Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=1$

$\text{Aus }A(-3|1):\ \ \ \ (I) \ \ 1= 1\cdot (-3)^2+b\cdot (-3)+c$

$\text{Aus } B\hspace{1.5mm}(2|6)\hspace{1.5mm}:\ (II)\ \ \ 6= 1\cdot (2)^2+b\cdot (2)+c\quad\Rightarrow\quad c=2-2b$

$\hspace{74mm}$setze $c$ in $(I)$ ein und berechne $b$

Setze b in$\ (II)\$ein und berechne $\ c$.

$\ c=2-2b\ \Rightarrow\ c=2-2\cdot 2\ =-2$

$\ c=-2\ \$jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.

$\ p_{\tiny1}:y\ =x^2+2x-2$

Der Scheitel der Parabel $p_{\tiny 2}\$ist laut Angabe: $\ S_{\tiny 2}(3|4)\$

Die Scheitelform lautet:

$\ f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$\ S_{\tiny 2}$ ein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist $a=-1.$

$p_{\tiny 2}:y\ =\ -(x-3)^2+4$

die Normalform ist dann:

$p_{\tiny 2}:y\ =\ -x^2+6x-5$

Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.

Zur Berechnung der $y$-Koordinate setzte den Wert der $x$-Koordinate

des Punkts $C$ in die Funktionsgleichung $\ p_3\$ ein.

$p_3:y=−x^2+7x+14$

$\hspace{6mm}y=−(7^2)+7\cdot 7+14$

$\hspace{6mm}y=63-49$

$\hspace{6mm}y=14\ \Rightarrow\ C(7|14)$

Setze die $x$-Koordinate von D $\ (-3)$ in dieFunktionsgleichung

von$\ p_3\$ein und berechne den Funktionswert.

also:$\ y=-(-3)^2+7\cdot (-3)+14$

$\hspace{7.5mm}y=-9-21+14$

$\hspace{7.5mm}y=-16$

Der Punkt $D$ liegt nicht auf der Parabel$\ p_3\$, da:$\ -16\neq16$ .

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunkt der Parabel $p_{3}$ ablesen:$\quad \mathrm S_2\left(3{,}5\left|26{,}25\right.\right)$

Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\ x^2−20x + 96=0$

$x_{1{,}2}=\dfrac{20\pm\sqrt{20^2-4\cdot1\cdot 96}}{2\cdot 1}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{20\pm\sqrt{400-384}}{2}\quad\Rightarrow\quad x_{\tiny 1}\ =\ 12$

$\hspace{48mm}x_{\tiny2}\ =\ 8$

Schnittpunkte mit den $x$-Koordinaten:

$N_1=12;\quad N_2=8$

$\ a.)\ g:2y+6x=38\ \Rightarrow\ y=19-3x$

$\ b.)\ x^2-20x+96=19-3x$

$\hspace{5.6mm} x^2-17x+77=0$

Die Diskriminante D einer quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c=0$ ist definiert durch:

$\ c.)\ {D=(-17)^2-4\cdot 1\cdot 77}\ \Rightarrow\ D=289-308$

$\hspace{5.6mm}D=-19$

An der Diskriminante kann man ablesen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung besitzt: Für$\ D>0 \$gibt es zwei, für $\ D=0\$eine und für $\ D<0\$keine Lösung.

da$\ (-19)<0$ ist, hat die Gleichung keine Lösung, die Gerade$\ g\$hat also

keinen Schnittpunkt mit der Parabel$\ p_4$.