Aufgaben zu Wurzelgleichungen

Hier findest du Übungsaufgaben zum Thema Wurzelgleichungen. Lerne, den Definitionsbereich von Wurzelgleichungen zu bestimmen und sie zu lösen!

Gegeben sind die beiden Funktionen $f(x)=\sqrt{2x+4}$ und $g(x)=\sqrt{4x-8}$ .

Berechne, in welchem Punkt sich die beiden Funktionsgraphen schneiden.

Für die Schnittpunktberechnung setze $f(x)=g(x)$ . Du erhältst eine Wurzelgleichung $\sqrt{2x+4}=\sqrt{4x-8}$ .

1. Bestimme den Definitionsbereich für die Wurzeln

$\displaystyle \textcolor{009999}{\sqrt{2x+4}}$ ist für $2x+4<0$ nicht definiert, d.h. für $x<-2$ .

Somit ergibt sich der Definitionsbereich für diese Wurzel: $\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-2\} }$

$\displaystyle \textcolor{ff6600}{\sqrt{4x-8}}$ ist für $4x-8 <0$ nicht definiert, d.h. für $x<2$ .

Der Definitionsbereich für diese Wurzel ist dann: $\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }$

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die zwei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Gültigkeitsbereich für die Wurzelgleichung

Ab $x\ge{2}$ überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Für die Wurzelgleichung $\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{4x-8}}_{x\geq 2}}=\displaystyle \textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{2x+4}}_{x\geq-2}}$ gilt dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq2$ ist.

2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{2x+4}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{4x-8}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 2x+4$	$=$	$\displaystyle 4x-8$	$\displaystyle -2x-4$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x-12$	$\displaystyle +12$
$\displaystyle 12$	$=$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6$

$x=6$ liegt im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\}$ der Wurzelgleichung.

3. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x=6$ :

Setze $x=6$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x+4}=\sqrt{4x-8}$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot 6+4}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{4\cdot 6-8}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{16}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{16}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 4\;\checkmark$

Mit der Probe für $x=6$ hast du gleichzeitig den $y$ -Wert des Schnittpunkts berechnet:

$f(6)=g(6)=4$

Die beiden Graphen schneiden sich im Punkt $S(6|4)$ .

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Zeichne die beiden Graphen mithilfe einer Wertetabelle.

Berechne einige Funktionswerte der beiden Graphen:

$f(x)=\sqrt{2x+4}$ mit $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-2\}$

Beispielsweise ist $f(-2)=\sqrt{2\cdot (-2)+4}=\sqrt{-4+4}=\sqrt{0}=0$

Setzt man hingegen $x=-2$ in $g(x)=\sqrt{4x-8}$ ein, so ergibt sich $g(-2)=\sqrt{4\cdot (-2)-8}=\sqrt{-16}$ . Der Radikand ist negativ und die Wurzel ist nicht definiert. Beachte den Definitionsbereich für g(x): $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\}$

$x$	$f(x)$	$g(x)$
$-2$	$0$	nicht definiert
$-1$	$\sqrt{2}\approx 1{,}4$	nicht definiert
$0$	$2$	nicht definiert
$1$	$\sqrt{6}\approx 2{,}4$	nicht definiert
$2$	$\sqrt{8}\approx 2{,}8$	$0$
$3$	$\sqrt{10} \approx 3{,}2$	$2$
$4$	$\sqrt{12} \approx 3{,}5$	$\sqrt{8}\approx 2{,}8$
$5$	$\sqrt{14} \approx 3{,}7$	$\sqrt{12} \approx 3{,}5$
$6$	4	4
$7$	$\sqrt{18} \approx 4{,}2$	$\sqrt{20} \approx 4{,}5$

Graphische Darstellung

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Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{x+1}=2x-1$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

$\textcolor{009999}{\sqrt{x+1}}$ : Prüfe, wann der Radikand $x+1$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x+ 1$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -1$

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x+1}}_{x\geq-1}}=2x-1$ ist:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq-1$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{x+1}$	$=$	$\displaystyle 2x-1$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle (2x-1)^2$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle 4x^2-4x+1$	$\displaystyle -x-1$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4x^2-5x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\cdot(4x-5)$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die Gleichung $0=x\cdot(4x-5)$ erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst. Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von $x$ und $4x-5$ gleich $0$ ist, so ist $x=0$ oder $4x-5=0$ .

