Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
x+1â=2xâ1
1. Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
x+1â: PrĂŒfe, wann der Radikand x+1 gröĂer oder gleich null ist.
x+1 â„ 0 â1 â Löse nach x auf.
x â„ â1 Der GĂŒltigkeitsbereich fĂŒr die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzelgleichung xâ„â1x+1âââ=2xâ1 ist:
D={xâRâŁxâ„â1}Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass xâ„â1 ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
x+1â = 2xâ1 ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
x+1 = (2xâ1)2 â Binomische Formel anwenden.
x+1 = 4x2â4x+1 âxâ1 â Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = 4x2â5x â Klammere x aus.
0 = xâ (4xâ5) 4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die Gleichung 0=xâ (4xâ5) erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst. Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von x und 4xâ5 gleich 0 ist, so ist x=0 oder 4xâ5=0.
4xâ5 = 0 +5 â Löse nach x auf.
4x = 5 :4 x = 45â Somit ist x=0 und/oder x=45â.
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich D={xâRâŁxâ„â1} fĂŒr die Wurzel.
5. Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Probe fĂŒr x=0:
Setze x=0 in die Wurzelgleichung x+1â=2xâ1 ein:
0+1â = 2â 0â1 â Fasse zusammen.
1â = â1 â Ziehe die Wurzel.
1 = â1 Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist x=0 keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe fĂŒr x=45â:
Setze x=45â in die Wurzelgleichung x+1â=2xâ1 ein:
45â+1â = 2â 45ââ1 â Vereinfache.
45â+44ââ = 410ââ44â â Fasse zusammen.
49ââ = 46â â Ziehe auf der linken Seite die Wurzel und kĂŒrze den Bruch auf der rechten Seite.
23â = 23ââ Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x=45â Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
L={45â}Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
EnthÀlt die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Ăquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusĂ€tzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
x+2â=x+2
1. Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
x+2â: PrĂŒfe, wann der Radikand x+2 gröĂer oder gleich null ist.
x+2 â„ 0 â2 â Löse nach x auf.
x â„ â2 Der GĂŒltigkeitsbereich fĂŒr die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzelgleichung xâ„â2x+2âââ=x+2 ist:
D={xâRâŁxâ„â2}Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass xâ„â2 ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
x+2â = x+2 ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
x+2 = (x+2)2 â Binomische Formel anwenden.
x+2 = x2+4x+4 âxâ2 â Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = x2+3x+2 4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die quadratische Gleichung 0=x2+3x+2 erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte fĂŒr p und q ab:
p=3 und q=2
Setze die Werte in die pq-Formel ein:
x1,2â = â2pâ±(2pâ)2âqâ â Setze ï»żp=3 und ï»żq=2 ein.
= â23â±(23â)2â2â â Berechne das Quadrat.
= â23â±49ââ2â â Fasse unter der Wurzel zusammen.
= â23â±49ââ48ââ â Vereinfache.
= â23â±41ââ â Ziehe die Wurzel.
= â23â±21â Somit folgt:
x1â=â23ââ21â=â2 und x2â=â23â+21â=â1
Du hast als mögliche Lösungen erhalten x1â=â2 und x2â=â1.
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich D={xâRâŁxâ„â2} fĂŒr die Wurzel.
5. Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Probe fĂŒr x1â=â2:
Setze x1â=â2 in die Wurzelgleichung x+2â=x+2 ein:
â2+2â = â2+2 â Fasse zusammen.
0â = 0 â Ziehe die Wurzel.
0 = 0â Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x1â=â2 Lösung der Wurzelgleichung.
Probe fĂŒr x2â=â1:
Setze x2â=â1 in die Wurzelgleichung x+2â=x+2 ein:
â1+2â = â1+2 â Fasse zusammen.
1â = 1 â Ziehe die Wurzel.
1 = 1â Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch x2â=â1 Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
L={â2;â1}Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
EnthÀlt die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Ăquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusĂ€tzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
2xâ1â=56âxâ3
1. Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
2xâ1â: PrĂŒfe, wann der Radikand 2xâ1 gröĂer oder gleich null ist.
2xâ1 â„ 0 +1 2x â„ 1 :2 x â„ 21â Der GĂŒltigkeitsbereich fĂŒr die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (GĂŒltigkeitsbereich) fĂŒr die Wurzelgleichung xâ„21â2xâ1âââ=56âxâ3 ist:
D={xâRâŁxâ„21â}Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass xâ„21â ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
2xâ1â = 56âxâ3 ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
2xâ1 = (56âxâ3)2 â Binomische Formel anwenden.
2xâ1 = 2536â x2â536âx+9 â2x+1 â Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = 2536â x2â546âx+10 4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die quadratische Gleichung 0=2536â x2â546âx+10 erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte fĂŒr a, b und c ab:
a=2536â, b=â546â und c=10
Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein:
x1,2â = 2aâb±b2â4acââ â Setze ein a=2536â, b=â546â und c=10.
= 2â 2536ââ(â546â)±(â546â)2â4â (2536â)â 10ââ â Fasse zusammen.
= 2572â546â±252116ââ251440âââ â Fasse zusammen.
= 2572â546â±25676âââ â Ziehe die Wurzel.
= 2572â546â±526ââ Es ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:
x1â=2572â546ââ526ââ=2572â520ââ=520ââ 7225â=1825â und x2â=2572â546â+526ââ=2572â572ââ=572ââ 7225â=5
Somit ist x=1825â und/oder x=5.
Du hast die Lösungen x1â=1825â und x2â=5 erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösungen wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Ăquivalenzumformung ist, muss geprĂŒft werden, welche der beiden Lösungen die gesuchte Lösung der Gleichung ist.
5. Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Probe mit x1â=1825â:
Setze x1â=1825â in die Wurzelgleichung 2xâ1â=56âxâ3 ein:
2â 1825ââ1â = 56ââ 1825ââ3 â KĂŒrze den Bruch.
1850ââ1818ââ = 35ââ3 â Fasse zusammen.
1832ââ = â34â Du hast eine falsche Aussage erhalten (eine Wurzel ist immer positiv).
Somit ist x1â=1825â keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe fĂŒr x2â=5:
Setze x2â=5 in die Wurzelgleichung 2xâ1â=56âxâ3 ein:
2â 5â1â = 56ââ 5â3 â KĂŒrze den Bruch und fasse den Term unter der Wurzel zusammen.
9â = 6â3 â Berechne die Wurzel und fasse zusammen.
3 = 3â Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist x=5 Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
L={5}Hast du eine Frage oder Feedback?
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich fĂŒr die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
AnhÀlt die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe fĂŒr alle erhaltenen Lösungen durchfĂŒhren
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Ăquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusĂ€tzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.