Aufgaben zu Wurzelgleichungen - lernen mit Serlo!

Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{x+1}=2x-1$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

$\textcolor{009999}{\sqrt{x+1}}$ : Prüfe, wann der Radikand $x + 1$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x+ 1$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$	$\geq ≥$	$\displaystyle -1$

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x+1}}_{x\geq-1}}=2x-1$ ist:

\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-1\}}

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq-1$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{x+1}$	$=$	$\displaystyle 2x-1$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle (2x-1)^2$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle 4x^2-4x+1$	$\displaystyle -x-1$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4x^2-5x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\cdot(4x-5)$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die Gleichung $0=x\cdot(4x-5)$ erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst. Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von $x$ und $4 x - 5$ gleich $0$ ist, so ist $x = 0$ oder $4 x - 5 = 0$ .

$\displaystyle 4x-5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +5$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{4}$

Somit ist $x = 0$ und/oder $x=\dfrac{5}{4}$ .

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-1\}$ für die Wurzel.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x = 0$ :

Setze $x = 0$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+1}=2x-1$ ein:

$\displaystyle \sqrt{0+1}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot 0-1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -1$

Du hast eine falsche Aussage erhalten.

Somit ist $x = 0$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=\dfrac{5}{4}$ :

Setze $x=\dfrac{5}{4}$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+1}=2x-1$ ein:

$\displaystyle \sqrt{\dfrac{5}{4}+1}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\dfrac{5}{4}-1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{5}{4}+\dfrac{4}{4}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10}{4}-\dfrac{4}{4}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{9}{4}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{4}$
	↓	Ziehe auf der linken Seite die Wurzel und kürze den Bruch auf der rechten Seite.
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=\dfrac{5}{4}$ Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle\mathbb L=\Big\{\dfrac{5}{4}\Big\}

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$\sqrt{x+2}=x+2$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

$\textcolor{009999}{\sqrt{x+2}}$ : Prüfe, wann der Radikand $x + 2$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x+2$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$	$\geq ≥$	$\displaystyle -2$

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{x+2}}_{x\geq-2}}=x+2$ ist:

\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-2\}}

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq-2$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{x+2}$	$=$	$\displaystyle x+2$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle (x+2)^2$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+4$	$\displaystyle -x-2$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+3x+2$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die quadratische Gleichung $0 = x^{2} + 3 x + 2$ erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:

$p = 3$ und $q = 2$

Setze die Werte in die pq-Formel ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = 3$ und $q = 2$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-2}$
	↓	Berechne das Quadrat.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-\dfrac{8}{4}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{1}{2}$

Somit folgt:

$x_1=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=-2$ und $x_2=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=-1$

Du hast als mögliche Lösungen erhalten $x_{1}=-2$ und $x_{2} = - 1$ .

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-2\}$ für die Wurzel.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x_{1} = - 2$ :

Setze $x_{1} = - 2$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+2}=x+2$ ein:

$\displaystyle \sqrt{-2+2}$	$=$	$\displaystyle -2+2$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{0}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x_{1} = - 2$ Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x_{2} = - 1$ :

Setze $x_{2} = - 1$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x+2}=x+2$ ein:

$\displaystyle \sqrt{-1+2}$	$=$	$\displaystyle -1+2$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch $x_{2} = - 1$ Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle\mathbb L=\{-2;-1\}

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$\sqrt{2x-1}=\dfrac{6}{5}x-3$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

$\textcolor{009999}{\sqrt{2x-1}}$ : Prüfe, wann der Radikand $2 x - 1$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 2x-1$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 2x$	$\geq ≥$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$\geq ≥$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{2x-1}}_{x\geq\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{6}{5}x-3$ ist:

\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq\dfrac{1}{2}\}}

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq\dfrac{1}{2}$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{5}x-3$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{6}{5}x-3\right)^2$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{36}{25}\ x^2-\dfrac{36}{5} x+9$	$\displaystyle -2x+1$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \dfrac{36}{25}\ x^2-\dfrac{46}{5} x+10$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die quadratische Gleichung $0=\dfrac{36}{25}\ x^2-\dfrac{46}{5} x+10$ erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab:

$a=\dfrac{36}{25}$ , $b=-\dfrac{46}{5}$ und $c = 10$

Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze ein $a=\dfrac{36}{25}$ , $b=-\dfrac{46}{5}$ und $c = 10.$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\left(-\dfrac{46}{5}\right)\pm\sqrt{\left(-\dfrac{46}{5}\right)^2-4\cdot \left(\dfrac{36}{25}\right)\cdot 10}}{2\cdot \dfrac{36}{25}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{46}{5}\pm\sqrt{\dfrac{2116}{25}-\dfrac{1440}{25}}}{ \dfrac{72}{25}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{46}{5}\pm\sqrt{\dfrac{676}{25}}}{ \dfrac{72}{25}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{46}{5}\pm\dfrac{26}{5}}{ \dfrac{72}{25}}$

Es ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:

$x_1=\dfrac{\dfrac{46}{5}-\dfrac{26}{5}}{ \dfrac{72}{25}}=\dfrac{\dfrac{20}{5}}{\dfrac{72}{25}}=\dfrac{20}{5}\cdot\dfrac{25}{72}=\dfrac{25}{18}$ und $x_2=\dfrac{\dfrac{46}{5}+\dfrac{26}{5}}{ \dfrac{72}{25}}=\dfrac{\dfrac{72}{5}}{\dfrac{72}{25}}=\dfrac{72}{5}\cdot\dfrac{25}{72}=5$

Somit ist $x=\dfrac{25}{18}$ und/oder $x = 5$ .

Du hast die Lösungen $x_1=\dfrac{25}{18}$ und $x_{2} = 5$ erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösungen wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss geprüft werden, welche der beiden Lösungen die gesuchte Lösung der Gleichung ist.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe mit $x_1=\dfrac{25}{18}$ :

Setze $x_1=\dfrac{25}{18}$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x-1}=\dfrac{6}{5}x-3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot\dfrac{25}{18}-1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{5}\cdot \dfrac{25}{18}-3$
	↓	Kürze den Bruch.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{50}{18}-\dfrac{18}{18}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{3}-3$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{32}{18}}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{4}{3}$

Du hast eine falsche Aussage erhalten (eine Wurzel ist immer positiv).

Somit ist $x_1=\dfrac{25}{18}$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x_{2} = 5$ :

Setze $x_{2} = 5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x-1}=\dfrac{6}{5}x-3$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot5-1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{5}\cdot 5-3$
	↓	Kürze den Bruch und fasse den Term unter der Wurzel zusammen.
$\displaystyle \sqrt{9}$	$=$	$\displaystyle 6-3$
	↓	Berechne die Wurzel und fasse zusammen.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 3\;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x = 5$ Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle\mathbb L=\{5\}

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