Aufgaben zu Wurzelgleichungen - lernen mit Serlo!

Löse die Wurzelgleichung $\sqrt{x^2-8}=1$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

$\textcolor{009999}{\sqrt{x^2-8}}$ Prüfe, wann der Radikand $x^{2} - 8$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x^2-8$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +8$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x^2$	$\geq ≥$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \|x\|$	$\geq ≥$	$\displaystyle \sqrt{8}$

Der Radikand ist größer oder gleich null, wenn $x\leq-\sqrt{8}$ und/oder $x\geq\sqrt{8}$ ist.

Damit ergibt sich der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzel $\textcolor{009999}{ \sqrt{x^2-8} }$ und auch für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\sqrt{x^2-8}}=1:$

\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb D= \mathbb R\backslash\Big]-\sqrt{8};\sqrt{8}\Big[}

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Definitionsbereich für die Wurzelgleichung

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\in \mathbb D$ ist.

2. Auflösung der Wurzelgleichung

$\displaystyle \sqrt{x^2-8}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle x^2-8$	$=$	$\displaystyle 1^2$	$\displaystyle +8$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm3$

Du hast als mögliche Lösung $x = - 3$ und/oder $x = 3$ erhalten.

3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\mathbb D= \mathbb R\backslash\Big]-\sqrt{8};\sqrt{8}\Big[$ für die Wurzelgleichung. Führe nun eine Probe durch:

Probe für $x = - 3$ :

Setze $x = - 3$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x^2-8}=1$ ein:

$\displaystyle \sqrt{(-3)^2-8}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{9-8}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x = - 3$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x = 3$ :

Setze $x = 3$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x^2-8}=1$ ein:

$\displaystyle \sqrt{3^2-8}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{9-8}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x = 3$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

Die Lösungsmenge für die Wurzelgleichung ist:

\displaystyle\mathbb L=\{-3;3\}

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