$\displaystyle 4x-5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +5$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{4}$

Somit ist $x=0$ und/oder $x=\dfrac{5}{4}$ .

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-1\}$ für die Wurzel.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x=0$ :

Setze $x=0$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+1}=2x-1$ ein:

$\displaystyle \sqrt{0+1}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot 0-1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -1$

Du hast eine falsche Aussage erhalten.

Somit ist $x=0$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=\dfrac{5}{4}$ :

Setze $x=\dfrac{5}{4}$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+1}=2x-1$ ein:

$\displaystyle \sqrt{\dfrac{5}{4}+1}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\dfrac{5}{4}-1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{5}{4}+\dfrac{4}{4}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10}{4}-\dfrac{4}{4}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{9}{4}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{4}$
	↓	Ziehe auf der linken Seite die Wurzel und kürze den Bruch auf der rechten Seite.
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=\dfrac{5}{4}$ Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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$\sqrt{x+2}=x+2$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

$\textcolor{009999}{\sqrt{x+2}}$ : Prüfe, wann der Radikand $x+2$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x+2$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -2$

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x+2}}_{x\geq-2}}=x+2$ ist:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq-2$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{x+2}$	$=$	$\displaystyle x+2$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle (x+2)^2$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+4$	$\displaystyle -x-2$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+3x+2$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die quadratische Gleichung $0 =x^2+3x+2$ erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:

$p=3$ und $q=2$

Setze die Werte in die pq-Formel ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=3$ und $q=2$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-2}$
	↓	Berechne das Quadrat.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-\dfrac{8}{4}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{1}{2}$

Somit folgt:

$x_1=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=-2$ und $x_2=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=-1$

Du hast als mögliche Lösungen erhalten $x_{1}=-2$ und $x_2=-1$ .

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-2\}$ für die Wurzel.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x_1=-2$ :

Setze $x_1=-2$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+2}=x+2$ ein:

$\displaystyle \sqrt{-2+2}$	$=$	$\displaystyle -2+2$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{0}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x_1=-2$ Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x_2=-1$ :

Setze $x_2=-1$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+2}=x+2$ ein:

$\displaystyle \sqrt{-1+2}$	$=$	$\displaystyle -1+2$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch $x_2=-1$ Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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$\sqrt{2x-1}=\dfrac{6}{5}x-3$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

$\textcolor{009999}{\sqrt{2x-1}}$ : Prüfe, wann der Radikand $2x-1$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 2x-1$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 2x$	$≥$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{2x-1}}_{x\geq\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{6}{5}x-3$ ist:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq\dfrac{1}{2}$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{5}x-3$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{6}{5}x-3\right)^2$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{36}{25}\ x^2-\dfrac{36}{5} x+9$	$\displaystyle -2x+1$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \dfrac{36}{25}\ x^2-\dfrac{46}{5} x+10$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die quadratische Gleichung $0=\dfrac{36}{25}\ x^2-\dfrac{46}{5} x+10$ erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab:

$a=\dfrac{36}{25}$ , $b=-\dfrac{46}{5}$ und $c=10$

Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze ein $a=\dfrac{36}{25}$ , $b=-\dfrac{46}{5}$ und $c=10.$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\left(-\dfrac{46}{5}\right)\pm\sqrt{\left(-\dfrac{46}{5}\right)^2-4\cdot \left(\dfrac{36}{25}\right)\cdot 10}}{2\cdot \dfrac{36}{25}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{46}{5}\pm\sqrt{\dfrac{2116}{25}-\dfrac{1440}{25}}}{ \dfrac{72}{25}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{46}{5}\pm\sqrt{\dfrac{676}{25}}}{ \dfrac{72}{25}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{46}{5}\pm\dfrac{26}{5}}{ \dfrac{72}{25}}$

