Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
12â3xââ=3
1. Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
Es mĂŒssen zwei Wurzeln untersucht werden:
3xâ: PrĂŒfe, wann der Radikand 3x gröĂer oder gleich null ist.âxâ„0
12â3xââ: PrĂŒfe, wann der Radikand 12â3xâ gröĂer oder gleich null ist.
12â3xâ â„ 0 +3xâ â Löse nach x auf.
12 â„ 3xâ ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
122 â„ 3x :3 3144â â„ x â KĂŒrze.
48 â„ x Der gemeinsame GĂŒltigkeitsbereich fĂŒr beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen ĂŒberschneiden, ist der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzelgleichung.
FĂŒr 0â€xâ€48 ĂŒberschneiden sich die beiden GĂŒltigkeitsbereiche fĂŒr die Wurzeln.
Der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzelgleichung 0â€xâ€4812â3xââââ=3 ist dann:
D=[0;48]Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass xâD ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
12â3xââ = 3 ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
12â3xâ = 32 â32+3xâ â Bringe die Wurzel auf eine Seite.
12â32 = 3xâ â Vereinfache.
3 = 3xâ ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
32 = 3x :3 â Löse nach x auf.
332â = x â KĂŒrze den Bruch.
3 = x x=3 liegt im Definitionsbereich D=[0;48] fĂŒr die Wurzel.
4. Probe fĂŒr die erhaltene Lösung durchfĂŒhren
Probe fĂŒr x=3:
Setze x=3 in die Wurzelgleichung 12â3xââ=3 ein:
12â3â 3ââ = 3 â Vereinfache.
12â3â = 3 â Vereinfache.
9â = 3 â Ziehe die Wurzel.
3 = 3â Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x=3 Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
L={3}Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
EnthÀlt die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Ăquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusĂ€tzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
x+1+3x+4ââ=3
1. Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
Es mĂŒssen zwei Wurzeln untersucht werden:
3x+4â: PrĂŒfe, wann der Radikand 3x+4 gröĂer oder gleich null ist.
3x+4â â„ 0 ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
3x+4 â„ 0 â4 â Löse nach x auf.
3x â„ â4 :3 x â„ â34â x+1+3x+4ââ: PrĂŒfe, wann der Radikand x+1+3x+4â gröĂer oder gleich null ist.
Setze zunÀchst den Radikanden gleich null.
x+1+3x+4â = 0 âxâ1 â Die Wurzel muss auf einer Seite allein stehen.
3x+4â = âxâ1 ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
3x+4 = (âxâ1)2 â Wende eine binomische Formel an.
3x+4 = x2+2x+1 â3xâ4 â Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = x2âxâ3 Du hast eine quadratische Gleichung 0=x2âxâ3 erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der p-q-Formel.
Lies die Werte fĂŒr p und q ab:
p=â1 und q=â3
Setze die Werte in die p-q-Formel ein:
x1,2â = â2pâ±(2pâ)2âqâ â Setze ï»żp=â1 und ï»żq=â3 ein.
x1,2â = â2(â1)â±(2(â1)â)2â(â3)â â Vereinfache.
x1,2â = 21â±41â+3â x1,2â = 21â±41â+412ââ x1,2â = 21â±413ââ â Ziehe teilweise die Wurzel.
= 21â±213ââ â Schreibe als einen Bruch.
x1,2â = 21±13ââ Du hast die Lösung x1,2â=21±13ââ erhalten. Damit folgt dann:
x1â=21â13ââ und x2â=21+13ââ
Mache mit den beiden berechneten Werten die Probe.
Probe fĂŒr x1â=21â13ââ:
Setze x1â=21â13ââ in die Wurzelgleichung x+1+3x+4â=0 ein:
21â13ââ+1+3â (21â13ââ)+4â=0â
Die Gleichung kann nur mit dem Taschenrechner verifiziert werden! Sie ist wahr.
Probe fĂŒr x2â=21+13ââ:
Setze x2â=21+13ââ in die Wurzelgleichung x+1+3x+4â=0 ein:
21+13ââ+1+3â (21+13ââ)+4â=0
Der Term auf der linken Seite kann nur mit dem Taschenrechner berechnet werden.
Man erhÀlt als Ergebnis:
21+13ââ+1+3â (21+13ââ)+4ââ6,606
Damit ist der Wert des Terms ungleich null. Du hast eine falsche Aussage erhalten.
x2â ist keine Lösung der Wurzelgleichung x+1+3x+4â=0
Der gemeinsame GĂŒltigkeitsbereich fĂŒr beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen ĂŒberschneiden, ist der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzelgleichung.
Ab xâ„21â13ââ ĂŒberschneiden sich die beiden GĂŒltigkeitsbereiche fĂŒr die Wurzeln. Der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzelgleichung 21â13âââ€xx+1+3x+4ââââ=3 ist dann:
D={xâRâŁxâ„21â13ââ}Alle Umformungen erfolgen unter der allgemeinen Annahme, dass xâ„21â13ââ ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
x+1+3x+4ââ = 3 ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
x+1+3x+4â = 9 âxâ1 â Die Wurzel muss auf einer Seite allein stehen.
3x+4â = 8âx ()2 3x+4 = (8âx)2 â Wende eine binomische Formel an.
3x+4 = 64â16x+x2 â3xâ4 â Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = x2â19x+60 4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast eine quadratische Gleichung 0=x2â19x+60 erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte fĂŒr p und q ab:
p=â19 und q=60
Setze die Werte in die pq-Formel ein:
x1,2â = â2pâ±(2pâ)2âqâ â Setze ï»żp=â19 und ï»żq=60 ein.
x1,2â = â2(â19)â±(2â19â)2â60â â Vereinfache.
x1,2â = 219â±90,25â60â â Vereinfache.
x1,2â = 9,5±30,25â â Ziehe die Wurzel.
x1,2â = 9,5±5,5 Du hast die Lösung x1,2â=9,5±5,5 erhalten. Damit folgt dann:
x1â=9,5â5,5=4 und x2â=9,5+5,5=15
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich D={xâRâŁxâ„21â13ââ} fĂŒr die Wurzel.
5. Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Probe fĂŒr x=4:
Setze x=4 in die Wurzelgleichung x+1+3x+4ââ=3 ein:
4+1+3â 4+4ââ = 3 â Vereinfache.
5+16ââ = 3 â Vereinfache.
5+4â = 3 â Vereinfache.
9â = 3 â Ziehe die Wurzel.
3 = 3â Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x=4 Lösung der Wurzelgleichung.
Probe fĂŒr x=15:
Setze x=15 in die Wurzelgleichung x+1+3x+4ââ=3 ein:
15+1+3â 15+4ââ = 3 â Vereinfache.
16+49ââ = 3 â Vereinfache.
16+7â = 3 â Vereinfache.
23â = 3 Du hast eine falsche Aussage erhalten, da 23ââ4,8î =3 ist.
Somit ist x=15 keine Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
L={4}Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
EnthÀlt die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Ăquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusĂ€tzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.