Aufgaben zu Wurzelgleichungen - lernen mit Serlo!

Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{4 x + 2} = 2 x - 3$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

Wurzel: $\sqrt{4 x + 2} $

Prüfe, wann der Radikand $4 x + 2$ größer oder gleich null ist.

$4 x + 2$	$\geq$	$0$	$- 2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$4 x$	$\geq$	$- 2$	$: 4$
$x$	$\geq$	$- \frac{2}{4}$
	↓	Kürze.
$x$	$\geq$	$- \frac{1}{2}$

Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die Wurzel $\sqrt{4 x + 2} $

𝔻 = {x \in ℝ | x \geq - \frac{1}{2}}

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\underset{x \geq - \frac{1}{2}}{\underset{⏟}{\sqrt{4 x + 2}}} = 2 x - 3$ ist:

𝔻 = {x \in ℝ | x \geq - \frac{1}{2}}

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x \geq - \frac{1}{2}$ ist.

2. Auflösung der Wurzelgleichung

Die Wurzel steht schon allein auf einer Seite.

Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\sqrt{4 x + 2}$	$=$	$2 x - 3$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$4 x + 2$	$=$	$(2 x - 3)^{2}$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$4 x + 2$	$=$	$4 x^{2} - 12 x + 9$	$- 4 x - 2$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$0$	$=$	$4 x^{2} - 16 x + 7$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten.

Die Lösung der Gleichung $4 x^{2} - 16 x + 7 = 0$ erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a = 4$ , $ b = - 16$ und $c = 7$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 4$ , $b = - 16$ und $c = 7$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 16) \pm \sqrt{(- 16)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{16 \pm \sqrt{256 - 112}}{8}$
	$=$	$\frac{16 \pm \sqrt{144}}{8}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{16 \pm 12}{8}$
	↓	Schreibe den Term als zwei Brüche.
	$=$	$\frac{16}{8} \pm \frac{12}{8}$
	↓	Kürze.
	$=$	$2 \pm 1,5$

Somit ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:

$x_{1} = 2 - 1,5 = 0,5$ und $x_{2} = 2 + 1,5 = 3,5$

3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $𝔻 = {x \in ℝ | x \geq - \frac{1}{2}}$ für die Wurzelgleichung.

Führe nun eine Probe durch:

Probe für $x = 0,5$ :

Setze $x = 0,5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{4 x + 2} = 2 x - 3$ ein:

$\sqrt{4 \cdot 0,5 + 2}$	$=$	$2 \cdot 0,5 - 3$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{2 + 2}$	$=$	$1 - 3$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{4}$	$=$	$- 2$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$2$	$=$	$- 2$

Du hast eine falsche Aussage erhalten.

Somit ist $x = 0,5$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x = 3,5$ :

Setze $x = 3,5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{4 x + 2} = 2 x - 3$ ein:

$\sqrt{4 \cdot 3,5 + 2}$	$=$	$2 \cdot 3,5 - 3$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{14 + 2}$	$=$	$7 - 3$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{16}$	$=$	$4$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$4$	$=$	$4$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x = 3,5$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $𝕃 = {3,5}$

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$\sqrt{8 - 2 x} = \sqrt{5 - x} - 1$

1. Definitionsbereich für die Wurzeln bestimmen

Erste Wurzel: $\sqrt{8 - 2 x} $

Prüfe, wann der Radikand $8 - 2 x$ größer oder gleich null ist.

$8 - 2 x$	$\geq$	$0$	$+ 2 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$8$	$\geq$	$2 x$	$: 2$
$4$	$\geq$	$x$

Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die erste Wurzel $\sqrt{8 - 2 x} $

𝔻 = {x \in ℝ | x \leq 4}

Zweite Wurzel: $\sqrt{5 - x} $

Prüfe, wann der Radikand $5 - x$ größer oder gleich null ist.

$5 - x$	$\geq$	$0$	$+ x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$5$	$\geq$	$x$

Der Definitionsbereich für die zweite Wurzel $\sqrt{5 - x} $ ist dann:

𝔻 = {x \in ℝ | x \leq 5}

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die zwei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Ab $x \leq 4$ überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Für die Wurzelgleichung $\underset{x \leq 4}{\underset{⏟}{\sqrt{8 - 2 x}}} = \underset{x \leq 5}{\underset{⏟}{\sqrt{5 - x}}} - 1$ gilt dann:

𝔻 = {x \in ℝ | x \leq 4}

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x \leq 4$ ist.

2. Auflösung der Wurzelgleichung

Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\sqrt{8 - 2 x}$	$=$	$\sqrt{5 - x} - 1$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
$8 - 2 x$	$=$	$(\sqrt{5 - x} - 1)^{2}$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$8 - 2 x$	$=$	$5 - x - 2 \sqrt{5 - x} + 1$
	↓	Fasse zusammen.
$8 - 2 x$	$=$	$6 - x - 2 \sqrt{5 - x}$	$- 6 + x$
	↓	Die Wurzel muss allein auf einer Seite stehen.
$2 - x$	$=$	$- 2 \sqrt{5 - x}$

Du hast erneut eine Wurzelgleichung $- 2 \sqrt{5 - x} = 2 - x$ erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.

$- 2 \sqrt{5 - x}$	$=$	$2 - x$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$4 \cdot (5 - x)$	$=$	$(2 - x)^{2}$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$20 - 4 x$	$=$	$4 - 4 x + x^{2}$	$- 20 + 4 x$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$0$	$=$	$- 16 + x^{2}$	$- 16$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$16$	$=$	$x^{2}$	$\sqrt{}$
$x_{1}$	$=$	$- 4$
$x_{2}$	$=$	$4$

Du hast zwei Lösungen der quadratischen Gleichung erhalten:

$x_{1} = - 4$ und $x_{2} = 4$

3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $𝔻 = {x \in ℝ | x \leq 4}$ für die Wurzelgleichung.

Führe nun eine Probe durch:

Probe für $x = - 4$ :

Setze $x = - 4$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{8 - 2 x} = \sqrt{5 - x} - 1$ ein:

$\sqrt{8 - 2 \cdot (- 4)}$	$=$	$\sqrt{5 - (- 4)} - 1$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{8 + 8}$	$=$	$\sqrt{9} - 1$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{16}$	$=$	$\sqrt{9} - 1$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
$4$	$=$	$3 - 1$
$4$	$=$	$2$

Du hast eine falsche Aussage erhalten.

Somit ist $x = - 4$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x = 4$ :

Setze $x = 4$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{8 - 2 x} = \sqrt{5 - x} - 1$ ein:

$\sqrt{8 - 2 \cdot 4}$	$=$	$\sqrt{5 - 4} - 1$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{8 - 8}$	$=$	$\sqrt{1} - 1$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{0}$	$=$	$\sqrt{1} - 1$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
$0$	$=$	$1 - 1$
$0$	$=$	$0$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x = 4$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $𝕃 = {4}$

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