Aufgaben zu Wurzelgleichungen - lernen mit Serlo!

Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{12-\sqrt{3x}}=3$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

Es müssen zwei Wurzeln untersucht werden:

$\textcolor{ff6600}{\sqrt{3x}}$ : Prüfe, wann der Radikand $3x$ größer oder gleich null ist. $\;\Rightarrow\;x\geq0$

$\textcolor{009999}{\sqrt{12-\sqrt{3x}}}$ : Prüfe, wann der Radikand $12-\sqrt{3x}$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 12-\sqrt{3x}$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\sqrt{3x}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 12$	$≥$	$\displaystyle \sqrt{3x}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 12^2$	$≥$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \dfrac{144}{3}$	$≥$	$\displaystyle x$
	↓	Kürze.
$\displaystyle 48$	$≥$	$\displaystyle x$

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Definitionsbereich für die Wurzelgleichung

Für $0\le x\le48$ überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{660099}{\underbrace{\sqrt{12-\sqrt{3x}}}_{0\le x\le48}\textcolor{660099}{=3}}$ ist dann:

\displaystyle\textcolor{660099} {\mathbb D=[0;48] }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\in \mathbb{\textcolor{660099}{D}}$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{12-\sqrt{3x}}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 12-\sqrt{3x}$	$=$	$\displaystyle 3^2$	$\displaystyle -3^2+\sqrt{3x}$
	↓	Bringe die Wurzel auf eine Seite.
$\displaystyle 12-3^2$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3x}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3x}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 3^2$	$=$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle :3$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle \dfrac{3^2}{3}$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Kürze den Bruch.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle x$

$x=3$ liegt im Definitionsbereich $\displaystyle\textcolor{660099} {\mathbb D=[0;48] }$ für die Wurzel.

4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x=3$ :

Setze $x=3$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{12-\sqrt{3x}}=3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{12-\sqrt{3\cdot 3}}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{12- 3}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{9}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 3\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=3$ Lösung der Wurzelgleichung.

5. Lösungsmenge angeben

\displaystyle\textcolor{660099} {\mathbb D=[0;48] }

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$\sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}=3$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Es müssen zwei Wurzeln untersucht werden:

$\textcolor{ff6600}{\sqrt{3x+4}}$ : Prüfe, wann der Radikand $3x+4$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle \sqrt{3x+4}$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 3x+4$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 3x$	$≥$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -\dfrac{4}{3}$

$\textcolor{009999}{\sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}}$ : Prüfe, wann der Radikand $x+1+\sqrt{3x+4}$ größer oder gleich null ist.

Setze zunächst den Radikanden gleich null.

$\displaystyle x+1+\sqrt{3x+4}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -x-1$
	↓	Die Wurzel muss auf einer Seite allein stehen.
$\displaystyle \sqrt{3x+4}$	$=$	$\displaystyle -x-1$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 3x+4$	$=$	$\displaystyle (-x-1)^2$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$\displaystyle 3x+4$	$=$	$\displaystyle x^2+2x+1$	$\displaystyle -3x-4$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-x-3$

Du hast eine quadratische Gleichung $0=x^2-x-3$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der p-q-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:

$p=-1$ und $q=-3$

Setze die Werte in die p-q-Formel ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-1$ und $q=-3$ ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-1)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{(-1)}{2}\right)^2-(-3)}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+3}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{12}{4}}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{13}{4}}$
	↓	Ziehe teilweise die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
	↓	Schreibe als einen Bruch.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}$

Du hast die Lösung $x_{1{,}2}=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}$ erhalten. Damit folgt dann:

$x_1 =\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$ und $x_2=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$

Mache mit den beiden berechneten Werten die Probe.

Probe für $x_1=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$ :

Setze $x_1=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$ in die Wurzelgleichung $x+1+\sqrt{3x+4}=0$ ein:

$\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}+1+\sqrt{3\cdot \left(\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\right)+4}=0\;\checkmark$

Die Gleichung kann nur mit dem Taschenrechner verifiziert werden! Sie ist wahr.

Probe für $x_2=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$ :

Setze $x_2=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$ in die Wurzelgleichung $x+1+\sqrt{3x+4}=0$ ein:

$\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}+1+\sqrt{3\cdot \left(\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right)+4}=0$

Der Term auf der linken Seite kann nur mit dem Taschenrechner berechnet werden.

Man erhält als Ergebnis:

$\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}+1+\sqrt{3\cdot \left(\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right)+4}\approx 6{,}606$

Damit ist der Wert des Terms ungleich null. Du hast eine falsche Aussage erhalten.

$x_2$ ist keine Lösung der Wurzelgleichung $x+1+\sqrt{3x+4}=0$

Ab $x\geq \dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$ überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln. Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}}_{\frac{1-\sqrt{13}}{2}\leq x}}\textcolor{009999}{=3}$ ist dann:

\displaystyle\textcolor{660099} {\mathbb D=[0;48] }

Alle Umformungen erfolgen unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle x+1+\sqrt{3x+4}$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle -x-1$
	↓	Die Wurzel muss auf einer Seite allein stehen.
$\displaystyle \sqrt{3x+4}$	$=$	$\displaystyle 8-x$	$\displaystyle ()^2$
$\displaystyle 3x+4$	$=$	$\displaystyle (8-x)^2$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$\displaystyle 3x+4$	$=$	$\displaystyle 64-16x+x^2$	$\displaystyle -3x-4$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-19x+60$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast eine quadratische Gleichung $0=x^2-19x+60$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:

$p=-19$ und $q=60$

Setze die Werte in die pq-Formel ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-19$ und $q=60$ ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-19)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-19}{2}\right)^2-60}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{19}{2}\pm\sqrt{90{,}25-60}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 9{,}5\pm\sqrt{30{,}25}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 9{,}5\pm5{,}5$

Du hast die Lösung $x_{1{,}2}=9{,}5\pm5{,}5$ erhalten. Damit folgt dann:

$x_1 =9{,}5-5{,}5=4$ und $x_2=9{,}5+5{,}5=15$

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\displaystyle\textcolor{009999}{\mathbb D=\Bigg\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq \frac{1-\sqrt{13}}{2}\Bigg\} }$ für die Wurzel.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x=4$ :

Setze $x=4$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}=3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{4+1+\sqrt{3\cdot 4+4}}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{5+\sqrt{16}}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{5+4}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{9}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 3\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=4$ Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=15$ :

Setze $x=15$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+1+\sqrt{3x+4}}=3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{15+1+\sqrt{3\cdot 15+4}}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{16+\sqrt{49}}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{16+7}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{23}$	$=$	$\displaystyle 3$

Du hast eine falsche Aussage erhalten, da $\sqrt{23}\approx 4{,}8\neq 3$ ist.

Somit ist $x=15$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle\textcolor{660099} {\mathbb D=[0;48] }

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