Aufgaben zu Wurzelgleichungen - lernen mit Serlo!

Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge der Wurzelgleichung $\sqrt{2x-2}=\sqrt{x}$ .

1. Definitionsbereich für die Wurzeln bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

Erste Wurzel: $\textcolor{ff6600}{\sqrt{2x-2}}$

Prüfe, wann der Radikand $2 x - 2$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 2x-2$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 2x$	$\geq ≥$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$\geq ≥$	$\displaystyle 1$

Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die erste Wurzel $\textcolor{ff6600}{\sqrt{2x-2}}$

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq1\}}

Zweite Wurzel: $\textcolor{009999}{\sqrt{x}}$

Hier gilt: $\textcolor{009999}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq0\} }$

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die beiden Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Ab $x\ge{1}$ überschneiden sich die zwei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Für die Wurzelgleichung $\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{2x-2}}_{x\geq 1}}=\displaystyle\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x}}_{x\geq0}}$ gilt dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq1\}}

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq1$ ist.

2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{2x-2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
$\displaystyle 2x-2$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -x$
	↓	Löse nach x auf.
$\displaystyle x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Du hast als mögliche Lösung $x = 2$ erhalten.

Die Lösung liegt im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq1\}$ für die Wurzelgleichung.

3. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x = 2$ :

Setze $x = 2$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x-2}=\sqrt{x}$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot 2-2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{4-2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x = 2$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

4. Lösungsmenge angeben

\displaystyle\mathbb L=\{2\}

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