Aufgaben zu Wurzelgleichungen
Hier findest du Übungsaufgaben zum Thema Wurzelgleichungen. Lerne, den Definitionsbereich von Wurzelgleichungen zu bestimmen und sie zu lösen!
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Gegeben sind die beiden Funktionen f(x)=2x+4 und g(x)=4x−8.
Berechne, in welchem Punkt sich die beiden Funktionsgraphen schneiden.
Für die Schnittpunktberechnung setze f(x)=g(x). Du erhältst eine Wurzelgleichung 2x+4=4x−8.
1. Bestimme den Definitionsbereich für die Wurzeln
2x+4 ist für 2x+4<0 nicht definiert, d.h. für x<−2.
Somit ergibt sich der Definitionsbereich für diese Wurzel: D={x∈R∣x≥−2}
4x−8 ist für 4x−8<0 nicht definiert, d.h. für x<2.
Der Definitionsbereich für diese Wurzel ist dann: D={x∈R∣x≥2}
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die zwei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab x≥2 überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung x≥24x−8=x≥−22x+4 gilt dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass x≥2 ist.
2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
2x+4 = 4x−8 ()2 ↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
2x+4 = 4x−8 −2x−4 ↓ Löse nach x auf.
0 = 2x−12 +12 12 = 2x :2 x = 6 x=6 liegt im Definitionsbereich D={x∈R∣x≥2} der Wurzelgleichung.
3. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für x=6:
Setze x=6 in die Wurzelgleichung 2x+4=4x−8 ein:
2⋅6+4 = 4⋅6−8 ↓ Vereinfache.
16 = 16 ↓ Ziehe die Wurzel.
4 = 4✓ Mit der Probe für x=6 hast du gleichzeitig den y-Wert des Schnittpunkts berechnet:
f(6)=g(6)=4
Die beiden Graphen schneiden sich im Punkt S(6∣4).
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Zeichne die beiden Graphen mithilfe einer Wertetabelle.
Berechne einige Funktionswerte der beiden Graphen:
f(x)=2x+4 mit D={x∈R∣x≥−2}
Beispielsweise ist f(−2)=2⋅(−2)+4=−4+4=0=0
Setzt man hingegen x=−2 in g(x)=4x−8 ein, so ergibt sich g(−2)=4⋅(−2)−8=−16 . Der Radikand ist negativ und die Wurzel ist nicht definiert. Beachte den Definitionsbereich für g(x): D={x∈R∣x≥2}
x
f(x)
g(x)
−2
0
nicht definiert
−1
2≈1,4
nicht definiert
0
2
nicht definiert
1
6≈2,4
nicht definiert
2
8≈2,8
0
3
10≈3,2
2
4
12≈3,5
8≈2,8
5
14≈3,7
12≈3,5
6
4
4
7
18≈4,2
20≈4,5
Graphische Darstellung
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Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
x+1=2x−1
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
x+1: Prüfe, wann der Radikand x+1 größer oder gleich null ist.
x+1 ≥ 0 −1 ↓ Löse nach x auf.
x ≥ −1 Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung x≥−1x+1=2x−1 ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass x≥−1 ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
x+1 = 2x−1 ()2 ↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
x+1 = (2x−1)2 ↓ Binomische Formel anwenden.
x+1 = 4x2−4x+1 −x−1 ↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = 4x2−5x ↓ Klammere x aus.
0 = x⋅(4x−5) 4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die Gleichung 0=x⋅(4x−5) erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst. Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von x und 4x−5 gleich 0 ist, so ist x=0 oder 4x−5=0.
4x−5 = 0 +5 ↓ Löse nach x auf.
4x = 5 :4 x = 45 Somit ist x=0 und/oder x=45.
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich D={x∈R∣x≥−1} für die Wurzel.
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für x=0:
Setze x=0 in die Wurzelgleichung x+1=2x−1 ein:
0+1 = 2⋅0−1 ↓ Fasse zusammen.
1 = −1 ↓ Ziehe die Wurzel.
1 = −1 Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist x=0 keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für x=45:
Setze x=45 in die Wurzelgleichung x+1=2x−1 ein:
45+1 = 2⋅45−1 ↓ Vereinfache.
45+44 = 410−44 ↓ Fasse zusammen.
49 = 46 ↓ Ziehe auf der linken Seite die Wurzel und kürze den Bruch auf der rechten Seite.
23 = 23✓ Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x=45 Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
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Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
x+2=x+2
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
x+2: Prüfe, wann der Radikand x+2 größer oder gleich null ist.
x+2 ≥ 0 −2 ↓ Löse nach x auf.
x ≥ −2 Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung x≥−2x+2=x+2 ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass x≥−2 ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
x+2 = x+2 ()2 ↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
x+2 = (x+2)2 ↓ Binomische Formel anwenden.
x+2 = x2+4x+4 −x−2 ↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = x2+3x+2 4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die quadratische Gleichung 0=x2+3x+2 erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für p und q ab:
p=3 und q=2
Setze die Werte in die pq-Formel ein:
x1,2 = −2p±(2p)2−q ↓ Setze p=3 und q=2 ein.
