geg.: $\begin{array}{l}{f}_1:y=a\cdot 2^{x-6}-5;P(5|-1)\in f1\\ \end{array}$ges.: Koeffizient $a$ von $f_1$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung von Koeffizient $a$ der Funktion $f_1$ durch Einsetzen der Koordinaten von Punkt $P(5|-1)$ in $f_1$:

$-1=a\cdot 2^{5-6}-5$ mit $a\in ℝ$

$-1=a\cdot 2^{-1}-5$| Potenz in Bruch umwandeln

$\Rightarrow -1=a\cdot \frac{1}{2}-5$| Äquivalenzumformung

$\Rightarrow 4=a\cdot \frac{1}{2}$

$\Rightarrow a=8𝕃=\{8\}$

$\Rightarrow {𝐟}_{\mathrm{𝟏}}:𝐲=\mathrm{𝟖}\cdot {\mathrm{𝟐}}^{𝐱-\mathrm{𝟔}}-\mathrm{𝟓}𝔾=ℝxℝ$

2. Zeichnung des Graphen zu $f_1$:

Nutzung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de

geg.: Affinitätsmaßstab $𝐤=-\mathrm{𝟎,𝟏}$ und Verschiebungsvektor $\overrightarrow{𝐯}=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{𝟑}\\ \mathrm{𝟎,𝟓}\end{array}\right)$

ges.: Abbildung von $f_1$ auf $f_2$ durch

1. orthogonale Affinität (≙ senkrechte Achsenstreckung) mit der $x$-Achse und dem Affinitätsmaßstab (Achsenstreckungsmaßstab) $k=-\mathrm{0,1}$ und

2. Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{0,5}\end{array}\right)$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der gestreckten Funktion durch Multiplikation der Funktion $f_1$ mit $𝐤=-\mathrm{𝟏}$

$\left(\begin{array}{c}x{}^{\prime }\\ y{}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ 𝐤\cdot (8\cdot 2^{x-6}-5)\end{array}\right)$

$y^{\prime }=-\mathrm{𝟎,𝟏}\cdot (8\cdot 2^{x-6}-5)$| ausmultiplizieren

$\begin{array}{l}\Rightarrow {𝐲}^{\prime }=-\mathrm{𝟎,𝟖}\cdot {\mathrm{𝟐}}^{𝐱-\mathrm{𝟔}}+\mathrm{𝟓},x^{\prime }=x\\ \end{array}$

2. Berechnung der parallel verschobenen Funktion $f_2$ durch Addition der gestreckten Funktion mit $\overrightarrow{𝐯}=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{𝟑}\\ \mathrm{𝟎,𝟓}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}x{}^{\prime \prime }\\ y{}^{\prime \prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ -\mathrm{0,8}\cdot 2^{x^{\prime }-6}+5\end{array}\right)\oplus ︎\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{0,5}\end{array}\right)$

$\Rightarrow x^{\prime \prime }=x^{\prime }-3$

$\Rightarrow x^{\prime }=x^{\prime \prime }+3$einsetzen in $y^{\prime \prime }$:

$y^{\prime \prime }=-\mathrm{0,8}\cdot 2^{x^{\prime \prime }+3-6}+1$| zusammenfassen

${𝐲}^{\prime \prime }=-\mathrm{𝟎,𝟖}\cdot {\mathrm{𝟐}}^{{𝐱}^{\prime \prime }-\mathrm{𝟑}}+\mathrm{𝟏}$

$\Rightarrow {𝐟}_{\mathrm{𝟐}}:𝐲=-\mathrm{𝟎,𝟖}\cdot {\mathrm{𝟐}}^{𝐱-\mathrm{𝟑}}+\mathrm{𝟏}$$𝔾=ℝ𝕩ℝ$

Die Gleichung der Asymptote zu $f_2$ ist $y=1$.

3. Zeichnung des Graphen zu $f_2$

Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de

geg.: $A_n(x|8\cdot 2^{x-6}-5)$ auf $f_1$ und $C_n(x|-\mathrm{0,8}\cdot 2^{x-3}+1)$ auf $f_2$ haben dieselbe $x-$Abszisse und sind mit $B_n$ und $D_n$ für $x<\mathrm{4,74}$ die Eckpunkte der Rauten $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$; die Strecke $\overline{B_n{D}_n}=3LE$ ist fest vorgegeben.

ges.: Raute $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ für $x=-2$ und Raute $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ für $x=3$ mit ihren Diagonalen im Koordinatensystem

Ansatz und Rechnung:

1. Ermittlung der Wertepaare für die Punkte $A_1$, $C_1$, und $A_2$, $C_2$.

Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de

2. Zeichnung der Raute $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ für $x=-2$ und Raute $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ für $x=3$ mit ihren Diagonalen ins Koordinatensystem

Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de

geg.: vgl. Angaben in Aufgabe B 1c.

ges.: Koordinaten von $B_2$, Prüfung ob $B_2\in f_1$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Koordinaten des Punktes $B_2$:

$A_2(3|-4)$; $C_2(3|\mathrm{0,2})$;

$B_2$ hat die $x-$Koordinate $3+\mathrm{1,5}=\mathrm{4,5}$ und die y-Koordinate $\mathrm{0,5}\cdot (-4+\mathrm{0,2})=-\mathrm{1,9}$

$\Rightarrow {𝐁}_{\mathrm{𝟐}}(\mathrm{𝟒,𝟓}|-\mathrm{𝟏,𝟗})$

2. Prüfung, ob $B_2(\mathrm{4,5}|-\mathrm{1,9})\in f_1:y=8\cdot 2^{(x-6)}-5$

$x$-Koordinate in $f_1$ einsetzen und $y-$Werte prüfen:

