geg.: $B_n(x |−x+2)$ auf $g: \: y=−x+2$ und $C_n$ auf $h:\: y=−0{,}75\cdot x+5{,}5$ haben dieselbe Abszisse x

Mit $A(-1|-4)$ und $D_n$ bilden sie die Vierecke $AB_nC_nD_n$

Es gilt für $D_n: ∢B_nAD_n=40°$ und $\overline {AB_n}=\overline {AD_n}$

ges.: Geraden $\color {blue}g$ und $\color {red}h$, sowie Vierecke $AB_1C_1D_1$ für $x=0$ und $AB_2C_2D_2$ für $x=5$

Für die Zeichung gilt: $1 LE =1 cm$; x-Achse : $-5\leq x \leq 6$; y-Achse: $−4\leq y\leq 6$

Ansatz und Rechnung:

1. Zeichnen der Geraden $\color {blue}g$ und $\color {red}h$ mithilfe Funktionszeichner von https://www.mathe-fa.de/de

2. Zeichnen der Vierecke:

$AB_1C_1D_1$ für $x=0$: $A(-1|-4), B_1(0|2), C_1(0|5{,}5), ∢B_1AD_1=40°$ und

$AB_2C_2D_2$ für $x=5$: $A(-1|-4), B_2(5|-3), C_2(5|1{,}75), ∢B_2AD_2=40°$

geg.: Punkte $B_n(x|−x+2)$, Drehung von $AB_n$ um $40°$ nach $D_n$;

Punkte $B_n$ liegen auf $g$¸Punkte $D_n$ auf $t$¸ $AB_n |- O;α=40°\rightarrow | D_n$ ;

für $D_n$ gilt: $∢B_nAD_n=40°$ und $\overline {AB_n}=\overline {AD_n}$;

Die Drehmatrix für eine Drehung um $α$ entgegen dem Uhrzeigersinn lautet:

$R_α =\begin{pmatrix} \cos α & -\sin α \\ \sin α & \cos α \end{pmatrix}$

ges.: Punkte $D_n(x)$

Ansatz und Rechnung:

Aus Vektorgleichung $\overrightarrow{OD_n}=\overrightarrow{OA}\oplus\overrightarrow{AD_n}$ erhält man die Punkte $D_n$:

1. Berechnung $\overrightarrow {OA}$ mit $A(-1|-4)\rightarrow \overrightarrow {OA}=\begin{pmatrix} -1\\-4\end{pmatrix}$

2. Berechnung $\overrightarrow{AD_n}$ mit $B_n(x |−x+2)$:

$\Rightarrow \overrightarrow {AB_n}(x)=\begin{pmatrix} x-(-1)\\-x+2-(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix}≙\overline {AD_n}\qquad x\in R;\quad x\in]-1;10[$

Skalarprodukt von Drehmatrix $R_α$ mit Strecke $\overline {AD_n}$ bilden:

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(40°) & -\sin(40°) \\ \sin(40°)& \cos(40°) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix} \qquad \mathbb {{G}=RxR}; x\in \mathbb {R}; \mathbb x\in]-1;10[$

sin/cos-Werte berechnen:

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}766 & -0{,}643 \\ 0{,}643& 0{,}766 \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix}$

Skalarprodukt berechnen, ausmultiplizieren und zusammenfassen:

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}766\cdot (x+1)+(-0{,}643\cdot (-x+6)\\0{,}643\cdot (x+1)+0{,}766\cdot (-x+6) \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}766x+0{,}766+0{,}643x-3{,}858\\0{,}643x+0{,}643-0{,}766x+4{,}596\end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1{,}409x-3{,}092\\-0{,}123x+5{,}239\end{pmatrix}=\overrightarrow {AD_n}$

3. Vektoraddition $\overrightarrow{OD_n}=\overrightarrow{OA}\oplus\overrightarrow{AD_n}$ :

$\overrightarrow{OD_n}(x)=\begin{pmatrix} -1\\-4\end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} 1{,}41x-3{,}09\\-0{,}12x+5{,}24\end{pmatrix} \qquad x\in \mathbb {R}; \mathbb x\in]-1;10[$

$\overrightarrow{OD_n}(x)=\begin{pmatrix} 1{,}41x-4{,}09\\-0{,}12x+1{,}24\end{pmatrix}\qquad \Rightarrow \mathbf{D_n(1{,}41x-4{,}09 |−0{,}12x+1{,}24)}$

Hinweis: Aufgrund von Rundungsfehlern oder Zwischenrundungen sind auch Ergebnisse wie $\mathbf{D_n(1{,}41x-4{,}0{\color {red} 7} |−0{,}1 {\color {red}3}x+1{,}2{\color {red}6)}}$ möglich.

geg.: Es gilt: $[AB_3]\perp g$, $\Rightarrow$ Skalarprodukt $=0$

ges.: zugehöriger x-Werte für $g$

Ansatz und Rechnung:

gem. Aufgabe B 2.b ist die Strecke ${AB_n}(x)=\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix}$

${AB_n}(x)$ ist senkrecht zu $g$ wenn die Multiplikation mit dem Vektor $\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}$ Null ergibt.