= −23±(23)2−2 ↓ Berechne das Quadrat.
= −23±49−2 ↓ Fasse unter der Wurzel zusammen.
= −23±49−48 ↓ Vereinfache.
= −23±41 ↓ Ziehe die Wurzel.
= −23±21 Somit folgt:
x1=−23−21=−2 und x2=−23+21=−1
Du hast als mögliche Lösungen erhalten x1=−2 und x2=−1.
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich D={x∈R∣x≥−2} für die Wurzel.
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für x1=−2:
Setze x1=−2 in die Wurzelgleichung x+2=x+2 ein:
−2+2 = −2+2 ↓ Fasse zusammen.
0 = 0 ↓ Ziehe die Wurzel.
0 = 0✓ Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x1=−2 Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für x2=−1:
Setze x2=−1 in die Wurzelgleichung x+2=x+2 ein:
−1+2 = −1+2 ↓ Fasse zusammen.
1 = 1 ↓ Ziehe die Wurzel.
1 = 1✓ Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch x2=−1 Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
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Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
2x−1=56x−3
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
2x−1: Prüfe, wann der Radikand 2x−1 größer oder gleich null ist.
2x−1 ≥ 0 +1 2x ≥ 1 :2 x ≥ 21 Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung x≥212x−1=56x−3 ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass x≥21 ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
2x−1 = 56x−3 ()2 ↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
2x−1 = (56x−3)2 ↓ Binomische Formel anwenden.
2x−1 = 2536 x2−536x+9 −2x+1 ↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = 2536 x2−546x+10 4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die quadratische Gleichung 0=2536 x2−546x+10 erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für a, b und c ab:
a=2536, b=−546 und c=10
Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein:
x1,2 = 2a−b±b2−4ac ↓ Setze ein a=2536, b=−546 und c=10.
= 2⋅2536−(−546)±(−546)2−4⋅(2536)⋅10 ↓ Fasse zusammen.
= 2572546±252116−251440 ↓ Fasse zusammen.
= 2572546±25676 ↓ Ziehe die Wurzel.
= 2572546±526 Es ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:
x1=2572546−526=2572520=520⋅7225=1825 und x2=2572546+526=2572572=572⋅7225=5
Somit ist x=1825 und/oder x=5.
Du hast die Lösungen x1=1825 und x2=5 erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösungen wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss geprüft werden, welche der beiden Lösungen die gesuchte Lösung der Gleichung ist.
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe mit x1=1825:
Setze x1=1825 in die Wurzelgleichung 2x−1=56x−3 ein:
2⋅1825−1 = 56⋅1825−3 ↓ Kürze den Bruch.
1850−1818 = 35−3 ↓ Fasse zusammen.
1832 = −34 Du hast eine falsche Aussage erhalten (eine Wurzel ist immer positiv).
Somit ist x1=1825 keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für x2=5:
Setze x2=5 in die Wurzelgleichung 2x−1=56x−3 ein:
2⋅5−1 = 56⋅5−3 ↓ Kürze den Bruch und fasse den Term unter der Wurzel zusammen.
9 = 6−3 ↓ Berechne die Wurzel und fasse zusammen.
3 = 3✓ Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x=5 Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Anhält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
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Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
50−x2=x
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
50−x2: Prüfe, wann der Radikand 50−x2 größer oder gleich 0 ist.
50−x2 ≥ 0 +x2 50 ≥ x2 Du hast die Ungleichung x2≤50 erhalten. Sie ist wahr, wenn x∈[−50;+50].
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung −50≤x≤5050−x2=x ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass x∈D ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
50−x2 = x ()2 ↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
50−x2 = x2 +x2 ↓ Löse nach x auf.
50 = 2x2 :2 25 = x2 x1,2 = ±5 Du hast die beiden Lösungen x=−5 und/oder x=5 erhalten.
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel:
−5≥−50≈−7,07 und 5≤50≈7,07
4. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für x=−5:
Setze x=−5 in die Wurzelgleichung 50−x2=x ein:
50−(−5)2 = −5 ↓ Vereinfache.
50−25 = −5 ↓ Vereinfache.
25 = −5 ↓ Ziehe die Wurzel
5 = −5 Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist x=−5 keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für x=5:
Setze x=5 in die Wurzelgleichung 50−x2=x ein:
50−52 = 5 ↓ Vereinfache.
50−25 = 5 ↓ Vereinfache.
25 = 5 ↓ Ziehe die Wurzel
5 = 5 Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x=5 Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
5−4x2=x2
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
5−4x2: Prüfe, wann der Radikand 5−4x2 größer oder gleich null ist.
5−4x2 ≥ 0 +4x2 ↓ Löse nach x auf.
5 ≥ 4x2 :4 45 ≥ x2 Du hast die Ungleichung x2≤45 erhalten. Sie ist wahr, wenn x∈[−45;+45].
