geg.: $f_1: y=a\cdot 2^{x-6}−5;\qquad P(5|-1)\in f1\\$ges.: Koeffizient $a$ von $f_1$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung von Koeffizient $a$ der Funktion $f_1$ durch Einsetzen der Koordinaten von Punkt $P(5|-1)$ in $f_1$:

$-1=a\cdot 2^{5-6}-5\qquad$ mit $a\in\mathbb{R}$

$-1=a\cdot 2^{-1}-5\qquad \:\:$| Potenz in Bruch umwandeln

$\Rightarrow -1=a\cdot \frac{1}{2}-5 \qquad$| Äquivalenzumformung

$\Rightarrow 4=a\cdot\frac{1}{2}$

$\Rightarrow a=8\quad \mathbb{L}=\{8\}$

$\textcolor {blue} {\Rightarrow \mathbf {f_1: y=8\cdot 2^{x-6}−5}} \qquad \mathbb{G} =\mathbb{R} x \mathbb{R}$

2. Zeichnung des Graphen zu $f_1$:

Nutzung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de

geg.: Affinitätsmaßstab $\bold {k=−0{,}1}$ und Verschiebungsvektor $\bold {\vec {v}=\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}}$

ges.: Abbildung von $f_1$ auf $f_2$ durch

1. orthogonale Affinität (≙ senkrechte Achsenstreckung) mit der $x$-Achse und dem Affinitätsmaßstab (Achsenstreckungsmaßstab) $k=−0{,}1$ und

2. Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec {v}=\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der gestreckten Funktion durch Multiplikation der Funktion $f_1$ mit $\bold {\textcolor {purple}{k =−1}}$

$\begin{pmatrix} x{'}\\y{'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ \bold {\textcolor {purple} k}\cdot (8\cdot 2^{x-6}-5)\end{pmatrix}$

$y'=\bold {\textcolor {purple}{-0{,}1}}\cdot(8\cdot 2^{x-6}-5)\qquad$| ausmultiplizieren

$\mathbf{\Rightarrow y'=-0{,}8\cdot 2^{x-6}+5}, \quad x'=x\\$

2. Berechnung der parallel verschobenen Funktion $f_2$ durch Addition der gestreckten Funktion mit $\bold {\color {purple}\vec {v}=\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}}$

$\begin{pmatrix} x{''}\\y{''} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x'\\ -0{,}8\cdot 2^{x'-6}+5\end{pmatrix}\oplus \color {purple}\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow x''=x'-3$

$\Rightarrow x'=x''+3 \quad$einsetzen in $y''$:

$y''=-0{,}8\cdot 2^{x''+3-6}+1\qquad$| zusammenfassen

$\bold {y''=-0{,}8\cdot 2^{x''-3}+1}$

$\Rightarrow \textcolor {red} {\bold {f_2: y=-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1}}\qquad$$\mathbb {{G}=RxR}$

Die Gleichung der Asymptote zu $f_2$ ist $y=1$.

3. Zeichnung des Graphen zu $f_2$

Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de

geg.: $A_n(x|8\cdot2^{x-6}-5)$ auf $f_1$ und $C_n(x|-0{,}8\cdot2^{x-3}+1)$ auf $f_2$ haben dieselbe $x-$Abszisse und sind mit $B_n$ und $D_n$ für $x<4{,}74$ die Eckpunkte der Rauten $A_nB_nC_nD_n$; die Strecke $\overline{B_nD_n}= 3\: LE$ ist fest vorgegeben.

ges.: Raute $A_1B_1C_1D_1$ für $x=−2$ und Raute $A_2B_2C_2D_2$ für $x=3$ mit ihren Diagonalen im Koordinatensystem

Ansatz und Rechnung:

1. Ermittlung der Wertepaare für die Punkte $A_1$, $C_1$, und $A_2$, $C_2$.

Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de

2. Zeichnung der Raute $A_1B_1C_1D_1$ für $x=−2$ und Raute $A_2B_2C_2D_2$ für $x=3$ mit ihren Diagonalen ins Koordinatensystem

Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de

geg.: vgl. Angaben in Aufgabe B 1c.

ges.: Koordinaten von $B_2$, Prüfung ob $B_2\in f_1$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Koordinaten des Punktes $B_2$:

$A_2(3|-4)$; $C_2(3|0{,}2)$;

$B_2$ hat die $x-$Koordinate $3+1{,}5 = 4{,}5$ und die y-Koordinate $0{,}5\cdot (−4+0{,}2)=-1{,}9$

