Aufgaben zu Wurzelgleichungen

Hier findest du Übungsaufgaben zum Thema Wurzelgleichungen. Lerne, den Definitionsbereich von Wurzelgleichungen zu bestimmen und sie zu lösen!

Gegeben sind die beiden Funktionen $f(x)=\sqrt{2x+4}$ und $g(x)=\sqrt{4x-8}$ .

Berechne, in welchem Punkt sich die beiden Funktionsgraphen schneiden.

Für die Schnittpunktberechnung setze $f(x)=g(x)$ . Du erhältst eine Wurzelgleichung $\sqrt{2x+4}=\sqrt{4x-8}$ .

1. Bestimme den Definitionsbereich für die Wurzeln

$\displaystyle \textcolor{009999}{\sqrt{2x+4}}$ ist für $2x+4<0$ nicht definiert, d.h. für $x<-2$ .

Somit ergibt sich der Definitionsbereich für diese Wurzel: $\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-2\} }$

$\displaystyle \textcolor{ff6600}{\sqrt{4x-8}}$ ist für $4x-8 <0$ nicht definiert, d.h. für $x<2$ .

Der Definitionsbereich für diese Wurzel ist dann: $\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }$

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die zwei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Gültigkeitsbereich für die Wurzelgleichung

Ab $x\ge{2}$ überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Für die Wurzelgleichung $\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{4x-8}}_{x\geq 2}}=\displaystyle \textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{2x+4}}_{x\geq-2}}$ gilt dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq2$ ist.

2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{2x+4}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{4x-8}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 2x+4$	$=$	$\displaystyle 4x-8$	$\displaystyle -2x-4$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x-12$	$\displaystyle +12$
$\displaystyle 12$	$=$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6$

$x=6$ liegt im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\}$ der Wurzelgleichung.

3. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x=6$ :

Setze $x=6$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x+4}=\sqrt{4x-8}$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot 6+4}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{4\cdot 6-8}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{16}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{16}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 4\;\checkmark$

Mit der Probe für $x=6$ hast du gleichzeitig den $y$ -Wert des Schnittpunkts berechnet:

$f(6)=g(6)=4$

Die beiden Graphen schneiden sich im Punkt $S(6|4)$ .

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Zeichne die beiden Graphen mithilfe einer Wertetabelle.

Berechne einige Funktionswerte der beiden Graphen:

$f(x)=\sqrt{2x+4}$ mit $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-2\}$

Beispielsweise ist $f(-2)=\sqrt{2\cdot (-2)+4}=\sqrt{-4+4}=\sqrt{0}=0$

Setzt man hingegen $x=-2$ in $g(x)=\sqrt{4x-8}$ ein, so ergibt sich $g(-2)=\sqrt{4\cdot (-2)-8}=\sqrt{-16}$ . Der Radikand ist negativ und die Wurzel ist nicht definiert. Beachte den Definitionsbereich für g(x): $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\}$

$x$	$f(x)$	$g(x)$
$-2$	$0$	nicht definiert
$-1$	$\sqrt{2}\approx 1{,}4$	nicht definiert
$0$	$2$	nicht definiert
$1$	$\sqrt{6}\approx 2{,}4$	nicht definiert
$2$	$\sqrt{8}\approx 2{,}8$	$0$
$3$	$\sqrt{10} \approx 3{,}2$	$2$
$4$	$\sqrt{12} \approx 3{,}5$	$\sqrt{8}\approx 2{,}8$
$5$	$\sqrt{14} \approx 3{,}7$	$\sqrt{12} \approx 3{,}5$
$6$	4	4
$7$	$\sqrt{18} \approx 4{,}2$	$\sqrt{20} \approx 4{,}5$

Graphische Darstellung

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Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{x+1}=2x-1$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

$\textcolor{009999}{\sqrt{x+1}}$ : Prüfe, wann der Radikand $x+1$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x+ 1$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -1$

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x+1}}_{x\geq-1}}=2x-1$ ist:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq-1$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{x+1}$	$=$	$\displaystyle 2x-1$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle (2x-1)^2$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle 4x^2-4x+1$	$\displaystyle -x-1$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4x^2-5x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\cdot(4x-5)$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die Gleichung $0=x\cdot(4x-5)$ erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst. Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von $x$ und $4x-5$ gleich $0$ ist, so ist $x=0$ oder $4x-5=0$ .

$\displaystyle 4x-5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +5$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{4}$

Somit ist $x=0$ und/oder $x=\dfrac{5}{4}$ .

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-1\}$ für die Wurzel.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x=0$ :

Setze $x=0$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+1}=2x-1$ ein:

$\displaystyle \sqrt{0+1}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot 0-1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -1$

Du hast eine falsche Aussage erhalten.

