Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B2

Punkte $B_{n} (x | - x + 2)$ auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = - x + 2$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ und Punkte $C_{n}$ auf der Geraden $h$ mit der Gleichung $y = - 0,75 x + 5,5$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ haben dieselbe Abszisse $x .$ Sie sind für $x \in] - 1; 10]$ zusammen mit dem Punkt $A (- 1 | - 4)$ und Punkten $D_{n}$ die Eckpunkte von Vierecken $A B_{n} C_{n} D_{n}$ .

Für die Punkte $D_{n}$ gilt: $∢ B_{n} A D_{n} = 40 °$ und $A B_{n} = A D_{n}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $h$ sowie die Vierecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 0$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 5$ in ein Koordinatensystem. (3 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $- 5 \leq x \leq 6$ ; $- 4 \leq y \leq 6$

geg.: $B_{n} (x | - x + 2)$ auf $g : y = - x + 2$ und $C_{n}$ auf $h : y = - 0,75 \cdot x + 5,5$ haben dieselbe Abszisse x
Mit $A (- 1 | - 4)$ und $D_{n}$ bilden sie die Vierecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$
Es gilt für $D_{n} : ∢ B_{n} A D_{n} = 40 °$ und $A B_{n} = A D_{n}$
ges.: Geraden $g$ und $h$ , sowie Vierecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 0$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 5$
Für die Zeichung gilt: $1 L E = 1 c m$ ; x-Achse : $- 5 \leq x \leq 6$ ; y-Achse: $- 4 \leq y \leq 6$
Ansatz und Rechnung:
1. Zeichnen der Geraden $g$ und $h$ mithilfe Funktionszeichner von https://www.mathe-fa.de/de
2. Zeichnen der Vierecke:
$A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 0$ : $A (- 1 | - 4), B_{1} (0 | 2), C_{1} (0 | 5,5), ∢ B_{1} A D_{1} = 40 °$ und
$A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 5$ : $A (- 1 | - 4), B_{2} (5 | - 3), C_{2} (5 | 1,75), ∢ B_{2} A D_{2} = 40 °$
Geraden $g$ und $h$ mit den Vierecken $A B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Punktkoordinaten, Geraden, Koordinatenberechnung mit Urspungspunkt und Vektoraddition, Senkrechte Strecken/Vektoren (Skalarprodukt), Trägergraphen, Parallelität anhand Steigung prüfen, Lage von Punkten auf Gerade
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ . (4 P)
[Ergebnis: $D_{n} (1,41 x - 4,07 | - 0,13 x + 1,26)]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehmatrizen
geg.: Punkte $B_{n} (x | - x + 2)$ , Drehung von $A B_{n}$ um $40 °$ nach $D_{n}$ ;
Punkte $B_{n}$ liegen auf $g$ ¸Punkte $D_{n}$ auf $t$ ¸ $A B_{n} | - O; α = 40 ° \to | D_{n}$ ;
für $D_{n}$ gilt: $∢ B_{n} A D_{n} = 40 °$ und $A B_{n} = A D_{n}$ ;
Die Drehmatrix für eine Drehung um $α$ entgegen dem Uhrzeigersinn lautet:
$R_{α} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array})$
ges.: Punkte $D_{n} (x)$
Ansatz und Rechnung:
Aus Vektorgleichung $\vec{O D_{n}} = \vec{O A} \oplus︎ \vec{A D_{n}}$ erhält man die Punkte $D_{n}$ :
1. Berechnung $\vec{O A}$ mit $A (- 1 | - 4) \to \vec{O A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \end{array})$
2. Berechnung $\vec{A D_{n}}$ mit $B_{n} (x | - x + 2)$ :
$\Rightarrow \vec{A B_{n}} (x) = (\begin{array}{c} x - (- 1) \\ - x + 2 - (- 4) \end{array}) = (\begin{array}{c} x + 1 \\ - x + 6 \end{array}) ≙ A D_{n} x \in R; x \in] - 1; 10 [$
Skalarprodukt von Drehmatrix $R_{α}$ mit Strecke $A D_{n}$ bilden:
$\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (40 °) & - \sin (40 °) \\ \sin (40 °) & \cos (40 °) \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x + 1 \\ - x + 6 \end{array}) 𝔾 = ℝ 𝕩 ℝ; x \in ℝ; 𝕩 \in] - 1; 10 [$
sin/cos-Werte berechnen:
$\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0,766 & - 0,643 \\ 0,643 & 0,766 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x + 1 \\ - x + 6 \end{array})$
Skalarprodukt berechnen, ausmultiplizieren und zusammenfassen:
$\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,766 \cdot (x + 1) + (- 0,643 \cdot (- x + 6) \\ 0,643 \cdot (x + 1) + 0,766 \cdot (- x + 6) \end{array})$
$\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,766 x + 0,766 + 0,643 x - 3,858 \\ 0,643 x + 0,643 - 0,766 x + 4,596 \end{array})$
$\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 1,409 x - 3,092 \\ - 0,123 x + 5,239 \end{array}) = \vec{A D_{n}}$
3. Vektoraddition $\vec{O D_{n}} = \vec{O A} \oplus︎ \vec{A D_{n}}$ :
$\vec{O D_{n}} (x) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} 1,41 x - 3,09 \\ - 0,12 x + 5,24 \end{array}) x \in ℝ; 𝕩 \in] - 1; 10 [$
$\vec{O D_{n}} (x) = (\begin{array}{c} 1,41 x - 4,09 \\ - 0,12 x + 1,24 \end{array}) \Rightarrow 𝐃_{𝐧} (𝟏,𝟒𝟏 𝐱 - 𝟒,𝟎𝟗 | - 𝟎,𝟏𝟐 𝐱 + 𝟏,𝟐𝟒)$
Hinweis: Aufgrund von Rundungsfehlern oder Zwischenrundungen sind auch Ergebnisse wie $𝐃_{𝐧} (𝟏,𝟒𝟏 𝐱 - 𝟒,𝟎 𝟕 | - 𝟎,𝟏 𝟑 𝐱 + 𝟏,𝟐 𝟔)$ möglich.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Vektorberechnung, Skalarprodukt aus Drehmatrix und Strecke, Vektoraddition
Für die Strecke $[A B_{3}]$ gilt: $[A B_{3}] ⟂ g$ . Berechnen Sie die zugehörige Belegung für $x .$ (2 P)