$\bold {\Rightarrow B_2(4{,}5|-1{,}9)}$

2. Prüfung, ob $B_2(4{,}5|-1{,}9) \in f_1: y=8\cdot 2^{(x-6)}-5$

$x$-Koordinate in $f_1$ einsetzen und $y-$Werte prüfen:

$-1{,}9=8\cdot 2^{(4{,}5-6)}-5\qquad\:$| zusammenfassen

$-1{,}9=8\cdot 2^{-1{,}5}-5\qquad\quad$| Potenz in Bruch umwandeln

$-1{,}9=8\cdot \frac{1}{2{,}83}-5\qquad\quad\:\:$| ausmultiplizieren

$-1{,}9=8\cdot \frac{1}{2{,}83}-5\quad \Rightarrow -1{,}9=8\cdot 0{,}353-5$

$\mathbf{-1{,}9\neq -2{,}176}\qquad \Rightarrow$ $\bold B_2$ liegt nicht auf $\bold f_1$

geg.: $A_n(x|\textcolor {blue}{8\cdot 2^{x-6}-5})\quad$und $\quad C_n(x|\textcolor {purple}{−0{,}8\cdot2^{x-3}+1})$

ges.: Länge von $[A_nC_n]$ und Nachweis $A_{\text{Raute}} <9FE$

Ansatz und Rechnung:

1. Länge der Strecke $[A_nC_n]$:

Länge von $[A_nC_n]$: „Spitze minus Fuß“ der $y-$Komponente :

$\overline {A_n C_n}(x)=[\color {blue}-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1-\color {purple}(8\cdot2^{x-6}-5)]$

Klammern auflösen, Zusammenfassen und Ausmultiplizieren:

$\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1-(8\cdot2^{x-6}+5)]$

$\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}-8\cdot2^{x-6}+6]$

$\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}-2^3\cdot2^{x-6}+6]$

$\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}-1\cdot2^{x+3-6}+6]$

$\bold {\overline {A_n C_n}(x)=[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]}\qquad$ q.e.d.

2. Flächeninhalt $A_{\text{Raute}}$

mit $\overline {B_nD_n}=3 LE$ und $\overline {A_n C_n}(x)=[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]$

$\Rightarrow A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2} \cdot \overline {B_nD_n}\cdot \overline{A_nC_n}$

$A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2} \cdot 3\cdot [\underbrace {-1{,}8\cdot 2^{x-3}}_{<0}+6]$

$\qquad \qquad \qquad \quad \underbrace {\qquad \qquad\qquad\quad }_{\bold {<6}}$

$\Rightarrow A_{\text{Raute}}<\frac{1}{2} \cdot 3\cdot 6$

$\mathbf{\Rightarrow A_{\text{Raute}}<9\: FE}$

geg.:

Gegenkathete: $\frac{1}{2} \cdot \overline {A_n C_n}(x)=\frac{1}{2}\cdot[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]$

Ankathete: $\frac{1}{2} \cdot \overline {B_n D_n}=\frac{1}{2}\cdot3=1{,}5 \: LE$

ges.: Tangens von $\frac{1}{2} \cdot 120^\circ$

Ansatz und Rechnung:

Berechnung $x-$Koordinate von $A_3$ mithilfe Tangens:

$\tan(\frac{1}{2}\cdot120^\circ)=\frac{\frac{1}{2}\cdot[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]}{1{,}5}\qquad$ | ausmultiplizieren

$\tan(60^\circ)=\frac{1}{3}\cdot[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]\quad$| zusammenfassen

$\tan(60^\circ)=2-0{,}6\cdot 2^{x-3}\qquad$| mit $\color {blue}\tan(60^\circ)=1{,}73$

$0{,}6\cdot 2^{x-3}=2-1{,}73\qquad$| zusammenfassen

$0{,}6\cdot 2^{x-3}=0{,}27\qquad$ | $\color {blue}:0{,}6$

$2^{x-3}=\frac{0{,}27}{0{,}6}\qquad$ | zusammenfassen

$2^{x-3}=0{,}45\quad$| Potenz in Logarithmus umwandeln

$\qquad\qquad\qquad\mathbf{\textcolor{red}{x}= \log_{\textcolor{green}{a}}{(\textcolor{blue}{y})} \Leftrightarrow \textcolor{blue}{y}=\textcolor{green}{a}^{\textcolor{red}x}}$

$\Rightarrow x-3=\log_{2}{(0{,}45)}\quad$| $\color {blue}+3$

$\Rightarrow \bold {x}=\log_{2}{(0{,}45)}+3=-1{,}152+3=\bold{1{,}848}$

$\Rightarrow \bold{{\mathbb{L}=}\left\{1{,}85\right\}}$

$A_3$ hat also die $x$-Koordinate $1{,}85$.