Nachtermin Teil B

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B1
Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit einer Gleichung der Form $y=a\cdot 2^{x-6}-5$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}x\mathbb{R}$ und
$a \in \mathbb{R}$ . Der Graph der Funktion $f_{1}$ verläuft durch den Punkt $P (5 ∣ - 1)$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{1}$ die Gleichung $y=8\cdot 2^{x-6}-5$ besitzt. Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in[-4|6]$ in ein Koordinatensystem. (3 P)
  Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $-4 \le x \le6$ ; $-6\le y\le 3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  geg.: $f_1: y=a\cdot 2^{x-6}−5;\qquad P(5|-1)\in f1\\$ ges.: Koeffizient $a$ von $f_{1}$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung von Koeffizient $a$ der Funktion $f_{1}$ durch Einsetzen der Koordinaten von Punkt $P (5 ∣ - 1)$ in $f_{1}$ :
  $-1=a\cdot 2^{5-6}-5\qquad$ mit $a\in\mathbb{R}$
  $-1=a\cdot 2^{-1}-5\qquad \:\:$ | Potenz in Bruch umwandeln
  $\Rightarrow -1=a\cdot \frac{1}{2}-5 \qquad$ | Äquivalenzumformung
  $\Rightarrow 4=a\cdot\frac{1}{2}$
  $\Rightarrow a=8\quad \mathbb{L}=\{8\}$
  $\textcolor {blue} {\Rightarrow \mathbf {f_1: y=8\cdot 2^{x-6}−5}} \qquad \mathbb{G} =\mathbb{R} x \mathbb{R}$
  2. Zeichnung des Graphen zu $f_{1}$ :
  Nutzung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de
  Graph zu $f_{1}$
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  Berechnung des Koeffizienten $a$ der Funktion $f_{1}$ mithilfe von $P (5 ∣ - 1)$ ;
  Zeichnung des Graphen zu $f_{1}$
2. Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$ –Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = 0,1$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
  Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung
  $y=-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}x\mathbb{R}$ besitzt und zeichnen Sie den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [-4;6]$ in das Koordinatensystem zu B 1.a ein. Geben Sie sodann die Gleichung der Asymptote des Graphen zu $f_{2}$ an. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung
  geg.: Affinitätsmaßstab $\bold {k=−0{,}1}$ und Verschiebungsvektor $\bold {\vec {v}=\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}}$
  ges.: Abbildung von $f_{1}$ auf $f_{2}$ durch
  1. orthogonale Affinität (≙ senkrechte Achsenstreckung) mit der $x$ -Achse und dem Affinitätsmaßstab (Achsenstreckungsmaßstab) $k = - 0,1$ und
  2. Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec {v}=\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung der gestreckten Funktion durch Multiplikation der Funktion $f_{1}$ mit $\bold {\textcolor {purple}{k =−1}}$
  $\begin{pmatrix} x{'}\\y{'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ \bold {\textcolor {purple} k}\cdot (8\cdot 2^{x-6}-5)\end{pmatrix}$
  $y'=\bold {\textcolor {purple}{-0{,}1}}\cdot(8\cdot 2^{x-6}-5)\qquad$ | ausmultiplizieren
  $\mathbf{\Rightarrow y'=-0{,}8\cdot 2^{x-6}+5}, \quad x'=x\\$
  2. Berechnung der parallel verschobenen Funktion $f_{2}$ durch Addition der gestreckten Funktion mit $\bold {\color {purple}\vec {v}=\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}}$
  $\begin{pmatrix} x{''}\\y{''} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x'\\ -0{,}8\cdot 2^{x'-6}+5\end{pmatrix}\oplus \color {purple}\begin{pmatrix} -3\\0{,}5 \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow x''=x'-3$
  $\Rightarrow x'=x''+3 \quad$ einsetzen in $y^{''}$ :
  $y''=-0{,}8\cdot 2^{x''+3-6}+1\qquad$ | zusammenfassen
  $\bold {y''=-0{,}8\cdot 2^{x''-3}+1}$
  $\Rightarrow \textcolor {red} {\bold {f_2: y=-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1}}\qquad$ $\mathbb {{G}=RxR}$
  
  Die Gleichung der Asymptote zu $f_{2}$ ist $y = 1$ .
