Nachtermin Teil B

geg.: $f_1: y=a\cdot 2^{x-6}−5;\qquad P(5|-1)\in f1\\$ges.: Koeffizient $a$ von $f_1$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung von Koeffizient $a$ der Funktion $f_1$ durch Einsetzen der Koordinaten von Punkt $P(5|-1)$ in $f_1$:

$-1=a\cdot 2^{5-6}-5\qquad$ mit $a\in\mathbb{R}$

$-1=a\cdot 2^{-1}-5\qquad \:\:$| Potenz in Bruch umwandeln

$\Rightarrow -1=a\cdot \frac{1}{2}-5 \qquad$| Äquivalenzumformung

$\Rightarrow 4=a\cdot\frac{1}{2}$

$\Rightarrow a=8\quad \mathbb{L}=\{8\}$

$\textcolor {blue} {\Rightarrow \mathbf {f_1: y=8\cdot 2^{x-6}−5}} \qquad \mathbb{G} =\mathbb{R} x \mathbb{R}$

2. Zeichnung des Graphen zu $f_1$:

Nutzung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de

geg.: Affinitätsmaßstab $\bold {k=−0{,}1}$ und Verschiebungsvektor $\bold {\vec {v}=\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}}$

ges.: Abbildung von $f_1$ auf $f_2$ durch

1. orthogonale Affinität (≙ senkrechte Achsenstreckung) mit der $x$-Achse und dem Affinitätsmaßstab (Achsenstreckungsmaßstab) $k=−0{,}1$ und

2. Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec {v}=\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der gestreckten Funktion durch Multiplikation der Funktion $f_1$ mit $\bold {\textcolor {purple}{k =−1}}$

$\begin{pmatrix} x{'}\\y{'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ \bold {\textcolor {purple} k}\cdot (8\cdot 2^{x-6}-5)\end{pmatrix}$

$y'=\bold {\textcolor {purple}{-0{,}1}}\cdot(8\cdot 2^{x-6}-5)\qquad$| ausmultiplizieren

$\mathbf{\Rightarrow y'=-0{,}8\cdot 2^{x-6}+5}, \quad x'=x\\$

2. Berechnung der parallel verschobenen Funktion $f_2$ durch Addition der gestreckten Funktion mit $\bold {\color {purple}\vec {v}=\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}}$

$\begin{pmatrix} x{''}\\y{''} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x'\\ -0{,}8\cdot 2^{x'-6}+5\end{pmatrix}\oplus \color {purple}\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow x''=x'-3$

$\Rightarrow x'=x''+3 \quad$einsetzen in $y''$:

$y''=-0{,}8\cdot 2^{x''+3-6}+1\qquad$| zusammenfassen

$\bold {y''=-0{,}8\cdot 2^{x''-3}+1}$

$\Rightarrow \textcolor {red} {\bold {f_2: y=-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1}}\qquad$$\mathbb {{G}=RxR}$

Die Gleichung der Asymptote zu $f_2$ ist $y=1$.

3. Zeichnung des Graphen zu $f_2$

Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de

geg.: $A_n(x|8\cdot2^{x-6}-5)$ auf $f_1$ und $C_n(x|-0{,}8\cdot2^{x-3}+1)$ auf $f_2$ haben dieselbe $x-$Abszisse und sind mit $B_n$ und $D_n$ für $x<4{,}74$ die Eckpunkte der Rauten $A_nB_nC_nD_n$; die Strecke $\overline{B_nD_n}= 3\: LE$ ist fest vorgegeben.

ges.: Raute $A_1B_1C_1D_1$ für $x=−2$ und Raute $A_2B_2C_2D_2$ für $x=3$ mit ihren Diagonalen im Koordinatensystem

Ansatz und Rechnung:

1. Ermittlung der Wertepaare für die Punkte $A_1$, $C_1$, und $A_2$, $C_2$.

Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de

2. Zeichnung der Raute $A_1B_1C_1D_1$ für $x=−2$ und Raute $A_2B_2C_2D_2$ für $x=3$ mit ihren Diagonalen ins Koordinatensystem

Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de

geg.: vgl. Angaben in Aufgabe B 1c.

ges.: Koordinaten von $B_2$, Prüfung ob $B_2\in f_1$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Koordinaten des Punktes $B_2$:

$A_2(3|-4)$; $C_2(3|0{,}2)$;

$B_2$ hat die $x-$Koordinate $3+1{,}5 = 4{,}5$ und die y-Koordinate $0{,}5\cdot (−4+0{,}2)=-1{,}9$

$\bold {\Rightarrow B_2(4{,}5|-1{,}9)}$

2. Prüfung, ob $B_2(4{,}5|-1{,}9) \in f_1: y=8\cdot 2^{(x-6)}-5$

$x$-Koordinate in $f_1$ einsetzen und $y-$Werte prüfen:

$-1{,}9=8\cdot 2^{(4{,}5-6)}-5\qquad\:$| zusammenfassen

$-1{,}9=8\cdot 2^{-1{,}5}-5\qquad\quad$| Potenz in Bruch umwandeln

$-1{,}9=8\cdot \frac{1}{2{,}83}-5\qquad\quad\:\:$| ausmultiplizieren

$-1{,}9=8\cdot \frac{1}{2{,}83}-5\quad \Rightarrow -1{,}9=8\cdot 0{,}353-5$

$\mathbf{-1{,}9\neq -2{,}176}\qquad \Rightarrow$ $\bold B_2$ liegt nicht auf $\bold f_1$

geg.: $A_n(x|\textcolor {blue}{8\cdot 2^{x-6}-5})\quad$und $\quad C_n(x|\textcolor {purple}{−0{,}8\cdot2^{x-3}+1})$

ges.: Länge von $[A_nC_n]$ und Nachweis $A_{\text{Raute}} <9FE$

Ansatz und Rechnung:

1. Länge der Strecke $[A_nC_n]$:

Länge von $[A_nC_n]$: „Spitze minus Fuß“ der $y-$Komponente :

$\overline {A_n C_n}(x)=[\color {blue}-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1-\color {purple}(8\cdot2^{x-6}-5)]$

Klammern auflösen, Zusammenfassen und Ausmultiplizieren:

$\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1-(8\cdot2^{x-6}+5)]$

$\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}-8\cdot2^{x-6}+6]$

$\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}-2^3\cdot2^{x-6}+6]$

$\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}-1\cdot2^{x+3-6}+6]$

$\bold {\overline {A_n C_n}(x)=[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]}\qquad$ q.e.d.

2. Flächeninhalt $A_{\text{Raute}}$

mit $\overline {B_nD_n}=3 LE$ und $\overline {A_n C_n}(x)=[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]$

$\Rightarrow A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2} \cdot \overline {B_nD_n}\cdot \overline{A_nC_n}$

$A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2} \cdot 3\cdot [\underbrace {-1{,}8\cdot 2^{x-3}}_{<0}+6]$

$\qquad \qquad \qquad \quad \underbrace {\qquad \qquad\qquad\quad }_{\bold {<6}}$

$\Rightarrow A_{\text{Raute}}<\frac{1}{2} \cdot 3\cdot 6$

$\mathbf{\Rightarrow A_{\text{Raute}}<9\: FE}$

geg.:

Gegenkathete: $\frac{1}{2} \cdot \overline {A_n C_n}(x)=\frac{1}{2}\cdot[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]$

Ankathete: $\frac{1}{2} \cdot \overline {B_n D_n}=\frac{1}{2}\cdot3=1{,}5 \: LE$

ges.: Tangens von $\frac{1}{2} \cdot 120^\circ$

Ansatz und Rechnung:

Berechnung $x-$Koordinate von $A_3$ mithilfe Tangens:

$\tan(\frac{1}{2}\cdot120^\circ)=\frac{\frac{1}{2}\cdot[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]}{1{,}5}\qquad$ | ausmultiplizieren

$\tan(60^\circ)=\frac{1}{3}\cdot[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]\quad$| zusammenfassen