geg.: Es gilt: $[A B_{3}] ⟂ g$ , $\Rightarrow$ Skalarprodukt $= 0$
ges.: zugehöriger x-Werte für $g$
Ansatz und Rechnung:
gem. Aufgabe B 2.b ist die Strecke $A B_{n} (x) = (\begin{array}{c} x + 1 \\ - x + 6 \end{array})$
$A B_{n} (x)$ ist senkrecht zu $g$ wenn die Multiplikation mit dem Vektor $(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array})$ Null ergibt.
$(\begin{array}{c} x + 1 \\ - x + 6 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}) = 0 x \in ℝ; x \in] - 1; 10 [$
$(x + 1) \cdot 1 + ((- x) + 6) \cdot (- 1) = 0$
$x + 1 + x - 6 = 0$
$2 \cdot x = 5$
$\begin{array}{l} 𝐱 = 𝟐,𝟓 \Rightarrow 𝕃 {2,5} \end{array}$

Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Berechnung Skalarprodukt
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Punkte $D_{n}$ gilt: ⁣ $y = - 0,09 x + 0,88$ , $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .
Zeichnen Sie sodann den Trägergraphen $t$ in das Koordinatensystem zu a) ein. (3 P)

geg.: $\vec{O D_{n}} (x) = (\begin{array}{c} 1,41 x - 4,07 \\ - 0,13 x + 1,26 \end{array})$ Werte berechnet in Aufgabe B 2.b
ges.: Gleichung für Trägergraph $t$
Ansatz und Rechnung:
1. Aus $\vec{O D_{n}} (x)$ Gleichungssystem aufstellen:
$I . x_{D_{n}} = 1,41 x - 4,07$
$\land I I : y_{D_{n}} = - 0,13 x + 1,26 𝔾 = ℝ 𝕩 ℝ; x \in ℝ; 𝕩 \in] - 1; 10 [$
2. $x_{D_{n}}$ nach $x$ auflösen
$x_{D_{n}} = 1,41 \cdot x - 4,07$ | $+ 4,07$
$x_{D_{n}} + 4,07 = 1,41 \cdot x$ | $: 1,41$
$\Rightarrow \frac{x_{D_{n}} + 4,07}{1,41} = x$
$\Rightarrow \frac{x_{D_{n}}}{1,41} + \frac{4,07}{1,41} = x$
$𝐱 = 𝟎,𝟕𝟏 \cdot 𝐱_{𝐃_{𝐧}} + 𝟐,𝟖𝟗$
3. $x$ in $y_{D_{n}}$ einsetzen, ausmultiplizieren und zusammenfassen
$y_{D_{n}} = - 0,13 \cdot (0,71 \cdot x_{D_{n}} + 2,89) + 1,26$
$y_{D_{n}} = - 0,09 \cdot x_{D_{n}} - 0,3757 + 1,26$
$y_{D_{n}} = - 0,09 \cdot x_{D_{n}} + 0,88 𝔾 = ℝ 𝕩 ℝ$
$\Rightarrow$ Trägergraph $𝐭 : 𝐲 = - 𝟎,𝟎𝟗 \cdot 𝐱 + 𝟎,𝟖𝟖$ q.e.d.
4. Einzeichnen des Trägergraphen $t$ der Punkte $D_{n}$ siehe Zeichnung Aufgabe B 2.a
Ermittlung der $x -$ und $y -$ Komponenten der Punkte $D_{1}$ und $D_{2}$ :
$x -$ Werte aus Zeichnung, $y -$ Werte mit $𝐃_{𝐧} (𝟏,𝟒𝟏 𝐱 - 𝟒,𝟎𝟕 | - 𝟎,𝟏𝟑 𝐱 + 𝟏,𝟐𝟔)$
gem. Aufgabe B 2.b berechnen: $\Rightarrow 𝐃_{𝟏} (- 𝟒 | 𝟏,𝟐𝟒); 𝐃_{𝟐} (𝟑 | 𝟎,𝟔𝟏)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
1. Gleichungssystem für $x_{D_{n}}$ und $y_{D_{n}}$ aufstellen
2. $x_{D_{n}}$ nach $x$ auflösen
3. $x$ in $y_{D_{n}}$ einsetzen und Trägergraph $t$ berechnen
4. Trägergraph $t$ einzeichnen
Der Punkt $D_{4}$ liegt auf der Geraden $h .$ Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte $B_{4}$ und $D_{4}$ .
Überprüfen Sie sodann rechnerisch, ob $A B_{4} ‖ t$ gilt. (5 P)
$[$ Teilergebnis: $x_{B_{4}} = 7,86]$

