Aufgaben zu Wurzelgleichungen - lernen mit Serlo!

Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}=\sqrt{9x+4}$

1. Definitionsbereiche für die Wurzeln bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

Die erste Wurzel: $\textcolor{ff6600}{\sqrt{2x-1}}$

Prüfe, wann der Radikand $2 x - 1$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 2x-1$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 2x$	$\geq ≥$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$\geq ≥$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Die zweite Wurzel: $\textcolor{009999}{\sqrt{3x+1}}$

Prüfe, wann der Radikand $3 x + 1$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 3x+1$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 3x$	$\geq ≥$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$\geq ≥$	$\displaystyle -\dfrac{1}{3}$

Die dritte Wurzel: $\textcolor{660099}{\sqrt{9x+4}}$

Prüfe, wann der Radikand $9 x + 4$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 9x+4$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 9x$	$\geq ≥$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :9$
$\displaystyle x$	$\geq ≥$	$\displaystyle -\dfrac{4}{9}$

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Ab $x\ge\dfrac{1}{2}$ überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung

$\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{2x-1}}_{x\ge\frac{1}{2}}}+\displaystyle\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{3x+1}}_{x\ge-\frac{1}{3}}}=\textcolor{660099}{\underbrace{\sqrt{9x+4}}_{x\ge-\frac{4}{9}}}$ ist dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq\dfrac{1}{2}\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq\dfrac{1}{2}$ ist.

2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9x+4}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren. Denke daran, auf der linken Seite eine binomische Formel anzuwenden.
$\displaystyle 2x-1+2\cdot\sqrt{2x-1}\cdot\sqrt{3x+1}+3x+1$	$=$	$\displaystyle 9x+4$
	↓	Fasse die Terme auf der linken Seite zusammen.
$\displaystyle 5x+2\cdot\sqrt{(2x-1)\cdot(3x+1)}$	$=$	$\displaystyle 9x+4$	$\displaystyle -5x$
	↓	Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
$\displaystyle 2\cdot\sqrt{(2x-1)\cdot(3x+1)}$	$=$	$\displaystyle 4x+4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \sqrt{(2x-1)\cdot(3x+1)}$	$=$	$\displaystyle 2x+2$

Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.

$\displaystyle \sqrt{(2x-1)\cdot(3x+1)}$	$=$	$\displaystyle 2x+2$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle (2x-1)\cdot(3x+1)$	$=$	$\displaystyle (2x+2)^2$
	↓	Klammern ausrechnen und Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle 6x^2+2x-3x-1$	$=$	$\displaystyle 4x^2+8x+4$	$\displaystyle -4x^2-8x-4$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 2x^2-9x-5$	$=$	$\displaystyle 0$

3. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast eine quadratische Gleichung $2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Formel ein:

$a = 2$ , $b = - 9$ und $c = - 5$

$\displaystyle x_{1 , 2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 2$ , $b = - 9$ und $c = - 5$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^{2}-4 \cdot 2\cdot(-5)}}{2 \cdot2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{9 \pm \sqrt{81+40}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{9 \pm \sqrt{121}}{4}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{9 \pm 11}{4}$

Du hast die Lösung $x_{1{,}2}=\dfrac{9 \pm 11}{4}$ erhalten.

Dann folgt:

$x_1=\dfrac{9 - 11}{4} =-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}$ und $x_2=\dfrac{9 + 11}{4} =\dfrac{20}{4}=5$

Die Lösung $x=-\dfrac{1}{2}$ liegt nicht im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung, d.h. diese Lösung entfällt. $x = 5$ liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung

4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x = 5$ :

Setze $x = 5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}=\sqrt{9x+4}$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot5-1}+\sqrt{3\cdot5+1}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9\cdot5+4}$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle \sqrt{9}+\sqrt{16}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{49}$
	↓	Ziehe die Wurzeln
$\displaystyle 3+4$	$=$	$\displaystyle 7$
$\displaystyle 7$	$=$	$\displaystyle 7\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x = 5$ Lösung der Wurzelgleichung.

5. Lösungsmenge angeben

\displaystyle\mathbb L=\{5\}

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$\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}=\sqrt{x}$

1. Definitionsbereiche für die Wurzeln bestimmen

Die erste Wurzel: $\textcolor{ff6600}{\sqrt{x+8}}$

Prüfe, wann der Radikand $x + 8$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x+8$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle x$	$\geq ≥$	$\displaystyle -8$

Die zweite Wurzel: $\textcolor{009999}{\sqrt{x+3}}$

Prüfe, wann der Radikand $x + 3$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x+3$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$\geq ≥$	$\displaystyle -3$

Die dritte Wurzel: $\textcolor{660099}{\sqrt{x}}$

Hier muss $x\geq 0$ sei n.

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die drei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Ab $x\ge{0}$ überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Für die Wurzelgleichung $\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{x+8}}_{x\geq -8}}-\displaystyle\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x+3}}_{x\geq-3}}=\textcolor{660099}{\underbrace{\sqrt{x}}_{x\geq 0}}$ gilt dann:

\displaystyle\textcolor{660099}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq0\} }

\displaystyle

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq0$ ist.

2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
$\displaystyle x+8-2\cdot\sqrt{x+8}\cdot\sqrt{x+3}+x+3$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2x+11-2\cdot\sqrt{(x+8)\cdot(x+3)}$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -x+2\cdot\sqrt{(x+8)\cdot(x+3)}$
	↓	Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
$\displaystyle x+11$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\sqrt{(x+8)\cdot(x+3)}$

Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.

$\displaystyle x+11$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\sqrt{(x+8)\cdot(x+3)}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle (x+11)^2$	$=$	$\displaystyle 4\cdot(x+8)\cdot(x+3)$
	↓	Klammern ausrechnen und Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle x^2+22x+121$	$=$	$\displaystyle 4\cdot(x^2+3x+8x+24)$
	↓	Zusammenfassen und Klammer auflösen.
$\displaystyle x^2+22x+121$	$=$	$\displaystyle 4x^2+44x+96$	$\displaystyle -x^2-22x-121$
	↓	Alle Terme auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3x^2+22x-25$

3. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast eine quadratische Gleichung $3 x^{2} + 22 x - 25 = 0$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Formel ein:

$a = 3$ , $b = 22$ und $c = - 25$

$\displaystyle x_{1 , 2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 3$ , $b = 22$ und $c = - 25$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-22 \pm \sqrt{22^{2}-4 \cdot 3\cdot(-25)}}{2 \cdot3}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-22 \pm \sqrt{484+300}}{6}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-22 \pm \sqrt{784}}{6}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-22 \pm 28}{6}$

Du hast die Lösung $x_{1 , 2}=\dfrac{-22 \pm 28}{6}$ erhalten. Dann folgt:

$x_1=\dfrac{-22 - 28}{6}=-\dfrac{50}{6}=-\dfrac{25}{3}$ und $x_2=\dfrac{-22 + 28}{6}=\dfrac{6}{6}=1$

Die Lösung $x_1=-\dfrac{25}{3}$ liegt nicht im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq0\}$ für die Wurzelgleichung, d.h. diese Lösung entfällt.

$x_{2} = 1$ liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.

4. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x = 1$ :

Setze $x = 1$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}=\sqrt{x}$ ein:

$\displaystyle \sqrt{1+8}-\sqrt{1+3}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{1}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{9}-\sqrt{4}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{1}$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
$\displaystyle 3-2$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x = 1$ Lösung der Wurzelgleichung.

5. Lösungsmenge angeben

\displaystyle\mathbb L=\{1\}

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