$\tan(60^\circ)=2-0{,}6\cdot 2^{x-3}\qquad$| mit $\color {blue}\tan(60^\circ)=1{,}73$

$0{,}6\cdot 2^{x-3}=2-1{,}73\qquad$| zusammenfassen

$0{,}6\cdot 2^{x-3}=0{,}27\qquad$ | $\color {blue}:0{,}6$

$2^{x-3}=\frac{0{,}27}{0{,}6}\qquad$ | zusammenfassen

$2^{x-3}=0{,}45\quad$| Potenz in Logarithmus umwandeln

$\qquad\qquad\qquad\mathbf{\textcolor{red}{x}= \log_{\textcolor{green}{a}}{(\textcolor{blue}{y})} \Leftrightarrow \textcolor{blue}{y}=\textcolor{green}{a}^{\textcolor{red}x}}$

$\Rightarrow x-3=\log_{2}{(0{,}45)}\quad$| $\color {blue}+3$

$\Rightarrow \bold {x}=\log_{2}{(0{,}45)}+3=-1{,}152+3=\bold{1{,}848}$

$\Rightarrow \bold{{\mathbb{L}=}\left\{1{,}85\right\}}$

$A_3$ hat also die $x$-Koordinate $1{,}85$.

geg.: $B_n(x |−x+2)$ auf $g: \: y=−x+2$ und $C_n$ auf $h:\: y=−0{,}75\cdot x+5{,}5$ haben dieselbe Abszisse x

Mit $A(-1|-4)$ und $D_n$ bilden sie die Vierecke $AB_nC_nD_n$

Es gilt für $D_n: ∢B_nAD_n=40°$ und $\overline {AB_n}=\overline {AD_n}$

ges.: Geraden $\color {blue}g$ und $\color {red}h$, sowie Vierecke $AB_1C_1D_1$ für $x=0$ und $AB_2C_2D_2$ für $x=5$

Für die Zeichung gilt: $1 LE =1 cm$; x-Achse : $-5\leq x \leq 6$; y-Achse: $−4\leq y\leq 6$

Ansatz und Rechnung:

1. Zeichnen der Geraden $\color {blue}g$ und $\color {red}h$ mithilfe Funktionszeichner von https://www.mathe-fa.de/de

2. Zeichnen der Vierecke:

$AB_1C_1D_1$ für $x=0$: $A(-1|-4), B_1(0|2), C_1(0|5{,}5), ∢B_1AD_1=40°$ und

$AB_2C_2D_2$ für $x=5$: $A(-1|-4), B_2(5|-3), C_2(5|1{,}75), ∢B_2AD_2=40°$

geg.: Punkte $B_n(x|−x+2)$, Drehung von $AB_n$ um $40°$ nach $D_n$;

Punkte $B_n$ liegen auf $g$¸Punkte $D_n$ auf $t$¸ $AB_n |- O;α=40°\rightarrow | D_n$ ;

für $D_n$ gilt: $∢B_nAD_n=40°$ und $\overline {AB_n}=\overline {AD_n}$;

Die Drehmatrix für eine Drehung um $α$ entgegen dem Uhrzeigersinn lautet:

$R_α =\begin{pmatrix} \cos α & -\sin α \\ \sin α & \cos α \end{pmatrix}$

ges.: Punkte $D_n(x)$

Ansatz und Rechnung:

Aus Vektorgleichung $\overrightarrow{OD_n}=\overrightarrow{OA}\oplus\overrightarrow{AD_n}$ erhält man die Punkte $D_n$:

1. Berechnung $\overrightarrow {OA}$ mit $A(-1|-4)\rightarrow \overrightarrow {OA}=\begin{pmatrix} -1\\-4\end{pmatrix}$

2. Berechnung $\overrightarrow{AD_n}$ mit $B_n(x |−x+2)$:

$\Rightarrow \overrightarrow {AB_n}(x)=\begin{pmatrix} x-(-1)\\-x+2-(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix}≙\overline {AD_n}\qquad x\in R;\quad x\in]-1;10[$