  3. Zeichnung des Graphen zu $f_{2}$
  Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de
  Graph zu $f_{2}$
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  Berechnung der gestreckten Funktion $f_{1}$ , anschließend Berechnung der parallel verschobenen Funktion $f_{2}$
3. Punkte $A_n(x|8\cdot2^{x-6}-5)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte
  $C_n(x|-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ für $x\lt 4{,}74$ die Eckpunkte von Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ .
  Es gilt: $\overline{B_nD_n}=3$ LE.
  Zeichnen Sie die Rauten $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ mit ihren Diagonalen in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rauten
  geg.: $A_n(x|8\cdot2^{x-6}-5)$ auf $f_{1}$ und $C_n(x|-0{,}8\cdot2^{x-3}+1)$ auf $f_{2}$ haben dieselbe $x -$ Abszisse und sind mit $B_{n}$ und $D_{n}$ für $x < 4,74$ die Eckpunkte der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ; die Strecke $\overline{B_nD_n}= 3\: LE$ ist fest vorgegeben.
  ges.: Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 2$ und Raute $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ mit ihren Diagonalen im Koordinatensystem
  Ansatz und Rechnung:
  1. Ermittlung der Wertepaare für die Punkte $A_{1}$ , $C_{1}$ , und $A_{2}$ , $C_{2}$ .
  Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de
  Wertepaare für die Punkte $A_{1}$ , $C_{1}$ und $A_{2}$ , $C_{2}$
  2. Zeichnung der Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 2$ und Raute $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ mit ihren Diagonalen ins Koordinatensystem
  Verwendung Online-Tool: https://www.mathe-fa.de/de
  Rauten $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ mit Graph zu $f_{1}$ und Graph zu $f_{2}$
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  Ermittlung der Eckpunkte der Rauten, Einzeichnen ins Koordinatensystem
4. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $B_{2}$ .
  Überprüfen Sie sodann rechnerisch, ob der Punkt $B_{2}$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ liegt. (3 P)
  
  geg.: vgl. Angaben in Aufgabe B 1c.
  ges.: Koordinaten von $B_{2}$ , Prüfung ob $B_2\in f_1$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung der Koordinaten des Punktes $B_{2}$ :
  $A_{2} (3 ∣ - 4)$ ; $C_2(3|0{,}2)$ ;
  $B_{2}$ hat die $x -$ Koordinate $3 + 1,5 = 4,5$ und die y-Koordinate $0{,}5\cdot (−4+0{,}2)=-1{,}9$
  $\bold {\Rightarrow B_2(4{,}5|-1{,}9)}$
  2. Prüfung, ob $B_2(4{,}5|-1{,}9) \in f_1: y=8\cdot 2^{(x-6)}-5$
  $x$ -Koordinate in $f_{1}$ einsetzen und $y -$ Werte prüfen:
  $-1{,}9=8\cdot 2^{(4{,}5-6)}-5\qquad\:$ | zusammenfassen
  $-1{,}9=8\cdot 2^{-1{,}5}-5\qquad\quad$ | Potenz in Bruch umwandeln
  $-1{,}9=8\cdot \frac{1}{2{,}83}-5\qquad\quad\:\:$ | ausmultiplizieren
  $-1{,}9=8\cdot \frac{1}{2{,}83}-5\quad \Rightarrow -1{,}9=8\cdot 0{,}353-5$
  $\mathbf{-1{,}9\neq -2{,}176}\qquad \Rightarrow$ $\bold B_2$ liegt nicht auf $\bold f_1$
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  Berechnung der Koordinaten des Punktes $B_{2}$ und Überprüfung ob Punkt $A\in f_1$
5. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\overline{A_NC_n}(x)=(-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6)$ LE.
  Begründen Sie sodann, dass für den Flächeninhalt $A$ der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gilt:
  $A\lt 9$ FE. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
  geg.: $A_n(x|\textcolor {blue}{8\cdot 2^{x-6}-5})\quad$ und $\quad C_n(x|\textcolor {purple}{−0{,}8\cdot2^{x-3}+1})$
  ges.: Länge von $[A_{n} C_{n}]$ und Nachweis $A_{\text{Raute}} <9FE$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Länge der Strecke $[A_{n} C_{n}]$ :
  Länge von $[A_{n} C_{n}]$ : „Spitze minus Fuß“ der $y -$ Komponente :
  $\overline {A_n C_n}(x)=[\color {blue}-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1-\color {purple}(8\cdot2^{x-6}-5)]$
  Klammern auflösen, Zusammenfassen und Ausmultiplizieren:
  $\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}+1-(8\cdot2^{x-6}+5)]$
  $\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}-8\cdot2^{x-6}+6]$
  $\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}-2^3\cdot2^{x-6}+6]$
  $\overline {A_n C_n}(x)=[-0{,}8\cdot 2^{x-3}-1\cdot2^{x+3-6}+6]$
  $\bold {\overline {A_n C_n}(x)=[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]}\qquad$ q.e.d.
