Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

An die Funktion $f(x)=3\cdot \ln(x)$ soll vom Punkt $P(0\mid2)$ aus eine Tangente gelegt werden. Bestimme die Gleichung der Tangente und den Berührpunkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Allgemeine Bedingung für einen Berührpunkt

Die Tangente $g_T$ und der Graph der Funktion $f$ haben einen gemeinsamen Punkt, den Berührpunkt $B$ .

Für den Berührpunkt $B$ gelten die Bedingungen:

$\mathrm{(I)}\;f(x_b)=g_T(x_B)$ und $\mathrm{(II)}\;f'(x_B)=g_T{'}(x_B)$

Aufgrund des Verlaufs des Graphens von $f$ kann es nur einen Berührpunkt geben.

Dieser Berührpunkt hat die Koordinaten $B(x_B|3\cdot \ln(x_B))$ .

Stelle die Tangentengleichung auf.

Sie hat die allgemeine Form:

$g_T:\;y=m\cdot x+t$

Der Punkt $P(0|2)$ liegt auf der Tangente. Setze seine Koordinaten in die Tangentengleichung ein.

$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle m\cdot 0+t$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle t$

Es ist also $g_T:\;y=m\cdot x+2$ .

Für die Steigung der Tangente gilt: $m=f'(x_B)$

Damit ist Bedingung $\mathrm{(II)}$ erfüllt.

Die Ableitung der ln-Funktion ist $f'(x)=\dfrac{3}{x}$ .

Für den Berührpunkt gilt dann: $f'(x_B)=\dfrac{3}{x_B}$

Die Tangentengleichung lautet somit: $g_T:\;y=\dfrac{3}{x_B}\cdot x+2$

Setze die Koordinaten des Berührpunktes $B(x_B|3\cdot \ln(x_B))$ in die Tangentengleichung ein, um $x_B$ zu erhalten:

$\displaystyle g_T:\;y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{x_B}\cdot x+2$
	↓	Setze $B(x_B\|3\cdot \ln(x_B))$ ein.
$\displaystyle 3\cdot \ln(x_B)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{x_B}\cdot x_B+2$
	↓	Kürze.
$\displaystyle 3\cdot \ln(x_B)$	$=$	$\displaystyle 3+2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 3\cdot \ln(x_B)$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :3$
	↓	Löse nach $x_B$ auf.
$\displaystyle \ln(x_B)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{3}$	$\displaystyle e^{()}$
$\displaystyle x_B$	$=$	$\displaystyle e^{\frac{5}{3}}$

Die Tangentengleichung lautet somit:

\displaystyle g_T:\;y=\dfrac{3}{e^{\frac{5}{3}}}\cdot x +2\approx0{,}57\cdot x+2

Berechne die y-Koordinaten des Berührpunktes

Setze $x_B=e^{\frac{5}{3}}$ in die Tangentengleichung und in die Funktionsgleichung ein, um den $y$ -Wert des Berührpunktes zu erhalten und um zu sehen, ob Bedingung $\mathrm{(I)}$ erfüllt ist.

Tangentengleichung

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{e^{\frac{5}{3}}}\cdot x +2$
	↓	Setze $x_B=e^{\frac{5}{3}}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{e^{\frac{5}{3}}}\cdot e^{\frac{5}{3}} +2$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle 3+2$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 5$

Funktionsgleichung

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\cdot \ln(x_B)$
	↓	Setze $x_B=e^{\frac{5}{3}}$ ein.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot \ln(e^{\frac{5}{3}})$
	↓	Wende ein Logarithmusgesetz an.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot \dfrac{5}{3}\cdot \ln(e)$
	↓	Kürze. $\ln(e)=1$ .
	$=$	$\displaystyle 5$

Sowohl die Tangentengleichung als auch die Funktionsgleichung haben den gleichen $y$ -Wert $y=5$ . Damit ist Bedingung $\mathrm{(I)}$ erfüllt.

Der gesuchte Berührpunkt hat die Koordinaten:

\displaystyle g_T:\;y=\dfrac{3}{e^{\frac{5}{3}}}\cdot x +2\approx0{,}57\cdot x+2

Graphische Darstellung

Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

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