Somit ist $x=0$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=\dfrac{5}{4}$ :

Setze $x=\dfrac{5}{4}$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+1}=2x-1$ ein:

$\displaystyle \sqrt{\dfrac{5}{4}+1}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\dfrac{5}{4}-1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{5}{4}+\dfrac{4}{4}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10}{4}-\dfrac{4}{4}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{9}{4}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{4}$
	↓	Ziehe auf der linken Seite die Wurzel und kürze den Bruch auf der rechten Seite.
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=\dfrac{5}{4}$ Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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$\sqrt{x+2}=x+2$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

$\textcolor{009999}{\sqrt{x+2}}$ : Prüfe, wann der Radikand $x+2$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x+2$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -2$

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x+2}}_{x\geq-2}}=x+2$ ist:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq-2$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{x+2}$	$=$	$\displaystyle x+2$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle (x+2)^2$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+4$	$\displaystyle -x-2$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+3x+2$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die quadratische Gleichung $0 =x^2+3x+2$ erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:

$p=3$ und $q=2$

Setze die Werte in die pq-Formel ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=3$ und $q=2$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-2}$
	↓	Berechne das Quadrat.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-\dfrac{8}{4}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{1}{2}$

Somit folgt:

$x_1=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=-2$ und $x_2=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=-1$

Du hast als mögliche Lösungen erhalten $x_{1}=-2$ und $x_2=-1$ .

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-2\}$ für die Wurzel.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x_1=-2$ :

Setze $x_1=-2$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+2}=x+2$ ein:

$\displaystyle \sqrt{-2+2}$	$=$	$\displaystyle -2+2$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{0}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x_1=-2$ Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x_2=-1$ :

Setze $x_2=-1$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+2}=x+2$ ein:

$\displaystyle \sqrt{-1+2}$	$=$	$\displaystyle -1+2$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch $x_2=-1$ Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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$\sqrt{2x-1}=\dfrac{6}{5}x-3$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

$\textcolor{009999}{\sqrt{2x-1}}$ : Prüfe, wann der Radikand $2x-1$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 2x-1$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 2x$	$≥$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{2x-1}}_{x\geq\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{6}{5}x-3$ ist:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq\dfrac{1}{2}$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{5}x-3$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{6}{5}x-3\right)^2$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{36}{25}\ x^2-\dfrac{36}{5} x+9$	$\displaystyle -2x+1$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \dfrac{36}{25}\ x^2-\dfrac{46}{5} x+10$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die quadratische Gleichung $0=\dfrac{36}{25}\ x^2-\dfrac{46}{5} x+10$ erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab:

$a=\dfrac{36}{25}$ , $b=-\dfrac{46}{5}$ und $c=10$

Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze ein $a=\dfrac{36}{25}$ , $b=-\dfrac{46}{5}$ und $c=10.$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\left(-\dfrac{46}{5}\right)\pm\sqrt{\left(-\dfrac{46}{5}\right)^2-4\cdot \left(\dfrac{36}{25}\right)\cdot 10}}{2\cdot \dfrac{36}{25}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{46}{5}\pm\sqrt{\dfrac{2116}{25}-\dfrac{1440}{25}}}{ \dfrac{72}{25}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{46}{5}\pm\sqrt{\dfrac{676}{25}}}{ \dfrac{72}{25}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{46}{5}\pm\dfrac{26}{5}}{ \dfrac{72}{25}}$

Es ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:

$x_1=\dfrac{\dfrac{46}{5}-\dfrac{26}{5}}{ \dfrac{72}{25}}=\dfrac{\dfrac{20}{5}}{\dfrac{72}{25}}=\dfrac{20}{5}\cdot\dfrac{25}{72}=\dfrac{25}{18}$ und $x_2=\dfrac{\dfrac{46}{5}+\dfrac{26}{5}}{ \dfrac{72}{25}}=\dfrac{\dfrac{72}{5}}{\dfrac{72}{25}}=\dfrac{72}{5}\cdot\dfrac{25}{72}=5$

Somit ist $x=\dfrac{25}{18}$ und/oder $x=5$ .

Du hast die Lösungen $x_1=\dfrac{25}{18}$ und $x_2=5$ erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösungen wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss geprüft werden, welche der beiden Lösungen die gesuchte Lösung der Gleichung ist.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe mit $x_1=\dfrac{25}{18}$ :

Setze $x_1=\dfrac{25}{18}$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x-1}=\dfrac{6}{5}x-3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot\dfrac{25}{18}-1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{5}\cdot \dfrac{25}{18}-3$
	↓	Kürze den Bruch.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{50}{18}-\dfrac{18}{18}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{3}-3$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{32}{18}}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{4}{3}$

Du hast eine falsche Aussage erhalten (eine Wurzel ist immer positiv).

Somit ist $x_1=\dfrac{25}{18}$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x_2=5$ :

Setze $x_2=5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x-1}=\dfrac{6}{5}x-3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot5-1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{5}\cdot 5-3$
	↓	Kürze den Bruch und fasse den Term unter der Wurzel zusammen.
$\displaystyle \sqrt{9}$	$=$	$\displaystyle 6-3$
	↓	Berechne die Wurzel und fasse zusammen.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 3\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=5$ Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{50-x^2}=x$

5
-5

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

$\textcolor{009999}{\sqrt{50-x^2}}$ : Prüfe, wann der Radikand $50-x^2$ größer oder gleich $0$ ist.