  2. Flächeninhalt $A_{\text{Raute}}$
  mit $\overline {B_nD_n}=3 LE$ und $\overline {A_n C_n}(x)=[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]$
  $\Rightarrow A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2} \cdot \overline {B_nD_n}\cdot \overline{A_nC_n}$
  $A_{\text{Raute}}=\frac{1}{2} \cdot 3\cdot [\underbrace {-1{,}8\cdot 2^{x-3}}_{<0}+6]$
  $\qquad \qquad \qquad \quad \underbrace {\qquad \qquad\qquad\quad }_{\bold {<6}}$
  $\Rightarrow A_{\text{Raute}}<\frac{1}{2} \cdot 3\cdot 6$
  $\mathbf{\Rightarrow A_{\text{Raute}}<9\: FE}$
  
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  Berechnung Länge von $[A_{n} C_{n}]$ ; Nachweis Flächeninhalt der Raute
6. Für die Raute $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ gilt: $\sphericalangle C_3B_3A_3=120°$ .
  Bestimmen Sie durch Rechnung die zugehörige x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ . (3 P)
  
  geg.:
  Gegenkathete: $\frac{1}{2} \cdot \overline {A_n C_n}(x)=\frac{1}{2}\cdot[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]$
  Ankathete: $\frac{1}{2} \cdot \overline {B_n D_n}=\frac{1}{2}\cdot3=1{,}5 \: LE$
  ges.: Tangens von $\frac{1}{2} \cdot 120^\circ$
  Ansatz und Rechnung:
  Berechnung $x -$ Koordinate von $A_{3}$ mithilfe Tangens:
  $\tan(\frac{1}{2}\cdot120^\circ)=\frac{\frac{1}{2}\cdot[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]}{1{,}5}\qquad$ | ausmultiplizieren
  $\tan(60^\circ)=\frac{1}{3}\cdot[-1{,}8\cdot 2^{x-3}+6]\quad$ | zusammenfassen
  $\tan(60^\circ)=2-0{,}6\cdot 2^{x-3}\qquad$ | mit $\color {blue}\tan(60^\circ)=1{,}73$
  $0{,}6\cdot 2^{x-3}=2-1{,}73\qquad$ | zusammenfassen
  $0{,}6\cdot 2^{x-3}=0{,}27\qquad$ | $\color {blue}:0{,}6$
  $2^{x-3}=\frac{0{,}27}{0{,}6}\qquad$ | zusammenfassen
  $2^{x-3}=0{,}45\quad$ | Potenz in Logarithmus umwandeln
  $\qquad\qquad\qquad\mathbf{\textcolor{red}{x}= \log_{\textcolor{green}{a}}{(\textcolor{blue}{y})} \Leftrightarrow \textcolor{blue}{y}=\textcolor{green}{a}^{\textcolor{red}x}}$
  $\Rightarrow x-3=\log_{2}{(0{,}45)}\quad$ | $\color {blue}+3$
  $\Rightarrow \bold {x}=\log_{2}{(0{,}45)}+3=-1{,}152+3=\bold{1{,}848}$
  $\Rightarrow \bold{{\mathbb{L}=}\left\{1{,}85\right\}}$
  $A_{3}$ hat also die $x$ -Koordinate $1,85$ .
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  Koordinatenberechnung mithilfe Tangens, Bild bei c)
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B2
Punkte $B_{n} (x ∣ - x + 2)$ auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = - x + 2$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ und Punkte $C_{n}$ auf der Geraden $h$ mit der Gleichung $y = - 0,75 x + 5,5$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ haben dieselbe Abszisse $x .$ Sie sind für $x\in ]-1;10]$ zusammen mit dem Punkt $A (- 1 ∣ - 4)$ und Punkten $D_{n}$ die Eckpunkte von Vierecken $A B_{n} C_{n} D_{n}$ .