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung −45≤x≤455−4x2=x2 ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass x∈D ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
5−4x2 = x2 ()2 ↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
5−4x2 = x4 +4x2−5 ↓ Löse nach x auf.
0 = x4+4x2−5 4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast eine biquadratische Gleichung x4+4x2−5=0 erhalten.
Diese Gleichung lässt sich lösen, indem man x2 durch z ersetzt (substituiert).
Da x4=(x2)2ist, wird x4 durch die Substitution zu z2.
Du hast nun die quadratische Gleichung z2+4z−5=0 erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für p und q ab:
p=4 und q=−5
Setze die Werte in die pq-Formel ein:
z1,2 = −2p±(2p)2−q ↓ Setze p=4 und q=−5 ein.
= −24±(24)2−(−5) ↓ Vereinfache.
= −2±4+5 ↓ Vereinfache.
= −2±9 ↓ Ziehe die Wurzel.
= −2±3 z1 = −5 z2 = 1 Du hast die beiden Werte z1=−5 und z2=1 erhalten. Nun muss wieder resubstituiert werden: x=±z
Da x2=z (also x=±z) gesetzt wurde, können nun die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden:
z1=−5 also ist x2=−5⇒ keine Lösung
z2=1 also ist x2=1⇒x1,2=±1=±1
Somit ist x=−1 und/oder x=1.
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich D=[−45;+45] für die Wurzel:
−1≥−45≈−1,12 und 1≤45≈1,12
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für x=−1:
Setze x=−1 in die Wurzelgleichung 5−4x2=x2 ein:
5−4⋅(−1)2 = (−1)2 ↓ Vereinfache.
5−4 = 1 ↓ Vereinfache.
1 = 1 ↓ Ziehe die Wurzel
1 = 1 Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x=−1 Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für x=1:
Setze x=1 in die Wurzelgleichung 5−4x2=x2 ein:
5−4⋅12 = 12 ↓ Vereinfache.
5−4 = 1 ↓ Vereinfache.
1 = 1 ↓ Ziehe die Wurzel
1 = 1 Du hast wieder eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch x=1 Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Anhält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
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Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
12−3x=3
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Es müssen zwei Wurzeln untersucht werden:
3x: Prüfe, wann der Radikand 3x größer oder gleich null ist.⇒x≥0
12−3x: Prüfe, wann der Radikand 12−3x größer oder gleich null ist.
12−3x ≥ 0 +3x ↓ Löse nach x auf.
12 ≥ 3x ()2 ↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
122 ≥ 3x :3 3144 ≥ x ↓ Kürze.
48 ≥ x Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Für 0≤x≤48 überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung 0≤x≤4812−3x=3 ist dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass x∈D ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
12−3x = 3 ()2 ↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
12−3x = 32 −32+3x ↓ Bringe die Wurzel auf eine Seite.
12−32 = 3x ↓ Vereinfache.
3 = 3x ()2 ↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
32 = 3x :3 ↓ Löse nach x auf.
332 = x ↓ Kürze den Bruch.
3 = x x=3 liegt im Definitionsbereich D=[0;48] für die Wurzel.
4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für x=3:
Setze x=3 in die Wurzelgleichung 12−3x=3 ein:
12−3⋅3 = 3 ↓ Vereinfache.
12−3 = 3 ↓ Vereinfache.
9 = 3 ↓ Ziehe die Wurzel.
3 = 3✓ Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x=3 Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
x+1+3x+4=3
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Es müssen zwei Wurzeln untersucht werden:
3x+4: Prüfe, wann der Radikand 3x+4 größer oder gleich null ist.
3x+4 ≥ 0 ()2 ↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
3x+4 ≥ 0 −4 ↓ Löse nach x auf.
3x ≥ −4 :3 x ≥ −34 x+1+3x+4: Prüfe, wann der Radikand x+1+3x+4 größer oder gleich null ist.
Setze zunächst den Radikanden gleich null.
x+1+3x+4 = 0 −x−1 ↓ Die Wurzel muss auf einer Seite allein stehen.
3x+4 = −x−1 ()2 ↓ Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
3x+4 = (−x−1)2 ↓ Wende eine binomische Formel an.
3x+4 = x2+2x+1 −3x−4 ↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = x2−x−3 Du hast eine quadratische Gleichung 0=x2−x−3 erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der p-q-Formel.
Lies die Werte für p und q ab:
p=−1 und q=−3
Setze die Werte in die p-q-Formel ein:
x1,2 = −2p±(2p)2−q ↓ Setze p=−1 und q=−3 ein.
x1,2 = −2(−1)±(2(−1))2−(−3) ↓ Vereinfache.
x1,2 = 21±41+3 x1,2 = 21±41+412 x1,2 = 21±413 ↓ Ziehe teilweise die Wurzel.
= 21±213 ↓ Schreibe als einen Bruch.
x1,2 = 21±13 Du hast die Lösung x1,2=21±13