$\displaystyle 50-x^2$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +x^2$
$\displaystyle 50$	$≥$	$\displaystyle x^2$

Du hast die Ungleichung $x^2\leq 50$ erhalten. Sie ist wahr, wenn $x\in \Big[-\sqrt{50};+\sqrt{50}\Big]$ .

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{50-x^2}}_{-\sqrt{50}\leq x\leq\sqrt{50}}}=x$ ist:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\in \textcolor{009999}{\mathbb D}$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{50-x^2}$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 50-x^2$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle +x^2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 50$	$=$	$\displaystyle 2x^2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle 25$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm 5$

Du hast die beiden Lösungen $x=-5$ und/oder $x=5$ erhalten.

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel:

$-5\geq-\sqrt{50}\approx -7{,}07$ und $5\leq\sqrt{50}\approx 7{,}07$

4. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x=-5$ :

Setze $x=-5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{50-x^2}=x$ ein:

$\displaystyle \sqrt{50-(-5)^2}$	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{50-25}$	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{25}$	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle -5$

Du hast eine falsche Aussage erhalten.

Somit ist $x=-5$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=5$ :

Setze $x=5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{50-x^2}=x$ ein:

$\displaystyle \sqrt{50-5^2}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{50-25}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{25}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 5$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=5$ Lösung der Wurzelgleichung.

5. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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$\sqrt{5-4x^2}=x^2$

Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{12-\sqrt{3x}}=3$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Es müssen zwei Wurzeln untersucht werden:

$\textcolor{ff6600}{\sqrt{3x}}$ : Prüfe, wann der Radikand $3x$ größer oder gleich null ist. $\;\Rightarrow\;x\geq0$

$\textcolor{009999}{\sqrt{12-\sqrt{3x}}}$ : Prüfe, wann der Radikand $12-\sqrt{3x}$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 12-\sqrt{3x}$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\sqrt{3x}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 12$	$≥$	$\displaystyle \sqrt{3x}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 12^2$	$≥$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \dfrac{144}{3}$	$≥$	$\displaystyle x$
	↓	Kürze.
$\displaystyle 48$	$≥$	$\displaystyle x$

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Definitionsbereich für die Wurzelgleichung

Für $0\le x\le48$ überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{660099}{\underbrace{\sqrt{12-\sqrt{3x}}}_{0\le x\le48}\textcolor{660099}{=3}}$ ist dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\in \mathbb{\textcolor{660099}{D}}$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{12-\sqrt{3x}}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 12-\sqrt{3x}$	$=$	$\displaystyle 3^2$	$\displaystyle -3^2+\sqrt{3x}$
	↓	Bringe die Wurzel auf eine Seite.
$\displaystyle 12-3^2$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3x}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3x}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 3^2$	$=$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle :3$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle \dfrac{3^2}{3}$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Kürze den Bruch.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle x$

$x=3$ liegt im Definitionsbereich $\displaystyle\textcolor{660099} {\mathbb D=[0;48] }$ für die Wurzel.

4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x=3$ :

Setze $x=3$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{12-\sqrt{3x}}=3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{12-\sqrt{3\cdot 3}}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{12- 3}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{9}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 3\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=3$ Lösung der Wurzelgleichung.

5. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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$\sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}=3$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Es müssen zwei Wurzeln untersucht werden:

$\textcolor{ff6600}{\sqrt{3x+4}}$ : Prüfe, wann der Radikand $3x+4$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle \sqrt{3x+4}$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 3x+4$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 3x$	$≥$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -\dfrac{4}{3}$

$\textcolor{009999}{\sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}}$ : Prüfe, wann der Radikand $x+1+\sqrt{3x+4}$ größer oder gleich null ist.

Setze zunächst den Radikanden gleich null.

$\displaystyle x+1+\sqrt{3x+4}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -x-1$
	↓	Die Wurzel muss auf einer Seite allein stehen.
$\displaystyle \sqrt{3x+4}$	$=$	$\displaystyle -x-1$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 3x+4$	$=$	$\displaystyle (-x-1)^2$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$\displaystyle 3x+4$	$=$	$\displaystyle x^2+2x+1$	$\displaystyle -3x-4$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-x-3$

Du hast eine quadratische Gleichung $0=x^2-x-3$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der p-q-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:

$p=-1$ und $q=-3$

Setze die Werte in die p-q-Formel ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-1$ und $q=-3$ ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-1)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{(-1)}{2}\right)^2-(-3)}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+3}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{12}{4}}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{13}{4}}$
	↓	Ziehe teilweise die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
	↓	Schreibe als einen Bruch.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}$

Du hast die Lösung $x_{1{,}2}=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}$ erhalten. Damit folgt dann:

$x_1 =\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$ und $x_2=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$

Mache mit den beiden berechneten Werten die Probe.