Für die Punkte $D_{n}$ gilt: $\sphericalangle B_nAD_n=40°$ und $\overline {AB_n}= \overline {AD_n}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $h$ sowie die Vierecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 0$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 5$ in ein Koordinatensystem. (3 P)
  Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $-5 \le x \le 6$ ; $-4 \le y \le 6$
  
  geg.: $B_{n} (x ∣ - x + 2)$ auf $g: \: y=−x+2$ und $C_{n}$ auf $h:\: y=−0{,}75\cdot x+5{,}5$ haben dieselbe Abszisse x
  Mit $A (- 1 ∣ - 4)$ und $D_{n}$ bilden sie die Vierecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$
  Es gilt für $D_{n} : ∢ B_{n} A D_{n} = 40 °$ und $\overline {AB_n}=\overline {AD_n}$
  ges.: Geraden $\color {blue}g$ und $\color {red}h$ , sowie Vierecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 0$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 5$
  Für die Zeichung gilt: $1 L E = 1 c m$ ; x-Achse : $-5\leq x \leq 6$ ; y-Achse: $−4\leq y\leq 6$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Zeichnen der Geraden $\color {blue}g$ und $\color {red}h$ mithilfe Funktionszeichner von https://www.mathe-fa.de/de
  2. Zeichnen der Vierecke:
  $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 0$ : $A(-1|-4), B_1(0|2), C_1(0|5{,}5), ∢B_1AD_1=40°$ und
  $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 5$ : $A(-1|-4), B_2(5|-3), C_2(5|1{,}75), ∢B_2AD_2=40°$
  Geraden $\color {blue}g$ und $\color {red}h$ mit den Vierecken $A B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$
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  Punktkoordinaten, Geraden, Koordinatenberechnung mit Urspungspunkt und Vektoraddition, Senkrechte Strecken/Vektoren (Skalarprodukt), Trägergraphen, Parallelität anhand Steigung prüfen, Lage von Punkten auf Gerade
2. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ . (4 P)
  [Ergebnis: $D_n(1{,}41x-4{,}07|-0{,}13x+1{,}26)]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehmatrizen
  geg.: Punkte $B_{n} (x ∣ - x + 2)$ , Drehung von $A B_{n}$ um $40 °$ nach $D_{n}$ ;
  Punkte $B_{n}$ liegen auf $g$ ¸Punkte $D_{n}$ auf $t$ ¸ $AB_n |- O;α=40°\rightarrow | D_n$ ;
  für $D_{n}$ gilt: $∢ B_{n} A D_{n} = 40 °$ und $\overline {AB_n}=\overline {AD_n}$ ;
  Die Drehmatrix für eine Drehung um $α$ entgegen dem Uhrzeigersinn lautet:
  $R_α =\begin{pmatrix} \cos α & -\sin α \\ \sin α & \cos α \end{pmatrix}$
  ges.: Punkte $D_{n} (x)$
  Ansatz und Rechnung:
  Aus Vektorgleichung $\overrightarrow{OD_n}=\overrightarrow{OA}\oplus\overrightarrow{AD_n}$ erhält man die Punkte $D_{n}$ :
  1. Berechnung $\overrightarrow {OA}$ mit $A(-1|-4)\rightarrow \overrightarrow {OA}=\begin{pmatrix} -1\\-4\end{pmatrix}$
  2. Berechnung $\overrightarrow{AD_n}$ mit $B_{n} (x ∣ - x + 2)$ :
  $\Rightarrow \overrightarrow {AB_n}(x)=\begin{pmatrix} x-(-1)\\-x+2-(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix}≙\overline {AD_n}\qquad x\in R;\quad x\in]-1;10[$
  Skalarprodukt von Drehmatrix $R_{α}$ mit Strecke $\overline {AD_n}$ bilden:
  $\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(40°) & -\sin(40°) \\ \sin(40°)& \cos(40°) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix} \qquad \mathbb {{G}=RxR}; x\in \mathbb {R}; \mathbb x\in]-1;10[$
  sin/cos-Werte berechnen:
  $\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}766 & -0{,}643 \\ 0{,}643& 0{,}766 \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix}$
  Skalarprodukt berechnen, ausmultiplizieren und zusammenfassen:
  $\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}766\cdot (x+1)+(-0{,}643\cdot (-x+6)\\0{,}643\cdot (x+1)+0{,}766\cdot (-x+6) \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}766x+0{,}766+0{,}643x-3{,}858\\0{,}643x+0{,}643-0{,}766x+4{,}596\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1{,}409x-3{,}092\\-0{,}123x+5{,}239\end{pmatrix}=\overrightarrow {AD_n}$
  3. Vektoraddition $\overrightarrow{OD_n}=\overrightarrow{OA}\oplus\overrightarrow{AD_n}$ :
  $\overrightarrow{OD_n}(x)=\begin{pmatrix} -1\\-4\end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} 1{,}41x-3{,}09\\-0{,}12x+5{,}24\end{pmatrix} \qquad x\in \mathbb {R}; \mathbb x\in]-1;10[$
  $\overrightarrow{OD_n}(x)=\begin{pmatrix} 1{,}41x-4{,}09\\-0{,}12x+1{,}24\end{pmatrix}\qquad \Rightarrow \mathbf{D_n(1{,}41x-4{,}09 |−0{,}12x+1{,}24)}$
  Hinweis: Aufgrund von Rundungsfehlern oder Zwischenrundungen sind auch Ergebnisse wie $\mathbf{D_n(1{,}41x-4{,}0{\color {red} 7} |−0{,}1 {\color {red}3}x+1{,}2{\color {red}6)}}$ möglich.