Skalarprodukt von Drehmatrix $R_α$ mit Strecke $\overline {AD_n}$ bilden:

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(40°) & -\sin(40°) \\ \sin(40°)& \cos(40°) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix} \qquad \mathbb {{G}=RxR}; x\in \mathbb {R}; \mathbb x\in]-1;10[$

sin/cos-Werte berechnen:

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}766 & -0{,}643 \\ 0{,}643& 0{,}766 \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix}$

Skalarprodukt berechnen, ausmultiplizieren und zusammenfassen:

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}766\cdot (x+1)+(-0{,}643\cdot (-x+6)\\0{,}643\cdot (x+1)+0{,}766\cdot (-x+6) \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}766x+0{,}766+0{,}643x-3{,}858\\0{,}643x+0{,}643-0{,}766x+4{,}596\end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1{,}409x-3{,}092\\-0{,}123x+5{,}239\end{pmatrix}=\overrightarrow {AD_n}$

3. Vektoraddition $\overrightarrow{OD_n}=\overrightarrow{OA}\oplus\overrightarrow{AD_n}$ :

$\overrightarrow{OD_n}(x)=\begin{pmatrix} -1\\-4\end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} 1{,}41x-3{,}09\\-0{,}12x+5{,}24\end{pmatrix} \qquad x\in \mathbb {R}; \mathbb x\in]-1;10[$

$\overrightarrow{OD_n}(x)=\begin{pmatrix} 1{,}41x-4{,}09\\-0{,}12x+1{,}24\end{pmatrix}\qquad \Rightarrow \mathbf{D_n(1{,}41x-4{,}09 |−0{,}12x+1{,}24)}$

Hinweis: Aufgrund von Rundungsfehlern oder Zwischenrundungen sind auch Ergebnisse wie $\mathbf{D_n(1{,}41x-4{,}0{\color {red} 7} |−0{,}1 {\color {red}3}x+1{,}2{\color {red}6)}}$ möglich.

geg.: Es gilt: $[AB_3]\perp g$, $\Rightarrow$ Skalarprodukt $=0$

ges.: zugehöriger x-Werte für $g$

Ansatz und Rechnung:

gem. Aufgabe B 2.b ist die Strecke ${AB_n}(x)=\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix}$

${AB_n}(x)$ ist senkrecht zu $g$ wenn die Multiplikation mit dem Vektor $\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}$ Null ergibt.

$\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix}\odot \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}= 0\qquad x\in \mathbb{R}; x\in]-1;10[$

$(x+1)\cdot 1+((-x)+6)\cdot (-1)=0$

$x+1+x-6=0$

$2\cdot x=5$

$\bold {x=2{,}5}\qquad \Rightarrow \mathbb{L}\left\{2{,}5\right\}\\$

geg.: $\overrightarrow{OD_n}(x)=\begin{pmatrix} 1{,}41x-4{,}07\\-0{,}13x+1{,}26\end{pmatrix}\qquad$Werte berechnet in Aufgabe B 2.b

ges.: Gleichung für Trägergraph $t$

Ansatz und Rechnung:

1. Aus $\overrightarrow{OD_n}(x)$ Gleichungssystem aufstellen:

$\qquad\quad I. \quad x_{D_n}=1{,}41x-4{,}07$

$\wedge\qquad II:\quad y_{D_n}=-0{,}13x+1{,}26 \qquad \mathbb {{G}=RxR}; x\in \mathbb {R}; \mathbb x\in]-1;10[$