$-\mathrm{1,9}=8\cdot 2^{(\mathrm{4,5}-6)}-5$| zusammenfassen

$-\mathrm{1,9}=8\cdot 2^{-\mathrm{1,5}}-5$| Potenz in Bruch umwandeln

$-\mathrm{1,9}=8\cdot \frac{1}{\mathrm{2,83}}-5$| ausmultiplizieren

$-\mathrm{1,9}=8\cdot \frac{1}{\mathrm{2,83}}-5\Rightarrow -\mathrm{1,9}=8\cdot \mathrm{0,353}-5$

$-\mathrm{𝟏,𝟗}\ne -\mathrm{𝟐,𝟏𝟕𝟔}\Rightarrow$ ${𝐁}_2$ liegt nicht auf ${𝐟}_1$

geg.: $A_n(x|8\cdot 2^{x-6}-5)$und $C_n(x|-\mathrm{0,8}\cdot 2^{x-3}+1)$

ges.: Länge von $[A_n{C}_n]$ und Nachweis $A_{\text{Raute}}<9FE$

Ansatz und Rechnung:

1. Länge der Strecke $[A_n{C}_n]$:

Länge von $[A_n{C}_n]$: „Spitze minus Fuß“ der $y-$Komponente :

$\overline{A_n{C}_n}(x)=[-\mathrm{0,8}\cdot 2^{x-3}+1-(8\cdot 2^{x-6}-5)]$

Klammern auflösen, Zusammenfassen und Ausmultiplizieren:

$\overline{A_n{C}_n}(x)=[-\mathrm{0,8}\cdot 2^{x-3}+1-(8\cdot 2^{x-6}+5)]$

$\overline{A_n{C}_n}(x)=[-\mathrm{0,8}\cdot 2^{x-3}-8\cdot 2^{x-6}+6]$

$\overline{A_n{C}_n}(x)=[-\mathrm{0,8}\cdot 2^{x-3}-2^3\cdot 2^{x-6}+6]$

$\overline{A_n{C}_n}(x)=[-\mathrm{0,8}\cdot 2^{x-3}-1\cdot 2^{x+3-6}+6]$

$\overline{{𝐀}_{𝐧}{𝐂}_{𝐧}}(𝐱)=[-\mathrm{𝟏,𝟖}\cdot {\mathrm{𝟐}}^{𝐱-\mathrm{𝟑}}+\mathrm{𝟔}]$ q.e.d.

2. Flächeninhalt $A_{\text{Raute}}$

mit $\overline{B_n{D}_n}=3LE$ und $\overline{A_n{C}_n}(x)=[-\mathrm{1,8}\cdot 2^{x-3}+6]$

$\Rightarrow A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2}\cdot \overline{B_n{D}_n}\cdot \overline{A_n{C}_n}$

$A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot [\underset{<0}{\underbrace{-\mathrm{1,8}\cdot 2^{x-3}}}+6]$

$\underset{<\mathrm{𝟔}}{\underbrace{}}$

$\Rightarrow A_{\text{Raute}}<\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6$

$\Rightarrow {𝐀}_{\text{Raute}}<\mathrm{𝟗}𝐅𝐄$

geg.:

Gegenkathete: $\frac{1}{2}\cdot \overline{A_n{C}_n}(x)=\frac{1}{2}\cdot [-\mathrm{1,8}\cdot 2^{x-3}+6]$

Ankathete: $\frac{1}{2}\cdot \overline{B_n{D}_n}=\frac{1}{2}\cdot 3=\mathrm{1,5}LE$

ges.: Tangens von $\frac{1}{2}\cdot {120}^{\circ }$

Ansatz und Rechnung:

Berechnung $x-$Koordinate von $A_3$ mithilfe Tangens:

$\tan (\frac{1}{2}\cdot {120}^{\circ })=\frac{\frac{1}{2}\cdot [-\mathrm{1,8}\cdot 2^{x-3}+6]}{\mathrm{1,5}}$ | ausmultiplizieren

$\tan ({60}^{\circ })=\frac{1}{3}\cdot [-\mathrm{1,8}\cdot 2^{x-3}+6]$| zusammenfassen

$\tan ({60}^{\circ })=2-\mathrm{0,6}\cdot 2^{x-3}$| mit $\tan ({60}^{\circ })=\mathrm{1,73}$

$\mathrm{0,6}\cdot 2^{x-3}=2-\mathrm{1,73}$| zusammenfassen

$\mathrm{0,6}\cdot 2^{x-3}=\mathrm{0,27}$ | $:\mathrm{0,6}$

$2^{x-3}=\frac{\mathrm{0,27}}{\mathrm{0,6}}$ | zusammenfassen

$2^{x-3}=\mathrm{0,45}$| Potenz in Logarithmus umwandeln

$𝐱={\log }_{𝐚}(𝐲)\iff 𝐲={𝐚}^{𝐱}$

$\Rightarrow x-3={\log }_2(\mathrm{0,45})$| $+3$

$\Rightarrow 𝐱={\log }_2(\mathrm{0,45})+3=-\mathrm{1,152}+3=\mathrm{𝟏,𝟖𝟒𝟖}$

$\Rightarrow 𝕃=\left\{\mathrm{𝟏,𝟖𝟓}\right\}$

$A_3$ hat also die $x$-Koordinate $\mathrm{1,85}$.