Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
50âx2â=x
1. Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
50âx2â: PrĂŒfe, wann der Radikand 50âx2 gröĂer oder gleich 0 ist.
50âx2 â„ 0 +x2 50 â„ x2 Du hast die Ungleichung x2â€50 erhalten. Sie ist wahr, wenn xâ[â50â;+50â].
Der GĂŒltigkeitsbereich fĂŒr die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzelgleichung â50ââ€xâ€50â50âx2âââ=x ist:
D=[â50â;+50â]Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass xâD ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
50âx2â = x ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
50âx2 = x2 +x2 â Löse nach x auf.
50 = 2x2 :2 25 = x2 â x1,2â = ±5 Du hast die beiden Lösungen x=â5 und/oder x=5 erhalten.
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel:
â5â„â50âââ7,07 und 5â€50ââ7,07
4. Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Probe fĂŒr x=â5:
Setze x=â5 in die Wurzelgleichung 50âx2â=x ein:
50â(â5)2â = â5 â Vereinfache.
50â25â = â5 â Vereinfache.
25â = â5 â Ziehe die Wurzel
5 = â5 Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist x=â5 keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe fĂŒr x=5:
Setze x=5 in die Wurzelgleichung 50âx2â=x ein:
50â52â = 5 â Vereinfache.
50â25â = 5 â Vereinfache.
25â = 5 â Ziehe die Wurzel
5 = 5 Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x=5 Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
L={5}Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
EnthÀlt die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Ăquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusĂ€tzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
5â4x2â=x2
1. Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
5â4x2â: PrĂŒfe, wann der Radikand 5â4x2 gröĂer oder gleich null ist.
5â4x2 â„ 0 +4x2 â Löse nach x auf.
5 â„ 4x2 :4 45â â„ x2 Du hast die Ungleichung x2â€45â erhalten. Sie ist wahr, wenn xâ[â45ââ;+45ââ].
Der GĂŒltigkeitsbereich fĂŒr die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzelgleichung â45âââ€xâ€45ââ5â4x2âââ=x2 ist:
D=[â45ââ;+45ââ]Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass xâD ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
5â4x2â = x2 ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
5â4x2 = x4 +4x2â5 â Löse nach x auf.
0 = x4+4x2â5 4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast eine biquadratische Gleichung x4+4x2â5=0 erhalten.
Diese Gleichung lÀsst sich lösen, indem man x2 durch z ersetzt (substituiert).
Da x4=(x2)2ist, wird x4 durch die Substitution zu z2.
z2+4zâ5=0Du hast nun die quadratische Gleichung z2+4zâ5=0 erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte fĂŒr p und q ab:
p=4 und q=â5
Setze die Werte in die pq-Formel ein:
z1,2â = â2pâ±(2pâ)2âqâ â Setze p=4 und q=â5 ein.
= â24â±(24â)2â(â5)â â Vereinfache.
= â2±4+5â â Vereinfache.
= â2±9â â Ziehe die Wurzel.
= â2±3 z1â = â5 z2â = 1 Du hast die beiden Werte z1â=â5 und z2â=1 erhalten. Nun muss wieder resubstituiert werden: x=±zâ
Da x2=z (also x=±zâ) gesetzt wurde, können nun die Lösungen der ursprĂŒnglichen Gleichung bestimmt werden:
z1â=â5 also ist x2=â5â keine Lösung
ï»żz2â=1 also ist ï»żx2=1âx1,2â=±1â=±1
Somit ist x=â1 und/oder x=1.
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich D=[â45ââ;+45ââ] fĂŒr die Wurzel:
â1â„â45ââââ1,12 und 1â€45âââ1,12
5. Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Probe fĂŒr x=â1:
Setze x=â1 in die Wurzelgleichung 5â4x2â=x2 ein:
5â4â (â1)2â = (â1)2 â Vereinfache.
5â4â = 1 â Vereinfache.
1â = 1 â Ziehe die Wurzel
1 = 1 Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x=â1 Lösung der Wurzelgleichung.
Probe fĂŒr x=1:
Setze x=1 in die Wurzelgleichung 5â4x2â=x2 ein:
5â4â 12â = 12 â Vereinfache.
5â4â = 1 â Vereinfache.
1â = 1 â Ziehe die Wurzel
1 = 1 Du hast wieder eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch x=1 Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
L={â1;1}Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
AnhÀlt die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Ăquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusĂ€tzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.