Aufgaben zu Wurzelgleichungen
Hier findest du Übungsaufgaben zum Thema Wurzelgleichungen. Lerne, den Definitionsbereich von Wurzelgleichungen zu bestimmen und sie zu lösen!
- 1
Gegeben sind die beiden Funktionen und .
Berechne, in welchem Punkt sich die beiden Funktionsgraphen schneiden.
Für die Schnittpunktberechnung setze . Du erhältst eine Wurzelgleichung .
1. Bestimme den Definitionsbereich für die Wurzeln
ist für nicht definiert, d.h. für .
Somit ergibt sich der Definitionsbereich für diese Wurzel:
ist für nicht definiert, d.h. für .
Der Definitionsbereich für diese Wurzel ist dann:
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die zwei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung gilt dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Löse nach auf.
liegt im Definitionsbereich der Wurzelgleichung.
3. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel.
Mit der Probe für hast du gleichzeitig den -Wert des Schnittpunkts berechnet:
Die beiden Graphen schneiden sich im Punkt .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Zeichne die beiden Graphen mithilfe einer Wertetabelle.
Berechne einige Funktionswerte der beiden Graphen:
mit
Beispielsweise ist
Setzt man hingegen in ein, so ergibt sich . Der Radikand ist negativ und die Wurzel ist nicht definiert. Beachte den Definitionsbereich für g(x):
nicht definiert
nicht definiert
nicht definiert
nicht definiert
4
4
Graphische Darstellung
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Binomische Formel anwenden.
↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
↓ Klammere aus.
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die Gleichung erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst. Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von und gleich ist, so ist oder .
↓ Löse nach auf.
Somit ist und/oder .
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel.
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe auf der linken Seite die Wurzel und kürze den Bruch auf der rechten Seite.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Binomische Formel anwenden.
↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für und ab:
und
Setze die Werte in die pq-Formel ein:
↓ Setze und ein.
↓ Berechne das Quadrat.
↓ Fasse unter der Wurzel zusammen.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel.
Somit folgt:
und
Du hast als mögliche Lösungen erhalten und .
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel.
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Binomische Formel anwenden.
↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab:
, und
Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein:
↓ Setze ein , und
↓ Fasse zusammen.
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe die Wurzel.
Es ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:
und
Somit ist und/oder .
Du hast die Lösungen und erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösungen wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss geprüft werden, welche der beiden Lösungen die gesuchte Lösung der Gleichung ist.
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe mit :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Kürze den Bruch.
↓ Fasse zusammen.
Du hast eine falsche Aussage erhalten (eine Wurzel ist immer positiv).
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Kürze den Bruch und fasse den Term unter der Wurzel zusammen.
↓ Berechne die Wurzel und fasse zusammen.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Anhält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
- 3
Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich ist.
Du hast die Ungleichung erhalten. Sie ist wahr, wenn .
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Löse nach auf.
Du hast die beiden Lösungen und/oder erhalten.
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel:
und
4. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel
Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
Du hast die Ungleichung erhalten. Sie ist wahr, wenn .
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Löse nach auf.
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast eine biquadratische Gleichung erhalten.
Diese Gleichung lässt sich lösen, indem man durch ersetzt (substituiert).
Da ist, wird durch die Substitution zu .
Du hast nun die quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für und ab:
und
Setze die Werte in die pq-Formel ein:
↓ Setze und ein.
↓ Vereinfache.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast die beiden Werte und erhalten. Nun muss wieder resubstituiert werden:
Da (also ) gesetzt wurde, können nun die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden:
also ist keine Lösung
also ist
Somit ist und/oder .
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel:
und
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel
Du hast wieder eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Anhält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
- 4
Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Es müssen zwei Wurzeln untersucht werden:
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Kürze.
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Für überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Bringe die Wurzel auf eine Seite.
↓ Vereinfache.
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Löse nach auf.
↓ Kürze den Bruch.
liegt im Definitionsbereich für die Wurzel.
4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Es müssen zwei Wurzeln untersucht werden:
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Löse nach auf.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Setze zunächst den Radikanden gleich null.
↓ Die Wurzel muss auf einer Seite allein stehen.
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Wende eine binomische Formel an.
↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der p-q-Formel.
Lies die Werte für und ab:
und
Setze die Werte in die p-q-Formel ein:
↓ Setze und ein.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe teilweise die Wurzel.
↓ Schreibe als einen Bruch.
Du hast die Lösung erhalten. Damit folgt dann:
und
Mache mit den beiden berechneten Werten die Probe.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Die Gleichung kann nur mit dem Taschenrechner verifiziert werden! Sie ist wahr.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Der Term auf der linken Seite kann nur mit dem Taschenrechner berechnet werden.
Man erhält als Ergebnis:
Damit ist der Wert des Terms ungleich null. Du hast eine falsche Aussage erhalten.
ist keine Lösung der Wurzelgleichung
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln. Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist dann:
Alle Umformungen erfolgen unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Die Wurzel muss auf einer Seite allein stehen.
↓ Wende eine binomische Formel an.
↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für und ab:
und
Setze die Werte in die pq-Formel ein:
↓ Setze und ein.
↓ Vereinfache.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast die Lösung erhalten. Damit folgt dann:
und
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel.
