Bekannt sind folgende Grössen:

Bevölkerungsstand im Jahr 2010: $460725$ Einwohner.

Zunahme der Bevölkerung in $9$ Jahren um $30800$ Einwohner.

Berechne das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum in Prozent.

$460725+30800\ =\ 460725\ \cdot\ q^9\ \Rightarrow\ q\ =\ \sqrt[\scriptsize{9}]{\dfrac{491525}{460725}}\ \\\Rightarrow\ q\ \approx\ 1{,}0072\ \Rightarrow\ p\ =\ 0{,}72\%$

Das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum beträgt $0{,}72\%$.

Die Formel fur das exponentielle Wachstum lautet:

$\hspace{4.5cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1+p)^t$

$N_t\ =\ 2000000\qquad p\ =\ 0{,}38\%\qquad N_0\ =\ 1847253$

setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4.5cm}2000000=1847253\cdot(1+0{,}0038)^t$

$\hspace{4.5cm}2000000=1847253\cdot(1{,}0038)^t$

Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.

$\hspace{3.5cm}t=\log_{1{,}0038}\left(\dfrac{2000000}{1847253}\right)$

$\hspace{3.5cm} t=\dfrac{\lg2000000-lg1847253}{lg\ 1{,}0038}$

$\hspace{3.5cm}t=\dfrac{0{,}03450}{0{,}00165}\ \Rightarrow\ t=20{,}91$

Die Einwohnerzahl würde nach ungefähr $21$ Jahren die $2$ Millionengrenze überschreiten.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N_0\ =\ 246334\qquad p\ =\ 1{,}01\%\qquad t\ =\ 10\ \text{Jahre}\qquad$

$\hspace{4cm}N_{10}=246334\cdot(1-0{,}0101)^{10}$

$\hspace{4cm}N_{10}=246334\cdot0{,}9899^{10}$

$\hspace{4cm}N_{10}=222555{,}13$

Nach $10$ Jahren hat die Stadt noch $222555$ Einwohner.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N_t\ =\ 2510\qquad p\ =\ 2{,}8\%\qquad t\ =\ 21\ \text{Jahre}\qquad$

setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4cm}2510=N_0\cdot(1-0{,}028)^{21}$

$\hspace{4cm}2510=N_0\cdot0{,}972^{21}$

$\hspace{43mm}N_0={2510}:{0{,}972^{21} }$

$\hspace{43mm}N_0=4557{,}033$

Am 1. Januar 2000 hatte die kleine Gemeinde $4557$ Einwohner.