Löse die Wurzelgleichung x2â8â=1
1. Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
x2â8ââ PrĂŒfe, wann der Radikand x2â8 gröĂer oder gleich null ist.
x2â8 | â„ | 0 | +8 |
â | Löse nach x auf. | ||
x2 | â„ | 8 | â |
âŁx⣠| â„ | 8â |
Der Radikand ist gröĂer oder gleich null, wenn xâ€â8â und/oder xâ„8â ist.
Damit ergibt sich der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzel x2â8ââ und auch fĂŒr die Wurzelgleichung x2â8â=1:
Der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzelgleichung kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass xâD ist.
2. Auflösung der Wurzelgleichung
x2â8â | = | 1 | ()2 |
â | Beseitige die Wurzel durch Quadrieren. | ||
x2â8 | = | 12 | +8 |
â | Löse nach x auf. | ||
x2 | = | 9 | â |
â | Ziehe die Wurzel. | ||
x1,2â | = | ±3 |
Du hast als mögliche Lösung x=â3 und/oder x=3 erhalten.
3. ĂberprĂŒfung der erhaltenen Lösungen
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich D=R\]â8â;8â[ fĂŒr die Wurzelgleichung. FĂŒhre nun eine Probe durch:
Probe fĂŒr x=â3:
Setze x=â3 in die Wurzelgleichung x2â8â=1 ein:
(â3)2â8â | = | 1 | |
â | Vereinfache. | ||
9â8â | = | 1 | |
â | Fasse zusammen. | ||
1â | = | 1 | |
â | Ziehe die Wurzel. | ||
1 | = | 1â |
Du hast eine wahre Aussage erhalten. x=â3 ist Lösung der Wurzelgleichung.
Probe fĂŒr x=3:
Setze x=3 in die Wurzelgleichung x2â8â=1 ein:
32â8â | = | 1 | |
â | Vereinfache. | ||
9â8â | = | 1 | |
â | Fasse zusammen. | ||
1â | = | 1 | |
â | Ziehe die Wurzel. | ||
1 | = | 1â |
Du hast eine wahre Aussage erhalten. x=3 ist Lösung der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge fĂŒr die Wurzelgleichung ist: