Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B1

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit einer Gleichung der Form $y=a\cdot 2^{x-6}-5$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}x\mathbb{R}$ und

$a \in \mathbb{R}$ . Der Graph der Funktion $f_{1}$ verläuft durch den Punkt $P (5 ∣ - 1)$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{1}$ die Gleichung $y=8\cdot 2^{x-6}-5$ besitzt. Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in[-4|6]$ in ein Koordinatensystem. (3 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $-4 \le x \le6$ ; $-6\le y\le 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
geg.: $f_1: y=a\cdot 2^{x-6}−5;\qquad P(5|-1)\in f1\\$ ges.: Koeffizient $a$ von $f_{1}$
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung von Koeffizient $a$ der Funktion $f_{1}$ durch Einsetzen der Koordinaten von Punkt $P (5 ∣ - 1)$ in $f_{1}$ :
$-1=a\cdot 2^{5-6}-5\qquad$ mit $a\in\mathbb{R}$
$-1=a\cdot 2^{-1}-5\qquad \:\:$ | Potenz in Bruch umwandeln
$\Rightarrow -1=a\cdot \frac{1}{2}-5 \qquad$ | Äquivalenzumformung
$\Rightarrow 4=a\cdot\frac{1}{2}$
$\Rightarrow a=8\quad \mathbb{L}=\{8\}$
$\textcolor {blue} {\Rightarrow \mathbf {f_1: y=8\cdot 2^{x-6}−5}} \qquad \mathbb{G} =\mathbb{R} x \mathbb{R}$
2. Zeichnung des Graphen zu $f_{1}$ :
Nutzung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de
Graph zu $f_{1}$
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Berechnung des Koeffizienten $a$ der Funktion $f_{1}$ mithilfe von $P (5 ∣ - 1)$ ;
Zeichnung des Graphen zu $f_{1}$
Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$ –Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = 0, 1$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung
$y=-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}x\mathbb{R}$ besitzt und zeichnen Sie den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [-4;6]$ in das Koordinatensystem zu B 1.a ein. Geben Sie sodann die Gleichung der Asymptote des Graphen zu $f_{2}$ an. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung
geg.: Affinitätsmaßstab $\bold {k=−0{,}1}$ und Verschiebungsvektor $\bold {\vec {v}=\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}}$
ges.: Abbildung von $f_{1}$ auf $f_{2}$ durch
1. orthogonale Affinität (≙ senkrechte Achsenstreckung) mit der $x$ -Achse und dem Affinitätsmaßstab (Achsenstreckungsmaßstab) $k = - 0, 1$ und
2. Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec {v}=\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}$
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der gestreckten Funktion durch Multiplikation der Funktion $f_{1}$ mit $\bold {\textcolor {purple}{k =−1}}$
$\begin{pmatrix} x{'}\\y{'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ \bold {\textcolor {purple} k}\cdot (8\cdot 2^{x-6}-5)\end{pmatrix}$
$y'=\bold {\textcolor {purple}{-0{,}1}}\cdot(8\cdot 2^{x-6}-5)\qquad$ | ausmultiplizieren
$\mathbf{\Rightarrow y'=-0{,}8\cdot 2^{x-6}+5}, \quad x'=x\\$
2. Berechnung der parallel verschobenen Funktion $f_{2}$ durch Addition der gestreckten Funktion mit $\bold {\color {purple}\vec {v}=\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}}$
$\begin{pmatrix} x{''}\\y{''} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x'\\ -0{,}8\cdot 2^{x'-6}+5\end{pmatrix}\oplus \color {purple}\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}$
$\Rightarrow x''=x'-3$
$\Rightarrow x'=x''+3 \quad$ einsetzen in $y^{''}$ :
$y''=-0{,}8\cdot 2^{x''+3-6}+1\qquad$ | zusammenfassen
$\bold {y''=-0{,}8\cdot 2^{x''-3}+1}$
$\Rightarrow \textcolor {red} {\bold {f_2: y=-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1}}\qquad$ $\mathbb {{G}=RxR}$

