Aufgaben zu Wurzelgleichungen - lernen mit Serlo!

Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{3 x + 1} = \sqrt{9 x + 4}$

1. Definitionsbereiche für die Wurzeln bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

Die erste Wurzel: $\sqrt{2 x - 1}$

Prüfe, wann der Radikand $2 x - 1$ größer oder gleich null ist.

$2 x - 1$	$\geq$	$0$	$+ 1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$2 x$	$\geq$	$1$	$: 2$
$x$	$\geq$	$\frac{1}{2}$

Die zweite Wurzel: $\sqrt{3 x + 1}$

Prüfe, wann der Radikand $3 x + 1$ größer oder gleich null ist.

$3 x + 1$	$\geq$	$0$	$- 1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$3 x$	$\geq$	$- 1$	$: 3$
$x$	$\geq$	$- \frac{1}{3}$

Die dritte Wurzel: $\sqrt{9 x + 4}$

Prüfe, wann der Radikand $9 x + 4$ größer oder gleich null ist.

$9 x + 4$	$\geq$	$0$	$- 4$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$9 x$	$\geq$	$- 4$	$: 9$
$x$	$\geq$	$- \frac{4}{9}$

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Ab $x \geq \frac{1}{2}$ überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung

$\underset{x \geq \frac{1}{2}}{\underset{⏟}{\sqrt{2 x - 1}}} + \underset{x \geq - \frac{1}{3}}{\underset{⏟}{\sqrt{3 x + 1}}} = \underset{x \geq - \frac{4}{9}}{\underset{⏟}{\sqrt{9 x + 4}}}$ ist dann:

𝔻 = {x \in ℝ | x \geq \frac{1}{2}}

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x \geq \frac{1}{2}$ ist.

2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{3 x + 1}$	$=$	$\sqrt{9 x + 4}$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren. Denke daran, auf der linken Seite eine binomische Formel anzuwenden.
$2 x - 1 + 2 \cdot \sqrt{2 x - 1} \cdot \sqrt{3 x + 1} + 3 x + 1$	$=$	$9 x + 4$
	↓	Fasse die Terme auf der linken Seite zusammen.
$5 x + 2 \cdot \sqrt{(2 x - 1) \cdot (3 x + 1)}$	$=$	$9 x + 4$	$- 5 x$
	↓	Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
$2 \cdot \sqrt{(2 x - 1) \cdot (3 x + 1)}$	$=$	$4 x + 4$	$: 2$
$\sqrt{(2 x - 1) \cdot (3 x + 1)}$	$=$	$2 x + 2$

Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.

$\sqrt{(2 x - 1) \cdot (3 x + 1)}$	$=$	$2 x + 2$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$(2 x - 1) \cdot (3 x + 1)$	$=$	$(2 x + 2)^{2}$
	↓	Klammern ausrechnen und Binomische Formel anwenden.
$6 x^{2} + 2 x - 3 x - 1$	$=$	$4 x^{2} + 8 x + 4$	$- 4 x^{2} - 8 x - 4$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$2 x^{2} - 9 x - 5$	$=$	$0$

3. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast eine quadratische Gleichung $2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Formel ein:

$a = 2$ , $b = - 9$ und $c = - 5$

$x_{1, 2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 2$ , $b = - 9$ und $c = - 5$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 9) \pm \sqrt{(- 9)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4}$
	$=$	$\frac{9 \pm \sqrt{121}}{4}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{9 \pm 11}{4}$

Du hast die Lösung $x_{1,2} = \frac{9 \pm 11}{4}$ erhalten.

Dann folgt:

$x_{1} = \frac{9 - 11}{4} = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}$ und $x_{2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$

Die Lösung $x = - \frac{1}{2}$ liegt nicht im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung, d.h. diese Lösung entfällt. $x = 5$ liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung

4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x = 5$ :

Setze $x = 5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{3 x + 1} = \sqrt{9 x + 4}$ ein:

$\sqrt{2 \cdot 5 - 1} + \sqrt{3 \cdot 5 + 1}$	$=$	$\sqrt{9 \cdot 5 + 4}$
	↓	Fasse zusammen
$\sqrt{9} + \sqrt{16}$	$=$	$\sqrt{49}$
	↓	Ziehe die Wurzeln
$3 + 4$	$=$	$7$
$7$	$=$	$7 ✓$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x = 5$ Lösung der Wurzelgleichung.

