mit der $x-$Achse sind dann:

$\ N(3{,}5|0)$

Die allgemeine Geradengleichung lautet:$\quad y=\textcolor{ff6600}{m}\cdot x+\textcolor{009999}{t}$

Setze $2$ Wertepaare aus der Tabelle in die Geradengleichung ein.

$\text({Wp})_1=2m+t=3{,}5\quad\Rightarrow\quad\ t\ =\ 3{,}5-2m\$ eingesetzt in $\text({Wp})_2$

$\text({Wp})_2=4m+t=6{,}5$

Setze $m$ in$\ \text({Wp})_1\$ein und berechne $t$.

$t\ =\ 3{,}5-2\cdot1{,}5\quad\Rightarrow\quad t\ =\ 0{,}5$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_2\$lautet:

$\ g_{2}:\ y\ =\ 1{,}5x+0{,}5$

Berechnung des Schnittpunktes $T$.

Setze$\ g_1=g_3$

Setze $x=6{,}25\$in $g_1\$oder$\ g_3\$ein und berechne $y.$

$x$ eingesetzt in $g_1\$ergibt:

$\ -1\cdot6{,}25+3{,}5=y\quad\Rightarrow\quad y=-2{,}75$

Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:

$\ T(6{,}25|-2{,}75)$

$\hspace{24mm}g_1:y=-x+3{,}5$

Spiegel$\ g_{1}\$an der $y$-Achse, ersetze$\ x\$ durch $\ (-x)\ \quad\Rightarrow\quad g_{1_{\small{sy}}}$ 

$\hspace{24mm} g_{1_{\small{sy}}}:y=-(-x)+3{,}5$

$\hspace{24mm} g_{1_{\small{sy}}}:y=x+3{,}5$

Spiegel$\ g_{1_{\small{sy}}}\$an der $x$-Achse, multipliziere die Funktionsgleichung

von $\ g_{1_{\small{sy}}}\$mit$\ (-1)\ \Rightarrow\ g_4$.

$\hspace{24mm} g_{4}:y=-1\cdot(x+3{,}5)$

$\hspace{24mm} g_{4}:\boxed{y=-x-3{,}5}$

$g_{5}:y=\dfrac{1}{3}x+4\quad\Rightarrow\quad m_{5}\ =\ \dfrac{1}{3}$

da die Gerade $g_{6}\$senkrecht auf der Geraden$\ g_{5}\$steht, gilt: $\\m_{5}\cdot\ m_{6}\ =-1\quad\Rightarrow\quad\ m_{6}\ =\dfrac{-1}{m_{5}}\quad\Rightarrow\quad\ m_{6}\ =\ -3$

Stelle die Geradengleichung der Geraden$\ g_{6}\$auf.

Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:

$\hspace{51mm}y\ =\ mx\ +\ t$

Setze$\ m_{6}\$und die Koordinaten des Punktes $P$ in die Gleichung ein.

$\ 5\ =\ (-3)\cdot (-1)\ +\ t_6\quad\Rightarrow\quad t_6\ =\ 2$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{6}\$lautet:

$\ g_{6}:y\ =\ -3x\ +\ 2$

Die Skizze ist nicht massgetreu.

$I.\quad\dfrac{a+b+c}{i}=\dfrac{a}{g}$ (2. Strahlensatz)

$II.\hspace{14mm}\dfrac{c}{f}=\dfrac{b}{e}$ (1. Strahlensatz)

$III.\hspace{6mm}\dfrac{d+e}{h}=\dfrac{d}{g}$ (2. Strahlensatz)

Es gilt: $\quad\dfrac{a+b}{h}=\dfrac{a}{g}\ \Rightarrow\dfrac{ (4+6)\ cm}{h}=\dfrac{4\ cm}{2\ cm}\qquad$(2. Strahlensatz)

$\hspace{19mm}4h=20\ cm\ \Rightarrow\ h=5\ cm$

Die Länge der Strecke$\ h\$beträgt$\ \boxed{5\ cm}$

a.) Baumdiagramm

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $2$ gelbe Spielbälle

bei dreimaligem Ziehen gezogen werden.

$\hspace{5mm}\dfrac{8}{11}\cdot\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{6}{9}+\dfrac{8}{11}\cdot\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{3}{9}+\dfrac{8}{11}\cdot\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{7}{9}+\dfrac{3}{11}\cdot\dfrac{8}{10}\cdot\dfrac{7}{9}=$

$=\dfrac{56}{165}+\dfrac{28}{165}+\dfrac{28}{165}+\dfrac{28}{165}=\dfrac{28}{33}\approx0{,}848\ \Rightarrow\ P\approx84{,}8\%$

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $2$ gelbe Spielbälle

bei dreimaligem Ziehen beträgt ungefähr$\ \boxed{84{,}4\%}$

Berechne mithilfe der Fakultät $n!$ die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen,

in denen die Bälle gelegt werden können.