Probe für $x_1=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$ :

Setze $x_1=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$ in die Wurzelgleichung $x+1+\sqrt{3x+4}=0$ ein:

$\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}+1+\sqrt{3\cdot \left(\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\right)+4}=0\;\checkmark$

Die Gleichung kann nur mit dem Taschenrechner verifiziert werden! Sie ist wahr.

Probe für $x_2=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$ :

Setze $x_2=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$ in die Wurzelgleichung $x+1+\sqrt{3x+4}=0$ ein:

$\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}+1+\sqrt{3\cdot \left(\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right)+4}=0$

Der Term auf der linken Seite kann nur mit dem Taschenrechner berechnet werden.

Man erhält als Ergebnis:

$\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}+1+\sqrt{3\cdot \left(\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right)+4}\approx 6{,}606$

Damit ist der Wert des Terms ungleich null. Du hast eine falsche Aussage erhalten.

$x_2$ ist keine Lösung der Wurzelgleichung $x+1+\sqrt{3x+4}=0$

Ab $x\geq \dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$ überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln. Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}}_{\frac{1-\sqrt{13}}{2}\leq x}}\textcolor{009999}{=3}$ ist dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle x+1+\sqrt{3x+4}$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle -x-1$
	↓	Die Wurzel muss auf einer Seite allein stehen.
$\displaystyle \sqrt{3x+4}$	$=$	$\displaystyle 8-x$	$\displaystyle ()^2$
$\displaystyle 3x+4$	$=$	$\displaystyle (8-x)^2$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$\displaystyle 3x+4$	$=$	$\displaystyle 64-16x+x^2$	$\displaystyle -3x-4$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-19x+60$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast eine quadratische Gleichung $0=x^2-19x+60$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:

$p=-19$ und $q=60$

Setze die Werte in die pq-Formel ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-19$ und $q=60$ ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-19)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-19}{2}\right)^2-60}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{19}{2}\pm\sqrt{90{,}25-60}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 9{,}5\pm\sqrt{30{,}25}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 9{,}5\pm5{,}5$

Du hast die Lösung $x_{1{,}2}=9{,}5\pm5{,}5$ erhalten. Damit folgt dann:

$x_1 =9{,}5-5{,}5=4$ und $x_2=9{,}5+5{,}5=15$

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\displaystyle\textcolor{009999}{\mathbb D=\Bigg\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq \frac{1-\sqrt{13}}{2}\Bigg\} }$ für die Wurzel.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x=4$ :

Setze $x=4$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}=3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{4+1+\sqrt{3\cdot 4+4}}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{5+\sqrt{16}}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{5+4}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{9}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 3\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=4$ Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=15$ :

Setze $x=15$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}=3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{15+1+\sqrt{3\cdot 15+4}}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{16+\sqrt{49}}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{16+7}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{23}$	$=$	$\displaystyle 3$

Du hast eine falsche Aussage erhalten, da $\sqrt{23}\approx 4{,}8\neq 3$ ist.

Somit ist $x=15$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}=\sqrt{9x+4}$

1. Definitionsbereiche für die Wurzeln bestimmen

Die erste Wurzel: $\textcolor{ff6600}{\sqrt{2x-1}}$

Prüfe, wann der Radikand $2x-1$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 2x-1$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 2x$	$≥$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Die zweite Wurzel: $\textcolor{009999}{\sqrt{3x+1}}$

Prüfe, wann der Radikand $3x+1$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 3x+1$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 3x$	$≥$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -\dfrac{1}{3}$

Die dritte Wurzel: $\textcolor{660099}{\sqrt{9x+4}}$

Prüfe, wann der Radikand $9x+4$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 9x+4$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 9x$	$≥$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :9$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -\dfrac{4}{9}$

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Ab $x\ge\dfrac{1}{2}$ überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung

$\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{2x-1}}_{x\ge\frac{1}{2}}}+\displaystyle\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{3x+1}}_{x\ge-\frac{1}{3}}}=\textcolor{660099}{\underbrace{\sqrt{9x+4}}_{x\ge-\frac{4}{9}}}$ ist dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq\dfrac{1}{2}$ ist.

2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9x+4}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren. Denke daran, auf der linken Seite eine binomische Formel anzuwenden.
$\displaystyle 2x-1+2\cdot\sqrt{2x-1}\cdot\sqrt{3x+1}+3x+1$	$=$	$\displaystyle 9x+4$
	↓	Fasse die Terme auf der linken Seite zusammen.
$\displaystyle 5x+2\cdot\sqrt{(2x-1)\cdot(3x+1)}$	$=$	$\displaystyle 9x+4$	$\displaystyle -5x$
	↓	Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
$\displaystyle 2\cdot\sqrt{(2x-1)\cdot(3x+1)}$	$=$	$\displaystyle 4x+4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \sqrt{(2x-1)\cdot(3x+1)}$	$=$	$\displaystyle 2x+2$

Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.

