Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

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An die Funktion $f (x) = 3 \cdot \ln (x)$ soll vom Punkt $P (0 | 2)$ aus eine Tangente gelegt werden. Bestimme die Gleichung der Tangente und den Berührpunkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Allgemeine Bedingung für einen Berührpunkt

Die Tangente $g_{T}$ und der Graph der Funktion $f$ haben einen gemeinsamen Punkt, den Berührpunkt $B$ .

Für den Berührpunkt $B$ gelten die Bedingungen:

$(I) f (x_{b}) = g_{T} (x_{B})$ und $(I I) f^{'} (x_{B}) = g_{T}^{'} (x_{B})$

Aufgrund des Verlaufs des Graphens von $f$ kann es nur einen Berührpunkt geben.

Dieser Berührpunkt hat die Koordinaten $B (x_{B} | 3 \cdot \ln (x_{B}))$ .

Stelle die Tangentengleichung auf.

Sie hat die allgemeine Form:

$g_{T} : y = m \cdot x + t$

Der Punkt $P (0 | 2)$ liegt auf der Tangente. Setze seine Koordinaten in die Tangentengleichung ein.

$2$	$=$	$m \cdot 0 + t$
$2$	$=$	$t$

Es ist also $g_{T} : y = m \cdot x + 2$ .

Für die Steigung der Tangente gilt: $m = f^{'} (x_{B})$

Damit ist Bedingung $(I I)$ erfüllt.

Die Ableitung der ln-Funktion ist $f^{'} (x) = \frac{3}{x}$ .

Für den Berührpunkt gilt dann: $f^{'} (x_{B}) = \frac{3}{x_{B}}$

Die Tangentengleichung lautet somit: $g_{T} : y = \frac{3}{x_{B}} \cdot x + 2$

Setze die Koordinaten des Berührpunktes $B (x_{B} | 3 \cdot \ln (x_{B}))$ in die Tangentengleichung ein, um $x_{B}$ zu erhalten:

$g_{T} : y$	$=$	$\frac{3}{x_{B}} \cdot x + 2$
	↓	Setze $B (x_{B} \| 3 \cdot \ln (x_{B}))$ ein.
$3 \cdot \ln (x_{B})$	$=$	$\frac{3}{x_{B}} \cdot x_{B} + 2$
	↓	Kürze.
$3 \cdot \ln (x_{B})$	$=$	$3 + 2$
	↓	Vereinfache.
$3 \cdot \ln (x_{B})$	$=$	$5$	$: 3$
	↓	Löse nach $x_{B}$ auf.
$\ln (x_{B})$	$=$	$\frac{5}{3}$	$e^{()}$
$x_{B}$	$=$	$e^{\frac{5}{3}}$

Die Tangentengleichung lautet somit:

g_{T} : y = \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}} \cdot x + 2 \approx 0,57 \cdot x + 2

Berechne die y-Koordinaten des Berührpunktes

Setze $x_{B} = e^{\frac{5}{3}}$ in die Tangentengleichung und in die Funktionsgleichung ein, um den $y$ -Wert des Berührpunktes zu erhalten und um zu sehen, ob Bedingung $(I)$ erfüllt ist.

Tangentengleichung

$y$	$=$	$\frac{3}{e^{\frac{5}{3}}} \cdot x + 2$
	↓	Setze $x_{B} = e^{\frac{5}{3}}$ ein.
	$=$	$\frac{3}{e^{\frac{5}{3}}} \cdot e^{\frac{5}{3}} + 2$
	↓	Kürze.
	$=$	$3 + 2$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$5$

Funktionsgleichung

$y$	$=$	$3 \cdot \ln (x_{B})$
	↓	Setze $x_{B} = e^{\frac{5}{3}}$ ein.
	$=$	$3 \cdot \ln (e^{\frac{5}{3}})$
	↓	Wende ein Logarithmusgesetz an.
	$=$	$3 \cdot \frac{5}{3} \cdot \ln (e)$
	↓	Kürze. $\ln (e) = 1$ .
	$=$	$5$

Sowohl die Tangentengleichung als auch die Funktionsgleichung haben den gleichen $y$ -Wert $y = 5$ . Damit ist Bedingung $(I)$ erfüllt.

Der gesuchte Berührpunkt hat die Koordinaten:

B (e^{\frac{5}{3}} | 5)

Graphische Darstellung

Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

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