Die Gleichung der Asymptote zu $f_{2}$ ist $y = 1$ .
3. Zeichnung des Graphen zu $f_{2}$
Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de
Graph zu $f_{2}$
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Berechnung der gestreckten Funktion $f_{1}$ , anschließend Berechnung der parallel verschobenen Funktion $f_{2}$
Punkte $A_n(x|8\cdot2^{x-6}-5)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte
$C_n(x|-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ für $x\lt 4{,}74$ die Eckpunkte von Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ .
Es gilt: $\overline{B_nD_n}=3$ LE.
Zeichnen Sie die Rauten $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ mit ihren Diagonalen in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rauten
geg.: $A_n(x|8\cdot2^{x-6}-5)$ auf $f_{1}$ und $C_n(x|-0{,}8\cdot2^{x-3}+1)$ auf $f_{2}$ haben dieselbe $x -$ Abszisse und sind mit $B_{n}$ und $D_{n}$ für $x < 4, 74$ die Eckpunkte der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ; die Strecke $\overline{B_nD_n}= 3\: LE$ ist fest vorgegeben.
ges.: Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 2$ und Raute $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ mit ihren Diagonalen im Koordinatensystem
Ansatz und Rechnung:
1. Ermittlung der Wertepaare für die Punkte $A_{1}$ , $C_{1}$ , und $A_{2}$ , $C_{2}$ .
Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de
Wertepaare für die Punkte $A_{1}$ , $C_{1}$ und $A_{2}$ , $C_{2}$
2. Zeichnung der Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 2$ und Raute $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ mit ihren Diagonalen ins Koordinatensystem
Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de
Rauten $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ mit Graph zu $f_{1}$ und Graph zu $f_{2}$
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Ermittlung der Eckpunkte der Rauten, Einzeichnen ins Koordinatensystem
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $B_{2}$ .
Überprüfen Sie sodann rechnerisch, ob der Punkt $B_{2}$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ liegt. (3 P)

geg.: vgl. Angaben in Aufgabe B 1c.
ges.: Koordinaten von $B_{2}$ , Prüfung ob $B_2\in f_1$
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der Koordinaten des Punktes $B_{2}$ :
$A_{2} (3 ∣ - 4)$ ; $C_2(3|0{,}2)$ ;
$B_{2}$ hat die $x -$ Koordinate $3 + 1, 5 = 4, 5$ und die y-Koordinate $0{,}5\cdot (−4+0{,}2)=-1{,}9$
$\bold {\Rightarrow B_2(4{,}5|-1{,}9)}$
2. Prüfung, ob $B_2(4{,}5|-1{,}9) \in f_1: y=8\cdot 2^{(x-6)}-5$
$x$ -Koordinate in $f_{1}$ einsetzen und $y -$ Werte prüfen:
$-1{,}9=8\cdot 2^{(4{,}5-6)}-5\qquad\:$ | zusammenfassen
$-1{,}9=8\cdot 2^{-1{,}5}-5\qquad\quad$ | Potenz in Bruch umwandeln
$-1{,}9=8\cdot \frac{1}{2{,}83}-5\qquad\quad\:\:$ | ausmultiplizieren
$-1{,}9=8\cdot \frac{1}{2{,}83}-5\quad \Rightarrow -1{,}9=8\cdot 0{,}353-5$
$\mathbf{-1{,}9\neq -2{,}176}\qquad \Rightarrow$ $\bold B_2$ liegt nicht auf $\bold f_1$
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Berechnung der Koordinaten des Punktes $B_{2}$ und Überprüfung ob Punkt $A\in f_1$
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\overline{A_NC_n}(x)=(-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6)$ LE.
Begründen Sie sodann, dass für den Flächeninhalt $A$ der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gilt:
$A\lt 9$ FE. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
geg.: $A_n(x|\textcolor {blue}{8\cdot 2^{x-6}-5})\quad$ und $\quad C_n(x|\textcolor {purple}{−0{,}8\cdot2^{x-3}+1})$
ges.: Länge von $[A_{n} C_{n}]$ und Nachweis $A_{\text{Raute}} <9FE$
Ansatz und Rechnung:
1. Länge der Strecke $[A_{n} C_{n}]$ :
Länge von $[A_{n} C_{n}]$ : „Spitze minus Fuß“ der $y -$ Komponente :
$\overline {A_n C_n}(x)=[\color {blue}-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1-\color {purple}(8\cdot2^{x-6}-5)]$
Klammern auflösen, Zusammenfassen und Ausmultiplizieren:
$\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1-(8\cdot2^{x-6}+5)]$
$\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}-8\cdot2^{x-6}+6]$
$\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}-2^3\cdot2^{x-6}+6]$
$\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}-1\cdot2^{x+3-6}+6]$
$\bold {\overline {A_n C_n}(x)=[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]}\qquad$ q.e.d.
2. Flächeninhalt $A_{\text{Raute}}$
mit $\overline {B_nD_n}=3 LE$ und $\overline {A_n C_n}(x)=[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]$
$\Rightarrow A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2} \cdot \overline {B_nD_n}\cdot \overline{A_nC_n}$
$A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2} \cdot 3\cdot [\underbrace {-1{,}8\cdot 2^{x-3}}_{<0}+6]$
$\qquad \qquad \qquad \quad \underbrace {\qquad \qquad\qquad\quad }_{\bold {<6}}$
$\Rightarrow A_{\text{Raute}}<\frac{1}{2} \cdot 3\cdot 6$
$\mathbf{\Rightarrow A_{\text{Raute}}<9\: FE}$