$\displaystyle \sqrt{(2x-1)\cdot(3x+1)}$	$=$	$\displaystyle 2x+2$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle (2x-1)\cdot(3x+1)$	$=$	$\displaystyle (2x+2)^2$
	↓	Klammern ausrechnen und Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle 6x^2+2x-3x-1$	$=$	$\displaystyle 4x^2+8x+4$	$\displaystyle -4x^2-8x-4$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 2x^2-9x-5$	$=$	$\displaystyle 0$

3. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast eine quadratische Gleichung $2x^2-9x-5=0$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Formel ein:

$a=2$ , $b=-9$ und $c=-5$

$\displaystyle x_{1 , 2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=2$ , $b=-9$ und $c=-5$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^{2}-4 \cdot 2\cdot(-5)}}{2 \cdot2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{9 \pm \sqrt{81+40}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{9 \pm \sqrt{121}}{4}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{9 \pm 11}{4}$

Du hast die Lösung $x_{1{,}2}=\dfrac{9 \pm 11}{4}$ erhalten.

Dann folgt:

$x_1=\dfrac{9 - 11}{4} =-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}$ und $x_2=\dfrac{9 + 11}{4} =\dfrac{20}{4}=5$

Die Lösung $x=-\dfrac{1}{2}$ liegt nicht im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung, d.h. diese Lösung entfällt. $x=5$ liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung

4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x=5$ :

Setze $x=5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}=\sqrt{9x+4}$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot5-1}+\sqrt{3\cdot5+1}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9\cdot5+4}$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle \sqrt{9}+\sqrt{16}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{49}$
	↓	Ziehe die Wurzeln
$\displaystyle 3+4$	$=$	$\displaystyle 7$
$\displaystyle 7$	$=$	$\displaystyle 7\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=5$ Lösung der Wurzelgleichung.

5. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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$\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}=\sqrt{x}$

1. Definitionsbereiche für die Wurzeln bestimmen

Die erste Wurzel: $\textcolor{ff6600}{\sqrt{x+8}}$

Prüfe, wann der Radikand $x+8$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x+8$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -8$

Die zweite Wurzel: $\textcolor{009999}{\sqrt{x+3}}$

Prüfe, wann der Radikand $x+3$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x+3$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -3$

Die dritte Wurzel: $\textcolor{660099}{\sqrt{x}}$

Hier muss $x\geq 0$ sei n.

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die drei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Ab $x\ge{0}$ überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Für die Wurzelgleichung $\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{x+8}}_{x\geq -8}}-\displaystyle\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x+3}}_{x\geq-3}}=\textcolor{660099}{\underbrace{\sqrt{x}}_{x\geq 0}}$ gilt dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq0$ ist.

2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
$\displaystyle x+8-2\cdot\sqrt{x+8}\cdot\sqrt{x+3}+x+3$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2x+11-2\cdot\sqrt{(x+8)\cdot(x+3)}$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -x+2\cdot\sqrt{(x+8)\cdot(x+3)}$
	↓	Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
$\displaystyle x+11$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\sqrt{(x+8)\cdot(x+3)}$

Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.

$\displaystyle x+11$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\sqrt{(x+8)\cdot(x+3)}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle (x+11)^2$	$=$	$\displaystyle 4\cdot(x+8)\cdot(x+3)$
	↓	Klammern ausrechnen und Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle x^2+22x+121$	$=$	$\displaystyle 4\cdot(x^2+3x+8x+24)$
	↓	Zusammenfassen und Klammer auflösen.
$\displaystyle x^2+22x+121$	$=$	$\displaystyle 4x^2+44x+96$	$\displaystyle -x^2-22x-121$
	↓	Alle Terme auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3x^2+22x-25$

3. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast eine quadratische Gleichung $3x^2+22x-25=0$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Formel ein:

$a=3$ , $b=22$ und $c=-25$

$\displaystyle x_{1 , 2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=3$ , $b=22$ und $c=-25$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-22 \pm \sqrt{22^{2}-4 \cdot 3\cdot(-25)}}{2 \cdot3}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-22 \pm \sqrt{484+300}}{6}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-22 \pm \sqrt{784}}{6}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-22 \pm 28}{6}$

Du hast die Lösung $x_{1 , 2}=\dfrac{-22 \pm 28}{6}$ erhalten. Dann folgt:

$x_1=\dfrac{-22 - 28}{6}=-\dfrac{50}{6}=-\dfrac{25}{3}$ und $x_2=\dfrac{-22 + 28}{6}=\dfrac{6}{6}=1$

Die Lösung $x_1=-\dfrac{25}{3}$ liegt nicht im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq0\}$ für die Wurzelgleichung, d.h. diese Lösung entfällt.

$x_2=1$ liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.

4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x=1$ :

Setze $x=1$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}=\sqrt{x}$ ein:

$\displaystyle \sqrt{1+8}-\sqrt{1+3}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{1}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{9}-\sqrt{4}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{1}$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
$\displaystyle 3-2$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=1$ Lösung der Wurzelgleichung.

5. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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Bestimme rechnerisch die Lösung der Wurzelgleichung.

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Die erste Wurzel: $\textcolor{ff6600}{\sqrt{2x-1}}$

Prüfe, wann der Radikand $2x-1$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 2x-1$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 2x$	$≥$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Der Definitionsbereich für diese Wurzel ist:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Die zweite Wurzel: $\textcolor{009999}{\sqrt{x-1{,}5}}$

Der Radikand ist für $x\geq 1{,}5$ größer oder gleich null.

Der Definitionsbereich für die zweite Wurzel $\sqrt{x-1{,}5}$ ist demnach:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Die dritte Wurzel $\textcolor{660099}{\sqrt{2x-1}}$ ist gleich der ersten Wurzel. Allerdings steht die Wurzel im Nenner des Bruches. Die Wurzel muss deshalb größer null sein.

Der Definitionsbereich für die dritte Wurzel $\textcolor{660099}{\sqrt{2x-1}}$ ist:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Ab $x\ge{1{,}5}$ überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Für die Wurzelgleichung $\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{2x-1}}_{x\geq \frac{1}{2}}}+\displaystyle\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x-1{,}5}}_{x\geq1{,}5}}=\textcolor{660099}{\underbrace{\frac{6}{\sqrt{2x-1}} }_{x>\frac{1}{2}}}$ gilt dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq1{,}5$ ist.

2. Beseitigung der Wurzel im Nenner

$\displaystyle \sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1{,}5}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{\sqrt{2x-1}}$	$\displaystyle \cdot\sqrt{2x-1}$
	↓	Beseitige die Wurzel im Nenner.
$\displaystyle \sqrt{2x-1}\cdot\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1{,}5}\cdot\sqrt{2x-1}$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2x-1+\sqrt{(x-1{,}5)\cdot(2x-1)}$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle +1$
	↓	Die Wurzel muss allein auf einer Seite stehen
$\displaystyle 2x+\sqrt{(x-1{,}5)\cdot(2x-1)}$	$=$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle \sqrt{(x-1{,}5)\cdot(2x-1)}$	$=$	$\displaystyle 7-2x$

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{(x-1{,}5)\cdot(2x-1)}$	$=$	$\displaystyle 7-2x$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle (x-1{,}5)\cdot(2x-1)$	$=$	$\displaystyle (7-2x)^2$
	↓	Löse auf der linken Seite die Klammern auf und benutze eine binomische Formel auf der rechten Seite.
$\displaystyle 2x^2-x-3x+1{,}5$	$=$	$\displaystyle 49-28x+4x^2$
	↓	Fasse auf der linken Seite zusammen.
$\displaystyle 2x^2-4x+1{,}5$	$=$	$\displaystyle 49-28x+4x^2$	$\displaystyle -2x^2+4x-1{,}5$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^2-24x+47{,}5$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die quadratische Gleichung $0 =2x^2-24x+47{,}5$ erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab:

$a=2$ , $b=-24$ und $c=47{,}5$

Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein:

$\displaystyle x_{1 , 2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=2$ , $b=-24$ und $c=47{,}5$ ein
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^{2}-4 \cdot2\cdot 47{,}5}}{2\cdot2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{24 \pm \sqrt{576-380}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{24 \pm \sqrt{196}}{4}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{24 \pm 14}{4}$

Du hast die Lösung $x_{1{,}2}=\dfrac{24 \pm 14}{4}$ erhalten. Dann folgt:

$x_1=\dfrac{24 -14}{4}=\dfrac{10}{4}=2{,}5$ und $x_2=\dfrac{24 +14}{4}=\dfrac{38}{4}=9{,}5$

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq1{,}5\}$ für die Wurzelgleichung.

5. Probe für die erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x=2{,}5$ :

Setze $x=2{,}5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1{,}5}=\dfrac{6}{\sqrt{2x-1}}$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot2{,}5-1}+\sqrt{2{,}5-1{,}5}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{\sqrt{2\cdot2{,}5-1}}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{4}+\sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{\sqrt{4}}$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
$\displaystyle 2+1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{2}$
	↓	Fasse zusammen bzw. kürze den Bruch.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 3\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x=2{,}5$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=9{,}5$ :

Setze $x=9{,}5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1{,}5}=\dfrac{6}{\sqrt{2x-1}}$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot9{,}5-1}+\sqrt{9{,}5-1{,}5}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{\sqrt{2\cdot9{,}5-1}}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{18}+\sqrt{8}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{\sqrt{18}}$	$\displaystyle \cdot\sqrt{18}$
	↓	Beseitige die Wurzel im Nenner.
$\displaystyle \sqrt{18}\cdot \sqrt{18}+\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle 18+\sqrt{144}$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 18+12$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 30$	$=$	$\displaystyle 6$

Du hast eine falsche Aussage erhalten. $x=9{,}5$ ist keine Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge der Wurzelgleichung $\sqrt{2x-2}=\sqrt{x}$ .