$\begin{pmatrix} x+1\\-x+6 \end{pmatrix}\odot \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}= 0\qquad x\in \mathbb{R}; x\in]-1;10[$

$(x+1)\cdot 1+((-x)+6)\cdot (-1)=0$

$x+1+x-6=0$

$2\cdot x=5$

$\bold {x=2{,}5}\qquad \Rightarrow \mathbb{L}\left\{2{,}5\right\}\\$

geg.: $\overrightarrow{OD_n}(x)=\begin{pmatrix} 1{,}41x-4{,}07\\-0{,}13x+1{,}26\end{pmatrix}\qquad$Werte berechnet in Aufgabe B 2.b

ges.: Gleichung für Trägergraph $t$

Ansatz und Rechnung:

1. Aus $\overrightarrow{OD_n}(x)$ Gleichungssystem aufstellen:

$\qquad\quad I. \quad x_{D_n}=1{,}41x-4{,}07$

$\wedge\qquad II:\quad y_{D_n}=-0{,}13x+1{,}26 \qquad \mathbb {{G}=RxR}; x\in \mathbb {R}; \mathbb x\in]-1;10[$

2. $x_{D_n}$ nach $x$ auflösen

$x_{D_n}=1{,}41\cdot x-4{,}07\qquad$| $+4{,}07$

$x_{D_n}+4{,}07=1{,}41\cdot x\qquad$| $:1{,}41$

$\Rightarrow \frac{x_{D_n}+4{,}07}{1{,}41}=x$

$\Rightarrow \frac{x_{D_n}}{1{,}41}+\frac{4{,}07}{1{,}41}=x$

$\bold {x= 0{,}71\cdot x_{D_n}+2{,}89}$

3. $x$ in $y_{D_n}$ einsetzen, ausmultiplizieren und zusammenfassen

$y_{D_n}=-0{,}13\cdot (0{,}71\cdot x_{D_n}+2{,}89)+1{,}26$

$y_{D_n}=-0{,}09\cdot x_{D_n}-0{,}3757+1{,}26$

$y_{D_n}=-0{,}09\cdot x_{D_n}+0{,}88 \qquad \mathbb {{G}=RxR}$

$\Rightarrow$ Trägergraph $\bold {t: y=-0{,}09\cdot x+0{,}88}\qquad$q.e.d.

4. Einzeichnen des Trägergraphen $\color {red}t$ der Punkte $D_n$ siehe Zeichnung Aufgabe B 2.a

Ermittlung der $x-$ und $y-$Komponenten der Punkte $D_1$ und $D_2$:

$x-$Werte aus Zeichnung, $y-$Werte mit $\mathbf{D_n(1{,}41x-4{,}07 |−0{,}13x+1{,}26)}$

gem. Aufgabe B 2.b berechnen: $\Rightarrow \bold {D_1(−4|1{,}24) ; D_2(3|0{,}61)}$

geg.: $B_4 \in g$ mit $g=-x+2$

$\qquad\:$$D_4 \in h$ mit $h=-0{,}75\cdot x+5{,}5$

ges.: $x-$Koordinate von $B_4$; $x-$Koordinate von $D_4$; Parallelität $AB_4 || t$ prüfen

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung $x-$Koordinaten von $B_4$:

Bedingung für $y_{D_n}=-0{,}13\cdot x+1{,}26$ muss gleich sein mit $h=-0{,}75\cdot {\color {purple}{x}} +5{,}5$ ,

wobei $\color {purple}{x=x_{D_n}=1{,}41\cdot x-4{,}07}$ ist.

$\Rightarrow -0{,}13\cdot x+1{,}26=-0{,}75\cdot {\color {purple}(1{,}41\cdot x-4{,}07)}+5{,}5\qquad x\in R; x\in ]−1;10]$

$\Rightarrow -0{,}13\cdot x+1{,}26=-1{,}0575\cdot x+3{,}0525+5{,}5$

$\Rightarrow 0{,}9275⋅ x=7{,}2925$

$\Rightarrow x=\frac{0{,}9275}{7{,}2925}=7{,}86\qquad \Rightarrow \bold {x_{B_4}=7{,}86}$

2. Berechnung $x-$Koordinate von $D_4$:

Bedingung für $y_{D_n}=-0{,}13\cdot x+1{,}26$ muss gleich sein mit $g={\color {purple}-x}+2$,

wobei $\color {purple} x=x_{D_n}= 1{,}41\cdot x-4{,}07$ ist.

$\Rightarrow \bold {x_{D_4}= 1{,}41\cdot {x_{B_4}-4{,}07}}$

$x_{D_4}= 1{,}41\cdot 7{,}86−4{,}07\qquad$ $\Rightarrow \bold {x_{D_4}=7{,}01}$

3. Prüfung Parallelität $AB_4 || t$:

Parallelität ist gegeben, wenn Steigungen von $AB_4$ und $t$ identisch sind.

$\overrightarrow{AB_4}=\begin{pmatrix} 7{,}86\color {red}+1\\-7{,}86\color {red}+6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8{,}86\\-1{,}86 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \bold {m_{AB_4}}=\frac{y}{x}=\frac{1{,}86}{8{,}86}=-0{,}2099 \approx \bold{-0{,}21}$

Trägergraph berechnet in Aufgabe B 2.d:

$\bold {y=-0{,}09\cdot x+0{,}88}$

$\Rightarrow \bold {m=−0{,}09}$

Infolge unterschiedlicher Steigungen $\bold {(m_{AB_4} =−0{,}21 \neq m=−0{,}09)}$ sind die Geraden $AB_4$ und $t$ nicht parallel.