Aufgaben zu Potenz- und Wurzelfunktionen

Gegeben sind die beiden Funktionen $f(x)=\sqrt{2x+4}$ und $g(x)=\sqrt{4x-8}$ .

Berechne, in welchem Punkt sich die beiden Funktionsgraphen schneiden.

Für die Schnittpunktberechnung setze $f(x)=g(x)$ . Du erhältst eine Wurzelgleichung $\sqrt{2x+4}=\sqrt{4x-8}$ .

1. Bestimme den Definitionsbereich für die Wurzeln

$\displaystyle \textcolor{009999}{\sqrt{2x+4}}$ ist für $2x+4<0$ nicht definiert, d.h. für $x<-2$ .

Somit ergibt sich der Definitionsbereich für diese Wurzel: $\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-2\} }$

$\displaystyle \textcolor{ff6600}{\sqrt{4x-8}}$ ist für $4x-8 <0$ nicht definiert, d.h. für $x<2$ .

Der Definitionsbereich für diese Wurzel ist dann: $\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }$

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die zwei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Gültigkeitsbereich für die Wurzelgleichung

Ab $x\ge{2}$ überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Für die Wurzelgleichung $\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{4x-8}}_{x\geq 2}}=\displaystyle \textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{2x+4}}_{x\geq-2}}$ gilt dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\} }

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\geq2$ ist.

2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{2x+4}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{4x-8}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 2x+4$	$=$	$\displaystyle 4x-8$	$\displaystyle -2x-4$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x-12$	$\displaystyle +12$
$\displaystyle 12$	$=$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6$

$x=6$ liegt im Definitionsbereich $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\}$ der Wurzelgleichung.

3. Probe für die erhaltene Lösung durchführen

Probe für $x=6$ :

Setze $x=6$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2x+4}=\sqrt{4x-8}$ ein:

$\displaystyle \sqrt{2\cdot 6+4}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{4\cdot 6-8}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{16}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{16}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 4\;\checkmark$

Mit der Probe für $x=6$ hast du gleichzeitig den $y$ -Wert des Schnittpunkts berechnet:

$f(6)=g(6)=4$

Die beiden Graphen schneiden sich im Punkt $S(6|4)$ .

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Zeichne die beiden Graphen mithilfe einer Wertetabelle.

Berechne einige Funktionswerte der beiden Graphen:

$f(x)=\sqrt{2x+4}$ mit $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq-2\}$

Beispielsweise ist $f(-2)=\sqrt{2\cdot (-2)+4}=\sqrt{-4+4}=\sqrt{0}=0$

Setzt man hingegen $x=-2$ in $g(x)=\sqrt{4x-8}$ ein, so ergibt sich $g(-2)=\sqrt{4\cdot (-2)-8}=\sqrt{-16}$ . Der Radikand ist negativ und die Wurzel ist nicht definiert. Beachte den Definitionsbereich für g(x): $\mathbb D=\{x \in \mathbb R\vert\; x\geq2\}$

$x$	$f(x)$	$g(x)$
$-2$	$0$	nicht definiert
$-1$	$\sqrt{2}\approx 1{,}4$	nicht definiert
$0$	$2$	nicht definiert
$1$	$\sqrt{6}\approx 2{,}4$	nicht definiert
$2$	$\sqrt{8}\approx 2{,}8$	$0$
$3$	$\sqrt{10} \approx 3{,}2$	$2$
$4$	$\sqrt{12} \approx 3{,}5$	$\sqrt{8}\approx 2{,}8$
$5$	$\sqrt{14} \approx 3{,}7$	$\sqrt{12} \approx 3{,}5$
$6$	4	4
$7$	$\sqrt{18} \approx 4{,}2$	$\sqrt{20} \approx 4{,}5$

Graphische Darstellung

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