1. Definitionsbereich für die Wurzeln bestimmen

Erste Wurzel: $\textcolor{ff6600}{\sqrt{2x-2}}$

Prüfe, wann der Radikand $2x-2$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 2x-2$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 2x$	$≥$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle 1$

Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die erste Wurzel $\textcolor{ff6600}{\sqrt{2x-2}}$

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Zweite Wurzel: $\textcolor{009999}{\sqrt{x}}$

Hier gilt: $\textcolor{009999}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq0\} }$

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die beiden Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Ab $x\ge{1}$ überschneiden sich die zwei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Für die Wurzelgleichung $\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{2x-2}}_{x\geq 1}}=\displaystyle\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x}}_{x\geq0}}$ gilt dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq1$ ist.

2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{2x-2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
$\displaystyle 2x-2$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -x$
	↓	Löse nach x auf.
$\displaystyle x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Du hast als mögliche Lösung $x=2$ erhalten.

Die Lösung liegt im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq1\}$ für die Wurzelgleichung.

3. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x=2$ :

Setze $x=2$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x-2}=\sqrt{x}$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot 2-2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{4-2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x=2$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

4. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{4x+2}=2x-3$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

Wurzel: $\textcolor{009999}{\sqrt{4x+2}}$

Prüfe, wann der Radikand $4x+2$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 4x+2$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 4x$	$≥$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -\dfrac{2}{4}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -\dfrac{1}{2}$

Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die Wurzel $\textcolor{009999}{\sqrt{4x+2}}$

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{4x+2}}_{x\geq-\frac{1}{2}}}=2x-3$ ist:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq-\dfrac{1}{2}$ ist.

2. Auflösung der Wurzelgleichung

Die Wurzel steht schon allein auf einer Seite.

Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{4x+2}$	$=$	$\displaystyle 2x-3$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 4x+2$	$=$	$\displaystyle (2x-3)^2$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$\displaystyle 4x+2$	$=$	$\displaystyle 4x^2-12x+9$	$\displaystyle -4x-2$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4x^2-16x+7$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten.

Die Lösung der Gleichung $4x^2-16x+7=0$ erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=4$ , $b=-16$ und $c=7$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=4$ , $b=-16$ und $c=7$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^{2}-4 \cdot 4\cdot 7}}{2\cdot4}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16 \pm \sqrt{256-112}}{8}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16 \pm \sqrt{144}}{8}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16 \pm 12}{8}$
	↓	Schreibe den Term als zwei Brüche.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{8}\pm \dfrac{12}{8}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle 2\pm 1{,}5$

Somit ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:

$x_1=2-1{,}5=0{,}5$ und $x_2=2+1{,}5=3{,}5$

3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-\dfrac{1}{2}\}$ für die Wurzelgleichung.

Führe nun eine Probe durch:

Probe für $x=0{,}5$ :

Setze $x=0{,}5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{4x+2}=2x-3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{4\cdot 0{,}5+2}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot 0{,}5-3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{2+2}$	$=$	$\displaystyle 1-3$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{4}$	$=$	$\displaystyle -2$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle -2$

Du hast eine falsche Aussage erhalten.

Somit ist $x=0{,}5$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=3{,}5$ :

Setze $x=3{,}5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{4x+2}=2x-3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{4\cdot 3{,}5+2}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot 3{,}5-3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{14+2}$	$=$	$\displaystyle 7-3$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{16}$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 4$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x=3{,}5$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $\mathbb{L}=\{3{,}5\}$

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$\sqrt{8-2x}=\sqrt{5-x}-1$

1. Definitionsbereich für die Wurzeln bestimmen

Erste Wurzel: $\textcolor{009999}{\sqrt{8-2x}}$

Prüfe, wann der Radikand $8-2x$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 8-2x$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 8$	$≥$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle 4$	$≥$	$\displaystyle x$

Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die erste Wurzel $\textcolor{009999}{\sqrt{8-2x}}$

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Zweite Wurzel: $\textcolor{ff6600}{\sqrt{5-x}}$

Prüfe, wann der Radikand $5-x$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 5-x$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 5$	$≥$	$\displaystyle x$

Der Definitionsbereich für die zweite Wurzel $\textcolor{ff6600}{\sqrt{5-x}}$ ist dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Ab $x\le4$ überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{8-2x}}_{x\leq 4}}=\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{5-x}}_{x\leq5}}-1$ gilt dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\leq4$ ist.

2. Auflösung der Wurzelgleichung

Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{8-2x}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{5-x}-1$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
$\displaystyle 8-2x$	$=$	$\displaystyle (\sqrt{5-x}-1)^2$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$\displaystyle 8-2x$	$=$	$\displaystyle 5-x-2\sqrt{5-x}+1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 8-2x$	$=$	$\displaystyle 6-x-2\sqrt{5-x}$	$\displaystyle -6+x$
	↓	Die Wurzel muss allein auf einer Seite stehen.
$\displaystyle 2-x$	$=$	$\displaystyle -2\sqrt{5-x}$

Du hast erneut eine Wurzelgleichung $-2\sqrt{5-x}=2-x$ erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.

