Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
4x+2â=2xâ3
1. Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
Wurzel: 4x+2ââ
PrĂŒfe, wann der Radikand 4x+2 gröĂer oder gleich null ist.
4x+2 â„ 0 â2 â Löse nach x auf.
4x â„ â2 :4 x â„ â42â â KĂŒrze.
x â„ â21â Somit ergibt sich der Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel 4x+2ââ
D={xâRâŁxâ„â21â}Der GĂŒltigkeitsbereich fĂŒr die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzelgleichung xâ„â21â4x+2âââ=2xâ3 ist:
D={xâRâŁxâ„â21â}Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass xâ„â21â ist.
2. Auflösung der Wurzelgleichung
Die Wurzel steht schon allein auf einer Seite.
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
4x+2â = 2xâ3 ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
4x+2 = (2xâ3)2 â Wende eine binomische Formel an.
4x+2 = 4x2â12x+9 â4xâ2 â Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = 4x2â16x+7 Du hast eine quadratische Gleichung erhalten.
Die Lösung der Gleichung 4x2â16x+7=0 erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte fĂŒr a, b und c ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
ï»ża=4, ï»żb=â16 und ï»żc=7
x1,2â = 2aâb±b2â4acââ â Setze a=4, b=â16 und c=7 ein.
= 2â 4â(â16)±(â16)2â4â 4â 7ââ â Vereinfache.
= 816±256â112ââ = 816±144ââ â Ziehe die Wurzel.
= 816±12â â Schreibe den Term als zwei BrĂŒche.
= 816â±812â â KĂŒrze.
= 2±1,5 Somit ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:
x1â=2â1,5=0,5 und x2â=2+1,5=3,5
3. ĂberprĂŒfung der erhaltenen Lösungen
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich D={xâRâŁxâ„â21â} fĂŒr die Wurzelgleichung.
FĂŒhre nun eine Probe durch:
Probe fĂŒr x=0,5:
Setze x=0,5 in die Wurzelgleichung 4x+2â=2xâ3 ein:
4â 0,5+2â = 2â 0,5â3 â Vereinfache.
2+2â = 1â3 â Fasse zusammen.
4â = â2 â Ziehe die Wurzel.
2 = â2 Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist x=0,5 keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe fĂŒr x=3,5:
Setze x=3,5 in die Wurzelgleichung 4x+2â=2xâ3 ein:
4â 3,5+2â = 2â 3,5â3 â Vereinfache.
14+2â = 7â3 â Fasse zusammen.
16â = 4 â Ziehe die Wurzel.
4 = 4 Du hast eine wahre Aussage erhalten. x=3,5 ist Lösung der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: L={3,5}
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8â2xâ=5âxââ1
1. Definitionsbereich fĂŒr die Wurzeln bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
Erste Wurzel: 8â2xââ
PrĂŒfe, wann der Radikand 8â2x gröĂer oder gleich null ist.
8â2x â„ 0 +2x â Löse nach x auf.
8 â„ 2x :2 4 â„ x Somit ergibt sich der Definitionsbereich fĂŒr die erste Wurzel 8â2xââ
D={xâRâŁxâ€4}Zweite Wurzel: 5âxâââ
PrĂŒfe, wann der Radikand 5âx gröĂer oder gleich null ist.
5âx â„ 0 +x â Löse nach x auf.
5 â„ x Der Definitionsbereich fĂŒr die zweite Wurzel 5âxâââ ist dann:
D={xâRâŁxâ€5}Der gemeinsame GĂŒltigkeitsbereich fĂŒr die zwei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen ĂŒberschneiden, ist der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzelgleichung.
Ab xâ€4 ĂŒberschneiden sich die beiden GĂŒltigkeitsbereiche fĂŒr die Wurzeln.
FĂŒr die Wurzelgleichung xâ€48â2xâââ=xâ€55âxââââ1 gilt dann:
D={xâRâŁxâ€4}Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass xâ€4 ist.
2. Auflösung der Wurzelgleichung
Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
8â2xâ = 5âxââ1 ()2 â Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
8â2x = (5âxââ1)2 â Wende eine binomische Formel an.
8â2x = 5âxâ25âxâ+1 â Fasse zusammen.
8â2x = 6âxâ25âxâ â6+x â Die Wurzel muss allein auf einer Seite stehen.
2âx = â25âxâ Du hast erneut eine Wurzelgleichung â25âxâ=2âx erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.
â25âxâ = 2âx ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
4â (5âx) = (2âx)2 â Wende eine binomische Formel an.
20â4x = 4â4x+x2 â20+4x â Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = â16+x2 â16 â Löse nach x auf.
16 = x2 â x1â = â4 x2â = 4 Du hast zwei Lösungen der quadratischen Gleichung erhalten:
x1â=â4 und x2â=4
3. ĂberprĂŒfung der erhaltenen Lösungen
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich D={xâRâŁxâ€4} fĂŒr die Wurzelgleichung.
FĂŒhre nun eine Probe durch:
Probe fĂŒr x=â4:
Setze x=â4 in die Wurzelgleichung 8â2xâ=5âxââ1 ein:
8â2â (â4)â = 5â(â4)ââ1 â Vereinfache.
8+8â = 9ââ1 â Fasse zusammen.
16â = 9ââ1 â Ziehe die Wurzeln.
4 = 3â1 4 = 2 Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist x=â4 keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe fĂŒr x=4:
Setze x=4 in die Wurzelgleichung 8â2xâ=5âxââ1 ein:
8â2â 4â = 5â4ââ1 â Vereinfache.
8â8â = 1ââ1 â Fasse zusammen.
0â = 1ââ1 â Ziehe die Wurzeln.
0 = 1â1 0 = 0 Du hast eine wahre Aussage erhalten. x=4 ist Lösung der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: L={4}
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