5. Lösungsmenge angeben

𝕃 = {5}

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$\sqrt{x + 8} - \sqrt{x + 3} = \sqrt{x}$

1. Definitionsbereiche für die Wurzeln bestimmen

Die erste Wurzel: $\sqrt{x + 8}$

Prüfe, wann der Radikand $x + 8$ größer oder gleich null ist.

$x + 8$	$\geq$	$0$	$- 8$
$x$	$\geq$	$- 8$

Die zweite Wurzel: $\sqrt{x + 3}$

Prüfe, wann der Radikand $x + 3$ größer oder gleich null ist.

$x + 3$	$\geq$	$0$	$- 3$
$x$	$\geq$	$- 3$

Die dritte Wurzel: $\sqrt{x}$

Hier muss $x \geq 0$ sei n.

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die drei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Ab $x \geq 0$ überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Für die Wurzelgleichung $\underset{x \geq - 8}{\underset{⏟}{\sqrt{x + 8}}} - \underset{x \geq - 3}{\underset{⏟}{\sqrt{x + 3}}} = \underset{x \geq 0}{\underset{⏟}{\sqrt{x}}}$ gilt dann:

𝔻 = {x \in ℝ | x \geq 0}

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x \geq 0$ ist.

2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\sqrt{x + 8} - \sqrt{x + 3}$	$=$	$\sqrt{x}$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
$x + 8 - 2 \cdot \sqrt{x + 8} \cdot \sqrt{x + 3} + x + 3$	$=$	$x$
	↓	Fasse zusammen.
$2 x + 11 - 2 \cdot \sqrt{(x + 8) \cdot (x + 3)}$	$=$	$x$	$- x + 2 \cdot \sqrt{(x + 8) \cdot (x + 3)}$
	↓	Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
$x + 11$	$=$	$2 \cdot \sqrt{(x + 8) \cdot (x + 3)}$

Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.

$x + 11$	$=$	$2 \cdot \sqrt{(x + 8) \cdot (x + 3)}$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$(x + 11)^{2}$	$=$	$4 \cdot (x + 8) \cdot (x + 3)$
	↓	Klammern ausrechnen und Binomische Formel anwenden.
$x^{2} + 22 x + 121$	$=$	$4 \cdot (x^{2} + 3 x + 8 x + 24)$
	↓	Zusammenfassen und Klammer auflösen.
$x^{2} + 22 x + 121$	$=$	$4 x^{2} + 44 x + 96$	$- x^{2} - 22 x - 121$
	↓	Alle Terme auf eine Seite bringen.
$0$	$=$	$3 x^{2} + 22 x - 25$

3. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast eine quadratische Gleichung $3 x^{2} + 22 x - 25 = 0$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Formel ein:

$a = 3$ , $b = 22$ und $c = - 25$

$x_{1, 2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 3$ , $b = 22$ und $c = - 25$ ein.
	$=$	$\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 25)}}{2 \cdot 3}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 300}}{6}$
	$=$	$\frac{- 22 \pm \sqrt{784}}{6}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{- 22 \pm 28}{6}$

Du hast die Lösung $x_{1, 2} = \frac{- 22 \pm 28}{6}$ erhalten. Dann folgt:

$x_{1} = \frac{- 22 - 28}{6} = - \frac{50}{6} = - \frac{25}{3}$ und $x_{2} = \frac{- 22 + 28}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Die Lösung $x_{1} = - \frac{25}{3}$ liegt nicht im Definitionsbereich $𝔻 = {x \in ℝ | x \geq 0}$ für die Wurzelgleichung, d.h. diese Lösung entfällt.

$x_{2} = 1$ liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.

4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x = 1$ :

Setze $x = 1$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x + 8} - \sqrt{x + 3} = \sqrt{x}$ ein:

$\sqrt{1 + 8} - \sqrt{1 + 3}$	$=$	$\sqrt{1}$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{9} - \sqrt{4}$	$=$	$\sqrt{1}$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
$3 - 2$	$=$	$1$
$1$	$=$	$1 ✓$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x = 1$ Lösung der Wurzelgleichung.

5. Lösungsmenge angeben

𝕃 = {1}

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