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  Vektorberechnung, Skalarprodukt aus Drehmatrix und Strecke, Vektoraddition
3. Für die Strecke $[A B_{3}]$ gilt: $[AB_3]\perp g$ . Berechnen Sie die zugehörige Belegung für $x .$ (2 P)
  
  geg.: Es gilt: $[AB_3]\perp g$ , $\Rightarrow$ Skalarprodukt $= 0$
  ges.: zugehöriger x-Werte für $g$
  Ansatz und Rechnung:
  gem. Aufgabe B 2.b ist die Strecke ${AB_n}(x)=\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix}$
  ${AB_n}(x)$ ist senkrecht zu $g$ wenn die Multiplikation mit dem Vektor $\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}$ Null ergibt.
  $\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix}\odot \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}= 0\qquad x\in \mathbb{R}; x\in]-1;10[$
  $(x+1)\cdot 1+((-x)+6)\cdot (-1)=0$
  $x + 1 + x - 6 = 0$
  $2\cdot x=5$
  $\bold {x=2{,}5}\qquad \Rightarrow \mathbb{L}\left\{2{,}5\right\}\\$
  
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  Berechnung Skalarprodukt
4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Punkte $D_{n}$ gilt: ⁣ $y = - 0,09 x + 0,88$ , $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .
  Zeichnen Sie sodann den Trägergraphen $t$ in das Koordinatensystem zu a) ein. (3 P)
  
  geg.: $\overrightarrow{OD_n}(x)=\begin{pmatrix} 1{,}41x-4{,}07\\-0{,}13x+1{,}26\end{pmatrix}\qquad$ Werte berechnet in Aufgabe B 2.b
  ges.: Gleichung für Trägergraph $t$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Aus $\overrightarrow{OD_n}(x)$ Gleichungssystem aufstellen:
  $\qquad\quad I. \quad x_{D_n}=1{,}41x-4{,}07$
  $\wedge\qquad II:\quad y_{D_n}=-0{,}13x+1{,}26 \qquad \mathbb {{G}=RxR}; x\in \mathbb {R}; \mathbb x\in]-1;10[$
  2. $x_{D_n}$ nach $x$ auflösen
  $x_{D_n}=1{,}41\cdot x-4{,}07\qquad$ | $+ 4,07$
  $x_{D_n}+4{,}07=1{,}41\cdot x\qquad$ | $: 1,41$
  $\Rightarrow \frac{x_{D_n}+4{,}07}{1{,}41}=x$
  $\Rightarrow \frac{x_{D_n}}{1{,}41}+\frac{4{,}07}{1{,}41}=x$
  $\bold {x= 0{,}71\cdot x_{D_n}+2{,}89}$
  3. $x$ in $y_{D_n}$ einsetzen, ausmultiplizieren und zusammenfassen
  $y_{D_n}=-0{,}13\cdot (0{,}71\cdot x_{D_n}+2{,}89)+1{,}26$
  $y_{D_n}=-0{,}09\cdot x_{D_n}-0{,}3757+1{,}26$
  $y_{D_n}=-0{,}09\cdot x_{D_n}+0{,}88 \qquad \mathbb {{G}=RxR}$
  $\Rightarrow$ Trägergraph $\bold {t: y=-0{,}09\cdot x+0{,}88}\qquad$ q.e.d.