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Berechnung Länge von $[A_{n} C_{n}]$ ; Nachweis Flächeninhalt der Raute
Für die Raute $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ gilt: $\sphericalangle C_3B_3A_3=120°$ .
Bestimmen Sie durch Rechnung die zugehörige x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ . (3 P)

geg.:
Gegenkathete: $\frac{1}{2} \cdot \overline {A_n C_n}(x)=\frac{1}{2}\cdot[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]$
Ankathete: $\frac{1}{2} \cdot \overline {B_n D_n}=\frac{1}{2}\cdot3=1{,}5 \: LE$
ges.: Tangens von $\frac{1}{2} \cdot 120^\circ$
Ansatz und Rechnung:
Berechnung $x -$ Koordinate von $A_{3}$ mithilfe Tangens:
$\tan(\frac{1}{2}\cdot120^\circ)=\frac{\frac{1}{2}\cdot[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]}{1{,}5}\qquad$ | ausmultiplizieren
$\tan(60^\circ)=\frac{1}{3}\cdot[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]\quad$ | zusammenfassen
$\tan(60^\circ)=2-0{,}6\cdot 2^{x-3}\qquad$ | mit $\color {blue}\tan(60^\circ)=1{,}73$
$0{,}6\cdot 2^{x-3}=2-1{,}73\qquad$ | zusammenfassen
$0{,}6\cdot 2^{x-3}=0{,}27\qquad$ | $\color {blue}:0{,}6$
$2^{x-3}=\frac{0{,}27}{0{,}6}\qquad$ | zusammenfassen
$2^{x-3}=0{,}45\quad$ | Potenz in Logarithmus umwandeln
$\qquad\qquad\qquad\mathbf{\textcolor{red}{x}= \log_{\textcolor{green}{a}}{(\textcolor{blue}{y})} \Leftrightarrow \textcolor{blue}{y}=\textcolor{green}{a}^{\textcolor{red}x}}$
$\Rightarrow x-3=\log_{2}{(0{,}45)}\quad$ | $\color {blue}+3$
$\Rightarrow \bold {x}=\log_{2}{(0{,}45)}+3=-1{,}152+3=\bold{1{,}848}$
$\Rightarrow \bold{{\mathbb{L}=}\left\{1{,}85\right\}}$
$A_{3}$ hat also die $x$ -Koordinate $1, 85$ .
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Koordinatenberechnung mithilfe Tangens, Bild bei c)

Aufgabe B1

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