2. $x_{D_n}$ nach $x$ auflösen

$x_{D_n}=1{,}41\cdot x-4{,}07\qquad$| $+4{,}07$

$x_{D_n}+4{,}07=1{,}41\cdot x\qquad$| $:1{,}41$

$\Rightarrow \frac{x_{D_n}+4{,}07}{1{,}41}=x$

$\Rightarrow \frac{x_{D_n}}{1{,}41}+\frac{4{,}07}{1{,}41}=x$

$\bold {x= 0{,}71\cdot x_{D_n}+2{,}89}$

3. $x$ in $y_{D_n}$ einsetzen, ausmultiplizieren und zusammenfassen

$y_{D_n}=-0{,}13\cdot (0{,}71\cdot x_{D_n}+2{,}89)+1{,}26$

$y_{D_n}=-0{,}09\cdot x_{D_n}-0{,}3757+1{,}26$

$y_{D_n}=-0{,}09\cdot x_{D_n}+0{,}88 \qquad \mathbb {{G}=RxR}$

$\Rightarrow$ Trägergraph $\bold {t: y=-0{,}09\cdot x+0{,}88}\qquad$q.e.d.

4. Einzeichnen des Trägergraphen $\color {red}t$ der Punkte $D_n$ siehe Zeichnung Aufgabe B 2.a

Ermittlung der $x-$ und $y-$Komponenten der Punkte $D_1$ und $D_2$:

$x-$Werte aus Zeichnung, $y-$Werte mit $\mathbf{D_n(1{,}41x-4{,}07 |−0{,}13x+1{,}26)}$

gem. Aufgabe B 2.b berechnen: $\Rightarrow \bold {D_1(−4|1{,}24) ; D_2(3|0{,}61)}$

geg.: $B_4 \in g$ mit $g=-x+2$

$\qquad\:$$D_4 \in h$ mit $h=-0{,}75\cdot x+5{,}5$

ges.: $x-$Koordinate von $B_4$; $x-$Koordinate von $D_4$; Parallelität $AB_4 || t$ prüfen

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung $x-$Koordinaten von $B_4$:

Bedingung für $y_{D_n}=-0{,}13\cdot x+1{,}26$ muss gleich sein mit $h=-0{,}75\cdot {\color {purple}{x}} +5{,}5$ ,

wobei $\color {purple}{x=x_{D_n}=1{,}41\cdot x-4{,}07}$ ist.

$\Rightarrow -0{,}13\cdot x+1{,}26=-0{,}75\cdot {\color {purple}(1{,}41\cdot x-4{,}07)}+5{,}5\qquad x\in R; x\in ]−1;10]$

$\Rightarrow -0{,}13\cdot x+1{,}26=-1{,}0575\cdot x+3{,}0525+5{,}5$

$\Rightarrow 0{,}9275⋅ x=7{,}2925$

$\Rightarrow x=\frac{0{,}9275}{7{,}2925}=7{,}86\qquad \Rightarrow \bold {x_{B_4}=7{,}86}$

2. Berechnung $x-$Koordinate von $D_4$:

Bedingung für $y_{D_n}=-0{,}13\cdot x+1{,}26$ muss gleich sein mit $g={\color {purple}-x}+2$,

wobei $\color {purple} x=x_{D_n}= 1{,}41\cdot x-4{,}07$ ist.

$\Rightarrow \bold {x_{D_4}= 1{,}41\cdot {x_{B_4}-4{,}07}}$

$x_{D_4}= 1{,}41\cdot 7{,}86−4{,}07\qquad$ $\Rightarrow \bold {x_{D_4}=7{,}01}$

3. Prüfung Parallelität $AB_4 || t$:

Parallelität ist gegeben, wenn Steigungen von $AB_4$ und $t$ identisch sind.

$\overrightarrow{AB_4}=\begin{pmatrix} 7{,}86\color {red}+1\\-7{,}86\color {red}+6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8{,}86\\-1{,}86 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \bold {m_{AB_4}}=\frac{y}{x}=\frac{1{,}86}{8{,}86}=-0{,}2099 \approx \bold{-0{,}21}$

Trägergraph berechnet in Aufgabe B 2.d:

$\bold {y=-0{,}09\cdot x+0{,}88}$

$\Rightarrow \bold {m=−0{,}09}$

Infolge unterschiedlicher Steigungen $\bold {(m_{AB_4} =−0{,}21 \neq m=−0{,}09)}$ sind die Geraden $AB_4$ und $t$ nicht parallel.