Es ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:

$x_1=\dfrac{\dfrac{46}{5}-\dfrac{26}{5}}{ \dfrac{72}{25}}=\dfrac{\dfrac{20}{5}}{\dfrac{72}{25}}=\dfrac{20}{5}\cdot\dfrac{25}{72}=\dfrac{25}{18}$ und $x_2=\dfrac{\dfrac{46}{5}+\dfrac{26}{5}}{ \dfrac{72}{25}}=\dfrac{\dfrac{72}{5}}{\dfrac{72}{25}}=\dfrac{72}{5}\cdot\dfrac{25}{72}=5$

Somit ist $x=\dfrac{25}{18}$ und/oder $x=5$ .

Du hast die Lösungen $x_1=\dfrac{25}{18}$ und $x_2=5$ erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösungen wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss geprüft werden, welche der beiden Lösungen die gesuchte Lösung der Gleichung ist.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe mit $x_1=\dfrac{25}{18}$ :

Setze $x_1=\dfrac{25}{18}$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x-1}=\dfrac{6}{5}x-3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot\dfrac{25}{18}-1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{5}\cdot \dfrac{25}{18}-3$
	↓	Kürze den Bruch.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{50}{18}-\dfrac{18}{18}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{3}-3$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{32}{18}}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{4}{3}$

Du hast eine falsche Aussage erhalten (eine Wurzel ist immer positiv).

Somit ist $x_1=\dfrac{25}{18}$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x_2=5$ :

Setze $x_2=5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x-1}=\dfrac{6}{5}x-3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot5-1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{5}\cdot 5-3$
	↓	Kürze den Bruch und fasse den Term unter der Wurzel zusammen.
$\displaystyle \sqrt{9}$	$=$	$\displaystyle 6-3$
	↓	Berechne die Wurzel und fasse zusammen.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 3\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=5$ Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{50-x^2}=x$

5
-5

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

$\textcolor{009999}{\sqrt{50-x^2}}$ : Prüfe, wann der Radikand $50-x^2$ größer oder gleich $0$ ist.

$\displaystyle 50-x^2$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +x^2$
$\displaystyle 50$	$≥$	$\displaystyle x^2$

Du hast die Ungleichung $x^2\leq 50$ erhalten. Sie ist wahr, wenn $x\in \Big[-\sqrt{50};+\sqrt{50}\Big]$ .

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{50-x^2}}_{-\sqrt{50}\leq x\leq\sqrt{50}}}=x$ ist:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\in \textcolor{009999}{\mathbb D}$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{50-x^2}$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 50-x^2$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle +x^2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 50$	$=$	$\displaystyle 2x^2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle 25$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm 5$

Du hast die beiden Lösungen $x=-5$ und/oder $x=5$ erhalten.

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel:

$-5\geq-\sqrt{50}\approx -7{,}07$ und $5\leq\sqrt{50}\approx 7{,}07$

4. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x=-5$ :

Setze $x=-5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{50-x^2}=x$ ein:

$\displaystyle \sqrt{50-(-5)^2}$	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{50-25}$	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{25}$	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle -5$

Du hast eine falsche Aussage erhalten.

Somit ist $x=-5$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=5$ :

Setze $x=5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{50-x^2}=x$ ein:

$\displaystyle \sqrt{50-5^2}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{50-25}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{25}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 5$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=5$ Lösung der Wurzelgleichung.

5. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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$\sqrt{5-4x^2}=x^2$

Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{12-\sqrt{3x}}=3$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Es müssen zwei Wurzeln untersucht werden:

$\textcolor{ff6600}{\sqrt{3x}}$ : Prüfe, wann der Radikand $3x$ größer oder gleich null ist. $\;\Rightarrow\;x\geq0$

$\textcolor{009999}{\sqrt{12-\sqrt{3x}}}$ : Prüfe, wann der Radikand $12-\sqrt{3x}$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 12-\sqrt{3x}$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\sqrt{3x}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 12$	$≥$	$\displaystyle \sqrt{3x}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 12^2$	$≥$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \dfrac{144}{3}$	$≥$	$\displaystyle x$
	↓	Kürze.
$\displaystyle 48$	$≥$	$\displaystyle x$

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Definitionsbereich für die Wurzelgleichung

Für $0\le x\le48$ überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{660099}{\underbrace{\sqrt{12-\sqrt{3x}}}_{0\le x\le48}\textcolor{660099}{=3}}$ ist dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\in \mathbb{\textcolor{660099}{D}}$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{12-\sqrt{3x}}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 12-\sqrt{3x}$	$=$	$\displaystyle 3^2$	$\displaystyle -3^2+\sqrt{3x}$
	↓	Bringe die Wurzel auf eine Seite.
$\displaystyle 12-3^2$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3x}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3x}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 3^2$	$=$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle :3$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle \dfrac{3^2}{3}$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Kürze den Bruch.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle x$

$x=3$ liegt im Definitionsbereich $\displaystyle\textcolor{660099} {\mathbb D=[0;48] }$ für die Wurzel.

4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x=3$ :

Setze $x=3$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{12-\sqrt{3x}}=3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{12-\sqrt{3\cdot 3}}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{12- 3}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{9}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 3\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=3$ Lösung der Wurzelgleichung.

5. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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$\sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}=3$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Es müssen zwei Wurzeln untersucht werden:

$\textcolor{ff6600}{\sqrt{3x+4}}$ : Prüfe, wann der Radikand $3x+4$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle \sqrt{3x+4}$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 3x+4$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 3x$	$≥$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -\dfrac{4}{3}$

$\textcolor{009999}{\sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}}$ : Prüfe, wann der Radikand $x+1+\sqrt{3x+4}$ größer oder gleich null ist.

Setze zunächst den Radikanden gleich null.

$\displaystyle x+1+\sqrt{3x+4}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -x-1$
	↓	Die Wurzel muss auf einer Seite allein stehen.
$\displaystyle \sqrt{3x+4}$	$=$	$\displaystyle -x-1$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 3x+4$	$=$	$\displaystyle (-x-1)^2$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$\displaystyle 3x+4$	$=$	$\displaystyle x^2+2x+1$	$\displaystyle -3x-4$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-x-3$

Du hast eine quadratische Gleichung $0=x^2-x-3$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der p-q-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:

$p=-1$ und $q=-3$

Setze die Werte in die p-q-Formel ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-1$ und $q=-3$ ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-1)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{(-1)}{2}\right)^2-(-3)}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+3}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{12}{4}}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{13}{4}}$
	↓	Ziehe teilweise die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
	↓	Schreibe als einen Bruch.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}$

Du hast die Lösung $x_{1{,}2}=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}$

$\displaystyle 5-4x^2$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4x^2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 5$	$≥$	$\displaystyle 4x^2$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \dfrac{5}{4}$	$≥$	$\displaystyle x^2$

$\displaystyle \sqrt{5-4x^2}$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 5-4x^2$	$=$	$\displaystyle x^4$	$\displaystyle +4x^2-5$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^4+4x^2-5$

$\displaystyle z_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=4$ und $q=-5$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-(-5)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -{2}\pm\sqrt{{4}+5}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -{2}\pm\sqrt{9}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle -{2}\pm3$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle z_2$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle \sqrt{5-4\cdot(-1)^2}$	$=$	$\displaystyle (-1)^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{5-4}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle \sqrt{5-4\cdot1^2}$	$=$	$\displaystyle 1^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{5-4}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1$