Gegeben sind die beiden Funktionen f(x)=2x3−4x2+3x und g(x)=4,25x2−6x+1 und der Punkt B(2∣6). Zeige, dass B ein Berührpunkt der beiden Graphen von f und g ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente
Gegeben ist der Punkt B(2∣6).
Prüfe für diesen Punkt die Bedingung (I):
f(xB)
=
g(xB)
↓
Setze die Funktionsterme ein.
2x3−4x2+3x
=
4,25x2−6x+1
↓
Setze xB=2 ein.
2⋅23−4⋅22+3⋅2
=
4,25⋅22−6⋅2+1
↓
Vereinfache.
2⋅8−4⋅4+6
=
4,25⋅4−12+1
↓
Fasse zusammen.
6
=
17−11
6
=
6✓
Bedingung (I) ist erfüllt.
Berechne die Ableitungen und prüfe für den Punkt B die Bedingung (II):
f′(x)=6x2−8x+3 und g′(x)=8,5x−6
f′(xB)
=
g′(xB)
↓
Setze die Ableitungen ein.
6x2−8x+3
=
8,5x−6
↓
Setze xB=2 ein.
6⋅22−8⋅2+3
=
8,5⋅2−6
↓
Vereinfache.
24−16+3
=
17−6
↓
Fasse zusammen.
11
=
11✓
Bedingung (II) ist auch erfüllt.
Beide Bedingungen für einen Berührpunkt sind erfüllt. Der gegebene Punkt B(2∣6) ist somit ein Berührpunkt.
Die folgende graphische Darstellung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Bilde die Differenzfunktion d(x)=f(x)−g(x) und berechne deren Nullstellen. Du erhältst eine quadratische Gleichung. Bei einem Berührpunkt darf es nur eine (doppelte) Nullstelle geben. Die Forderung nach nur einer Nullstelle bedeutet, dass die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null ist.
Gib auch die Gleichung der Tangente an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente
Der Berührpunkt hat die Koordinaten B(0,4∣0,12).
Für die Tangentensteigung berechne f′(0,4) (oder g′(0,4)):
f′(x)=4x⇒f′(0,4)=4⋅0,4=1,6
Die Tangentensteigung beträgt m=1,6.
Die allgemeine Tangentengleichung lautet:
yT=m⋅x+t
Setze m=1,6 ein:⇒yT=1,6⋅x+t
yT
=
1,6⋅x+t
↓
Setze B(0,4∣0,12) ein.
0,12
=
1,6⋅0,4+t
0,12
=
0,64+t
−0,64
−0,52
=
t
Die Tangente hat die Gleichung:
Die folgende graphische Darstellung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Berechne die Koordinaten des Berührpunktes der beiden Parabeln, deren Funktionsgleichungen f und g gegeben sind:
f(x)=(x−2)2 und g(x)=3⋅(x−3)2+1,5.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente
Ableitungen berechnen
Berechne zunächst die Ableitungen von f und g. Beachte dabei die Kettenregel.
f(x)=(x−2)2⇒f′(x)=2⋅(x−2)⋅1
g(x)=3⋅(x−3)2+1,5⇒g′(x)=6⋅(x−3)⋅1
Gleichungen aufstellen
(I)f(xB)=g(xB)⇒(xB−2)2=3⋅(xB−3)2+1,5
(II)f′(xB)=g′(xB)⇒2⋅(xB−2)=6⋅(xB−3)
Stelle xB berechnen
Die einfachere der beiden Gleichung ist Gleichung (II). Sie wird nach xB aufgelöst.
2⋅(xB−2)
=
6⋅(xB−3)
↓
Löse die Klammern auf.
2xB−4
=
6xB−18
+18
↓
Löse nach xB auf.
2xB+14
=
6xB
−2xB
14
=
4xB
:4
414
=
xB
3,5
=
xB
An der Stelle xB=3,5 liegt ein möglicher Berührpunkt vor.
Probe, ob xB der Berührpunkt ist
Prüfe nun, ob Gleichung (I)f(xB)=g(xB)⇒(xB−2)2=3⋅(xB−3)2+1,5 erfüllt ist.
(xB−2)2
=
3⋅(xB−3)2+1,5
↓
Setze xB=3,5 ein.
(3,5−2)2
=
3⋅(3,5−3)2+1,5
1,52
=
3⋅0,52+1,5
2,25
=
43+1,5
2,25
=
2,25
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Gleichung (I) ist erfüllt.
Graphische Darstellung
Die folgende graphische Darstellung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Die Graphen zweier Funktionen f und g haben einen Berührpunkt an der Stelle xB, wenn sie an dieser Stelle den gleichen Funktionswert und die gleiche Ableitung haben.