Anzahl aller möglichen Reihenfolgen:

$\ n!\ \text{setze\ für}\ n=11\quad\Rightarrow\quad11!=11\cdot10\cdot9\cdot...\cdot2\cdot1\ =\ \underline{\underline{39\ 916\ 800}}$

Es gibt $\boxed{39\ 916\ 800}\$mögliche Reihenfolgen, in denen die Bälle gelegt werden

können.

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=1$

$\text{Aus }A(-3|1):\ \ \ \ (I) \ \ 1= 1\cdot (-3)^2+b\cdot (-3)+c$

$\text{Aus } B\hspace{1.5mm}(2|6)\hspace{1.5mm}:\ (II)\ \ \ 6= 1\cdot (2)^2+b\cdot (2)+c\quad\Rightarrow\quad c=2-2b$

$\hspace{74mm}$setze $c$ in $(I)$ ein und berechne $b$

Setze b in$\ (II)\$ein und berechne $\ c$.

$\ c=2-2b\ \Rightarrow\ c=2-2\cdot 2\ =-2$

$\ c=-2\ \$jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.

$\ p_{\tiny1}:y\ =x^2+2x-2$

Der Scheitel der Parabel $p_{\tiny 2}\$ist laut Angabe: $\ S_{\tiny 2}(3|4)\$

Die Scheitelform lautet:

$\ f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$\ S_{\tiny 2}$ ein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist $a=-1.$

$p_{\tiny 2}:y\ =\ -(x-3)^2+4$

die Normalform ist dann:

$p_{\tiny 2}:y\ =\ -x^2+6x-5$

Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.

Zur Berechnung der $y$-Koordinate setzte den Wert der $x$-Koordinate

des Punkts $C$ in die Funktionsgleichung $\ p_3\$ ein.

$p_3:y=−x^2+7x+14$

$\hspace{6mm}y=−(7^2)+7\cdot 7+14$

$\hspace{6mm}y=63-49$

$\hspace{6mm}y=14\ \Rightarrow\ C(7|14)$

Setze die $x$-Koordinate von D $\ (-3)$ in dieFunktionsgleichung

von$\ p_3\$ein und berechne den Funktionswert.

also:$\ y=-(-3)^2+7\cdot (-3)+14$

$\hspace{7.5mm}y=-9-21+14$

$\hspace{7.5mm}y=-16$

Der Punkt $D$ liegt nicht auf der Parabel$\ p_3\$, da:$\ -16\neq16$ .

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunkt der Parabel $p_{3}$ ablesen:$\quad \mathrm S_2\left(3{,}5\left|26{,}25\right.\right)$

Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\ x^2−20x + 96=0$

$x_{1{,}2}=\dfrac{20\pm\sqrt{20^2-4\cdot1\cdot 96}}{2\cdot 1}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{20\pm\sqrt{400-384}}{2}\quad\Rightarrow\quad x_{\tiny 1}\ =\ 12$

$\hspace{48mm}x_{\tiny2}\ =\ 8$

Schnittpunkte mit den $x$-Koordinaten:

$N_1=12;\quad N_2=8$

$\ a.)\ g:2y+6x=38\ \Rightarrow\ y=19-3x$

$\ b.)\ x^2-20x+96=19-3x$

$\hspace{5.6mm} x^2-17x+77=0$

Die Diskriminante D einer quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c=0$ ist definiert durch:

$\ c.)\ {D=(-17)^2-4\cdot 1\cdot 77}\ \Rightarrow\ D=289-308$

$\hspace{5.6mm}D=-19$

An der Diskriminante kann man ablesen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung besitzt: Für$\ D>0 \$gibt es zwei, für $\ D=0\$eine und für $\ D<0\$keine Lösung.

da$\ (-19)<0$ ist, hat die Gleichung keine Lösung, die Gerade$\ g\$hat also

keinen Schnittpunkt mit der Parabel$\ p_4$.

Die korrekte Gleichung lautet also:$\$$\sqrt{m^8\ b^2}=m^4\ b$

$(\square-\square)^2 = 0{,}64a^4\ ♦\ 4a^2b^9 + \square$

Wende die $2$. Binomische Formel an:

$\hspace{10mm}(a-b)^2\hspace{9mm}=\hspace{3mm}a^2\hspace{3mm}-\hspace{3mm}2ab\hspace{1mm}+\hspace{3mm}b^2\hspace{2mm}$

$\left(\boxed{0{,}8a^2}-\boxed{2{,}5b^9}\right)^2=0{,}64a^4\ \boxed{-}\ 4a^2b^9 +\boxed{6{,}25b^{18}}$

$\ a.)\ \overline{DE}=\overline{CE}-\overline{CD}\ \Rightarrow\ \overline{DE}=6\ m-2{,}25\ m$