  4. Einzeichnen des Trägergraphen $\color {red}t$ der Punkte $D_{n}$ siehe Zeichnung Aufgabe B 2.a
  Ermittlung der $x -$ und $y -$ Komponenten der Punkte $D_{1}$ und $D_{2}$ :
  $x -$ Werte aus Zeichnung, $y -$ Werte mit $\mathbf{D_n(1{,}41x-4{,}07 |−0{,}13x+1{,}26)}$
  gem. Aufgabe B 2.b berechnen: $\Rightarrow \bold {D_1(−4|1{,}24) ; D_2(3|0{,}61)}$
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  1. Gleichungssystem für $x_{D_n}$ und $y_{D_n}$ aufstellen
  2. $x_{D_n}$ nach $x$ auflösen
  3. $x$ in $y_{D_n}$ einsetzen und Trägergraph $t$ berechnen
  4. Trägergraph $t$ einzeichnen
5. Der Punkt $D_{4}$ liegt auf der Geraden $h .$ Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte $B_{4}$ und $D_{4}$ .
  Überprüfen Sie sodann rechnerisch, ob $AB_4\Vert t$ gilt. (5 P)
  $[$ Teilergebnis: $x_{B_4}=7{,}86]$
  
  geg.: $B_4 \in g$ mit $g = - x + 2$
  $\qquad\:$ $D_4 \in h$ mit $h=-0{,}75\cdot x+5{,}5$
  ges.: $x -$ Koordinate von $B_{4}$ ; $x -$ Koordinate von $D_{4}$ ; Parallelität $A B_{4} ∣ ∣ t$ prüfen
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung $x -$ Koordinaten von $B_{4}$ :
  Bedingung für $y_{D_n}=-0{,}13\cdot x+1{,}26$ muss gleich sein mit $h=-0{,}75\cdot {\color {purple}{x}} +5{,}5$ ,
  wobei $\color {purple}{x=x_{D_n}=1{,}41\cdot x-4{,}07}$ ist.
  $\Rightarrow -0{,}13\cdot x+1{,}26=-0{,}75\cdot {\color {purple}(1{,}41\cdot x-4{,}07)}+5{,}5\qquad x\in R; x\in ]−1;10]$
  $\Rightarrow -0{,}13\cdot x+1{,}26=-1{,}0575\cdot x+3{,}0525+5{,}5$
  $\Rightarrow 0{,}9275⋅ x=7{,}2925$
  $\Rightarrow x=\frac{0{,}9275}{7{,}2925}=7{,}86\qquad \Rightarrow \bold {x_{B_4}=7{,}86}$
  2. Berechnung $x -$ Koordinate von $D_{4}$ :
  Bedingung für $y_{D_n}=-0{,}13\cdot x+1{,}26$ muss gleich sein mit $g={\color {purple}-x}+2$ ,
  wobei $\color {purple} x=x_{D_n}= 1{,}41\cdot x-4{,}07$ ist.
  $\Rightarrow \bold {x_{D_4}= 1{,}41\cdot {x_{B_4}-4{,}07}}$
  $x_{D_4}= 1{,}41\cdot 7{,}86−4{,}07\qquad$ $\Rightarrow \bold {x_{D_4}=7{,}01}$
  3. Prüfung Parallelität $A B_{4} ∣ ∣ t$ :
  Parallelität ist gegeben, wenn Steigungen von $A B_{4}$ und $t$ identisch sind.
  $\overrightarrow{AB_4}=\begin{pmatrix} 7{,}86\color {red}+1\\-7{,}86\color {red}+6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8{,}86\\-1{,}86 \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow \bold {m_{AB_4}}=\frac{y}{x}=\frac{1{,}86}{8{,}86}=-0{,}2099 \approx \bold{-0{,}21}$
  Trägergraph berechnet in Aufgabe B 2.d:
  $\bold {y=-0{,}09\cdot x+0{,}88}$
  $\Rightarrow \bold {m=−0{,}09}$
  Infolge unterschiedlicher Steigungen $\bold {(m_{AB_4} =−0{,}21 \neq m=−0{,}09)}$ sind die Geraden $A B_{4}$ und $t$ nicht parallel.
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  Berechnung der $x -$ Koordinaten von $B_{4}$ und $D_{4}$ ,
  Prüfung der Parallelität mithilfe Steigung von $A B_{4}$ und $t .$