Es muss gelten: (I)f(xB)=g(xB) (gleiche Funktionswerte)
und (II)f′(xB)=g′(xB) (gleiche Ableitungen)
Die einfachere der beiden Gleichungen (I) oder (II) wird nach xB aufgelöst. Dann muss noch geprüft werden, ob dieses xB auch die andere Gleichung erfüllt.
Ist dies der Fall, können die Koordinaten des Berührpunktes angegeben werden: B(xB∣f(xB)) bzw. B(xB∣g(xB))
Die Graphen Gf und Gg der beiden Funktionen f und g haben zwei gemeinsame Punkte S1(−2∣−2) und S2(−1,8∣−1,96).
Zeige, dass nur einer der beiden Punkte ein Berührpunkt ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Berechne zunächst die Ableitungen der beiden Funktionen:
f′(x)=2⋅(x+2)=2x+4
g′(x)=−65x2−911x+98
Überprüfe jetzt die beiden Punkte S1 und S2.
Überprüfung für den Punkt S1(−2∣−2):
Zunächst wird x1=−2 in f′(x) eingesetzt:
f′(x)
=
2x+4
↓
Setze x=−2 ein.
f′(−2)
=
2⋅(−2)+4
f′(−2)
=
0
Nun wird x1=−2 in g′(x) eingesetzt:
g′(x)
=
−65x2−911x+98
↓
Setze x=−2 ein.
g′(−2)
=
−65⋅(−2)2−911⋅(−2)+98
g′(−2)
=
−620+922+98
↓
Erweitere auf den Hauptnenner 18.
g′(−2)
=
18−60+44+16
↓
Fasse zusammen.
g′(−2)
=
180
g′(−2)
=
0
Für x1=−2 gilt f′(−2)=g′(−2)=0.
Damit ist auch die Bedingung (II) erfüllt und an der Stelle x1=−2 liegt ein Berührpunkt vor.
Der Punkt S1(−2∣−2) ist somit ein Berührpunkt.
Überprüfung für den Punkt S2(−1,8∣−1,96):
Zunächst wird x2=−1,8 in f′(x) eingesetzt:
f′(x)
=
2x+4
↓
Setze x=−1,8 ein.
f′(−1,8)
=
2⋅(−1,8)+4
f′(−1,8)
=
0,4
Nun wird x2=−1,8 in g′(x) eingesetzt:
g′(x)
=
−65x2−911x+98
↓
Setze x=−1,8 ein.
g′(−1,8)
=
−65⋅(−1,8)2−911⋅(−1,8)+98
g′(−1,8)
=
−65⋅3,24+911⋅1,8+98
g′(−1,8)
=
−1027+511+98
↓
Bringe auf den Hauptnenner 90.
g′(−1,8)
=
90−243+198+80
↓
Fasse zusammen.
g′(−1,8)
=
9035
↓
Kürze mit 5.
g′(−1,8)
=
187
Für x2=−1,8 gilt f′(−1,8)=0,4 und g′(−1,8)=187, d.h. f′(−1,8)=g′(−1,8).
Damit ist die Bedingung (II) nicht erfüllt und an der Stelle x2=−1,8 liegt kein Berührpunkt vor. Der Punkt S2(−1,8∣−1,96) ist somit ein Schnittpunkt.
Ein Berührpunkt ist ein gemeinsamer Punkt zweier Funktionsgraphen, an dem die Funktionen die gleiche Steigung haben.
Bei einem Berührpunkt muss immer gelten:
(I)f(xB)=g(xB)(II)f′(xB)=g′(xB)
Die Bedingung (I) ist bei beiden gegebenen Punkten laut Aufgabenstellung erfüllt:
f(−2)=g(−2) und f(−1,8)=g(−1,8)
Es muss nun die Bedingung (II) für beide Punkte überprüft werden.
Die Tangentengleichung lautet somit: gT:y=xB3⋅x+2
Setze die Koordinaten des Berührpunktes B(xB∣3⋅ln(xB)) in die Tangentengleichung ein, um xB zu erhalten:
gT:y
=
xB3⋅x+2
↓
Setze B(xB∣3⋅ln(xB)) ein.
3⋅ln(xB)
=
xB3⋅xB+2
↓
Kürze.
3⋅ln(xB)
=
3+2
↓
Vereinfache.
3⋅ln(xB)
=
5
:3
↓
Löse nach xB auf.
ln(xB)
=
35
e()
xB
=
e35
Die Tangentengleichung lautet somit:
Berechne die y-Koordinaten des Berührpunktes
Setze xB=e35 in die Tangentengleichung und in die Funktionsgleichung ein, um den y-Wert des Berührpunktes zu erhalten und um zu sehen, ob Bedingung (I) erfüllt ist.