$\hspace{6mm}\overline{DE}=4\ m$

$\$berechne die Höhe$\ \overline{DF}$

$\ (\overline{DF})^2=\overline{DE}\cdot\overline{DC}\qquad$Höhensatz

$\ (\overline{DF})^2=4\ m\cdot 2{,}25\ m$

$\ \overline{DF}\hspace{4mm}=\hspace{4mm}\sqrt{9\ m^2}\$

$\ \overline{DF}\hspace{4mm}=\hspace{4mm}3\ m$

$\ A_{CEF}=\dfrac{\overline{CE}\cdot\overline{DF}}{2}\ \Rightarrow\ A_{CEF}=\dfrac{6{,}25\ m\cdot3\ m}{2}$

$\ A_{CEF}=9{,}375\ m^2$

$\rule{12cm}{0.5mm}$

$\ b.)\ A_{ABE}=A_{CEF}\cdot 1{,}5^2\qquad$Hinweis: $1{,}5$ ist der Streckfaktor siehe Aufgabenstellung.

$\hspace{5.5mm}A_{ABE}=9{,}375\ m^2\cdot 2{,}25$

$\hspace{5.5mm}A_{ABE}=21{,}09\ m^2$

$\rule{12cm}{0.5mm}$

$\ c.)\ A_{ABCF}=A_{ABE}-A_{CEF}\ \Rightarrow\ A_{ABCF}=21{,}09\ m^2-9{,}375\ m^2$

$\hspace{5.5mm} A_{ABCF}=11{,}72\ m^2$

Berechne den Winkel $\text{BEA}$ des Dreiecks $\text{ABE}$.

$\ \tan(\measuredangle \text{BEA})=\dfrac{\overline{DF}}{\overline{DE}}\ \Rightarrow\ \tan(\measuredangle BEA)=\dfrac{3}{4}$

$\ \measuredangle \text{BEA}=36{,}9^{\circ}$

$\ \measuredangle \text{EAB}=90^{\circ}\ \Rightarrow\ \measuredangle \text{ABE} =180^{\circ}-90^{\circ}-36{,}9^{\circ}$

$\ \measuredangle \text{ABE}=53{,}1^{\circ}$

Der Lichtschlauch ist für das Dreieck$\ \text{ABE}\$geeignet, da keiner der Winkel kleiner als$\ 25^{\circ}\$ist.

Bekannt sind folgende Grössen:

Bevölkerungsstand im Jahr 2010: $460725$ Einwohner.

Zunahme der Bevölkerung in $9$ Jahren um $30800$ Einwohner.

Berechne das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum in Prozent.

$460725+30800\ =\ 460725\ \cdot\ q^9\ \Rightarrow\ q\ =\ \sqrt[\scriptsize{9}]{\dfrac{491525}{460725}}\ \\\Rightarrow\ q\ \approx\ 1{,}0072\ \Rightarrow\ p\ =\ 0{,}72\%$

Das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum beträgt $0{,}72\%$.

Die Formel fur das exponentielle Wachstum lautet:

$\hspace{4.5cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1+p)^t$

$N_t\ =\ 2000000\qquad p\ =\ 0{,}38\%\qquad N_0\ =\ 1847253$

setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4.5cm}2000000=1847253\cdot(1+0{,}0038)^t$

$\hspace{4.5cm}2000000=1847253\cdot(1{,}0038)^t$

Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.

$\hspace{3.5cm}t=\log_{1{,}0038}\left(\dfrac{2000000}{1847253}\right)$

$\hspace{3.5cm} t=\dfrac{\lg2000000-lg1847253}{lg\ 1{,}0038}$

$\hspace{3.5cm}t=\dfrac{0{,}03450}{0{,}00165}\ \Rightarrow\ t=20{,}91$

Die Einwohnerzahl würde nach ungefähr $21$ Jahren die $2$ Millionengrenze überschreiten.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N_0\ =\ 246334\qquad p\ =\ 1{,}01\%\qquad t\ =\ 10\ \text{Jahre}\qquad$

$\hspace{4cm}N_{10}=246334\cdot(1-0{,}0101)^{10}$

$\hspace{4cm}N_{10}=246334\cdot0{,}9899^{10}$

$\hspace{4cm}N_{10}=222555{,}13$

Nach $10$ Jahren hat die Stadt noch $222555$ Einwohner.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N_t\ =\ 2510\qquad p\ =\ 2{,}8\%\qquad t\ =\ 21\ \text{Jahre}\qquad$

setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4cm}2510=N_0\cdot(1-0{,}028)^{21}$

$\hspace{4cm}2510=N_0\cdot0{,}972^{21}$

$\hspace{43mm}N_0={2510}:{0{,}972^{21} }$

$\hspace{43mm}N_0=4557{,}033$

Am 1. Januar 2000 hatte die kleine Gemeinde $4557$ Einwohner.