$\displaystyle -2\sqrt{5-x}$	$=$	$\displaystyle 2-x$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 4\cdot (5-x)$	$=$	$\displaystyle (2-x)^2$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$\displaystyle 20-4x$	$=$	$\displaystyle 4-4x+x^2$	$\displaystyle -20+4x$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -16+x^2$	$\displaystyle -16$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 16$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 4$

Du hast zwei Lösungen der quadratischen Gleichung erhalten:

$x_1=-4$ und $x_2=4$

3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\leq4\}$ für die Wurzelgleichung.

Führe nun eine Probe durch:

Probe für $x=-4$ :

Setze $x=-4$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{8-2x}=\sqrt{5-x}-1$ ein:

$\displaystyle \sqrt{8-2\cdot(-4)}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{5-(-4)}-1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{8+8}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9}-1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{16}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9}-1$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 3-1$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 2$

Du hast eine falsche Aussage erhalten.

Somit ist $x=-4$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=4$ :

Setze $x=4$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{8-2x}=\sqrt{5-x}-1$ ein:

$\displaystyle \sqrt{8-2\cdot4}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{5-4}-1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{8-8}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{1}-1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{0}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{1}-1$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1-1$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x=4$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $\mathbb{L}=\{4\}$

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Löse die Wurzelgleichung $\sqrt{x^2-8}=1$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

$\textcolor{009999}{\sqrt{x^2-8}}$ Prüfe, wann der Radikand $x^2-8$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x^2-8$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +8$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x^2$	$≥$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \|x\|$	$≥$	$\displaystyle \sqrt{8}$

Der Radikand ist größer oder gleich null, wenn $x\leq-\sqrt{8}$ und/oder $x\geq\sqrt{8}$ ist.

Damit ergibt sich der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzel $\textcolor{009999}{ \sqrt{x^2-8} }$ und auch für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\sqrt{x^2-8}}=1:$

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\in \mathbb D$ ist.

2. Auflösung der Wurzelgleichung

$\displaystyle \sqrt{x^2-8}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle x^2-8$	$=$	$\displaystyle 1^2$	$\displaystyle +8$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm3$

Du hast als mögliche Lösung $x=-3$ und/oder $x=3$ erhalten.

3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\mathbb D= \mathbb R\backslash\Big]-\sqrt{8};\sqrt{8}\Big[$ für die Wurzelgleichung. Führe nun eine Probe durch:

Probe für $x=-3$ :

Setze $x=-3$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x^2-8}=1$ ein:

$\displaystyle \sqrt{(-3)^2-8}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{9-8}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x=-3$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=3$ :

Setze $x=3$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x^2-8}=1$ ein:

$\displaystyle \sqrt{3^2-8}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{9-8}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x=3$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

Die Lösungsmenge für die Wurzelgleichung ist:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

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10
Löse folgende Gleichungen.
1. $\quad x^2=16$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{clll}\ x^2&=16 \quad &|\sqrt{\quad}\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{16}\\\ |x|&=4\end{array}$
  Die Lösungen sind $x_1=4$ , $x_2=-4$ .
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2. $\quad x^2=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{clll}\ x^2&=0 \quad &|\sqrt{\quad}\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{0}\\\ |x|&=0\end{array}$
  Die Lösung ist $x=0$ .
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3. $\quad x^2+2=11$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{clll}\ x^2+2&=11 \quad &|-2\\\ x^2&=9\quad&|\sqrt{\quad}\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{9}\\\ |x|&=3\end{array}$
  Die Lösungen sind $x_1=3$ , $x_2=-3$ .
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4. $\quad 4+x^2=2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{clll}\ 4+x^2&=2 \quad &|-4\\\ x^2&=-2\quad&|\sqrt{\quad}\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{-2}\end{array}$
  Hier gibt es keine Lösung. Von einer negativen Zahl kannst du keine Wurzel ziehen.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 5-4x^2$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4x^2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 5$	$≥$	$\displaystyle 4x^2$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \dfrac{5}{4}$	$≥$	$\displaystyle x^2$

$\displaystyle \sqrt{5-4x^2}$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 5-4x^2$	$=$	$\displaystyle x^4$	$\displaystyle +4x^2-5$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^4+4x^2-5$

$\displaystyle z_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=4$ und $q=-5$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-(-5)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -{2}\pm\sqrt{{4}+5}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -{2}\pm\sqrt{9}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle -{2}\pm3$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle z_2$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle \sqrt{5-4\cdot(-1)^2}$	$=$	$\displaystyle (-1)^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{5-4}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle \sqrt{5-4\cdot1^2}$	$=$	$\displaystyle 1^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{5-4}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1$