geg.: $B_{4} \in g$ mit $g = - x + 2$
$D_{4} \in h$ mit $h = - 0,75 \cdot x + 5,5$
ges.: $x -$ Koordinate von $B_{4}$ ; $x -$ Koordinate von $D_{4}$ ; Parallelität $A B_{4} | | t$ prüfen
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung $x -$ Koordinaten von $B_{4}$ :
Bedingung für $y_{D_{n}} = - 0,13 \cdot x + 1,26$ muss gleich sein mit $h = - 0,75 \cdot x + 5,5$ ,
wobei $x = x_{D_{n}} = 1,41 \cdot x - 4,07$ ist.
$\Rightarrow - 0,13 \cdot x + 1,26 = - 0,75 \cdot (1,41 \cdot x - 4,07) + 5,5 x \in R; x \in] - 1; 10]$
$\Rightarrow - 0,13 \cdot x + 1,26 = - 1,0575 \cdot x + 3,0525 + 5,5$
$\Rightarrow 0,9275 \cdot x = 7,2925$
$\Rightarrow x = \frac{0,9275}{7,2925} = 7,86 \Rightarrow 𝐱_{𝐁_{𝟒}} = 𝟕,𝟖𝟔$
2. Berechnung $x -$ Koordinate von $D_{4}$ :
Bedingung für $y_{D_{n}} = - 0,13 \cdot x + 1,26$ muss gleich sein mit $g = - x + 2$ ,
wobei $x = x_{D_{n}} = 1,41 \cdot x - 4,07$ ist.
$\Rightarrow 𝐱_{𝐃_{𝟒}} = 𝟏,𝟒𝟏 \cdot 𝐱_{𝐁_{𝟒}} - 𝟒,𝟎𝟕$
$x_{D_{4}} = 1,41 \cdot 7,86 - 4,07$ $\Rightarrow 𝐱_{𝐃_{𝟒}} = 𝟕,𝟎𝟏$
3. Prüfung Parallelität $A B_{4} | | t$ :
Parallelität ist gegeben, wenn Steigungen von $A B_{4}$ und $t$ identisch sind.
$\vec{A B_{4}} = (\begin{array}{c} 7,86 + 1 \\ - 7,86 + 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 8,86 \\ - 1,86 \end{array})$
$\Rightarrow 𝐦_{𝐀 𝐁_{𝟒}} = \frac{y}{x} = \frac{1,86}{8,86} = - 0,2099 \approx - 𝟎,𝟐𝟏$
Trägergraph berechnet in Aufgabe B 2.d:
$𝐲 = - 𝟎,𝟎𝟗 \cdot 𝐱 + 𝟎,𝟖𝟖$
$\Rightarrow 𝐦 = - 𝟎,𝟎𝟗$
Infolge unterschiedlicher Steigungen $(𝐦_{𝐀 𝐁_{𝟒}} = - 𝟎,𝟐𝟏 \neq 𝐦 = - 𝟎,𝟎𝟗)$ sind die Geraden $A B_{4}$ und $t$ nicht parallel.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Berechnung der $x -$ Koordinaten von $B_{4}$ und $D_{4}$ ,
Prüfung der Parallelität mithilfe Steigung von $A B_{4}$ und $t .$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Aufgabe B2

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?