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Vereinfache.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Vereinfache.
↓ Vereinfache.
Du hast eine falsche Aussage erhalten, da ist.
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
- 5
Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
1. Definitionsbereiche für die Wurzeln bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Die erste Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
Die zweite Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
Die dritte Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung
ist dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren. Denke daran, auf der linken Seite eine binomische Formel anzuwenden.
↓ Fasse die Terme auf der linken Seite zusammen.
↓ Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Klammern ausrechnen und Binomische Formel anwenden.
↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
3. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab und setze sie in die Formel ein:
, und
↓ Setze , und ein.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast die Lösung erhalten.
Dann folgt:
und
Die Lösung liegt nicht im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung, d.h. diese Lösung entfällt. liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung
4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Fasse zusammen
↓ Ziehe die Wurzeln
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereiche für die Wurzeln bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Die erste Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Die zweite Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Die dritte Wurzel:
Hier muss sei n.
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die drei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung gilt dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
↓ Fasse zusammen.
↓ Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Klammern ausrechnen und Binomische Formel anwenden.
↓ Zusammenfassen und Klammer auflösen.
↓ Alle Terme auf eine Seite bringen.
3. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab und setze sie in die Formel ein:
, und
↓ Setze , und ein.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast die Lösung erhalten. Dann folgt:
und
Die Lösung liegt nicht im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung, d.h. diese Lösung entfällt.
liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.
4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe die Wurzeln.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Anhält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
- 6
Bestimme rechnerisch die Lösung der Wurzelgleichung.
.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Die erste Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
Der Definitionsbereich für diese Wurzel ist:
Die zweite Wurzel:
Der Radikand ist für größer oder gleich null.
Der Definitionsbereich für die zweite Wurzel ist demnach:
Die dritte Wurzel ist gleich der ersten Wurzel. Allerdings steht die Wurzel im Nenner des Bruches. Die Wurzel muss deshalb größer null sein.
Der Definitionsbereich für die dritte Wurzel ist:
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung gilt dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Beseitigung der Wurzel im Nenner
↓ Beseitige die Wurzel im Nenner.
↓ Fasse zusammen.
↓ Die Wurzel muss allein auf einer Seite stehen
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Löse auf der linken Seite die Klammern auf und benutze eine binomische Formel auf der rechten Seite.
↓ Fasse auf der linken Seite zusammen.
↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab:
, und
Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein:
↓ Setze , und ein
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast die Lösung erhalten. Dann folgt:
und
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.
5. Probe für die erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe die Wurzeln.
↓ Fasse zusammen bzw. kürze den Bruch.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Fasse zusammen.
↓ Beseitige die Wurzel im Nenner.
↓ Vereinfache
↓ Ziehe die Wurzel.
↓ Fasse zusammen.
Du hast eine falsche Aussage erhalten. ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Beachte, dass eine Wurzel im Nenner steht. In diesem Fall muss der Nenner ungleich null sein.
- 7
Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge der Wurzelgleichung .
1. Definitionsbereich für die Wurzeln bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Erste Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die erste Wurzel
Zweite Wurzel:
Hier gilt:
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die beiden Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die zwei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung gilt dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
↓ Löse nach x auf.
Du hast als mögliche Lösung erhalten.
Die Lösung liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.
3. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Fasse zusammen.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
4. Lösungsmenge angeben
- 8
Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
↓ Kürze.
Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die Wurzel
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Auflösung der Wurzelgleichung
Die Wurzel steht schon allein auf einer Seite.
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Wende eine binomische Formel an.
↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten.
Die Lösung der Gleichung erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
, und
↓ Setze , und ein.
↓ Vereinfache.
↓ Ziehe die Wurzel.
↓ Schreibe den Term als zwei Brüche.
↓ Kürze.
Somit ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:
und
3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.
Führe nun eine Probe durch:
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1. Definitionsbereich für die Wurzeln bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Erste Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die erste Wurzel
Zweite Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
Der Definitionsbereich für die zweite Wurzel ist dann:
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die zwei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung gilt dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Auflösung der Wurzelgleichung
Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
↓ Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
↓ Wende eine binomische Formel an.
↓ Fasse zusammen.
↓ Die Wurzel muss allein auf einer Seite stehen.
Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Wende eine binomische Formel an.
↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
↓ Löse nach auf.
Du hast zwei Lösungen der quadratischen Gleichung erhalten:
und
3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.
Führe nun eine Probe durch:
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe die Wurzeln.
Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe die Wurzeln.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet:
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 9
Löse die Wurzelgleichung
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
↓ Löse nach auf.
Der Radikand ist größer oder gleich null, wenn und/oder ist.
Damit ergibt sich der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzel und auch für die Wurzelgleichung
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Auflösung der Wurzelgleichung
↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
↓ Löse nach auf.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast als mögliche Lösung und/oder erhalten.
3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung. Führe nun eine Probe durch:
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Fasse zusammen.
↓ Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge für die Wurzelgleichung ist:
- 10
Löse folgende Gleichungen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
Die Lösungen sind , .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
Die Lösung ist .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
Die Lösungen sind , .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
Hier gibt es keine Lösung. Von einer negativen Zahl kannst du keine Wurzel ziehen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?