Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

Hier findest du gemischte Aufgaben zum Berührpunkt. Lerne, wann sich Graphen berühren und wann sie sich schneiden.

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Entscheide jeweils bei den vier Abbildungen, welcher Fall zutrifft.
Fall 1: transversales Schneiden (ein Schnittpunkt mit zwei verschiedenen Tangenten)
Fall 2: berührendes Schneiden (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich im Schnittpunkt)
Fall 3: Berührpunkt (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich nicht im Schnittpunkt)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berührpunkte
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Welche Punkte sind Berührpunkte (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich nicht im Schnittpunkt)?
B, D, F, G
A, D, F, G
B, C, D, E
B, C, D, G

Gegeben sind die beiden Funktionen $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$ und $g (x) = 4,25 x^{2} - 6 x + 1$ und der Punkt $B (2 | 6)$ . Zeige, dass $B$ ein Berührpunkt der beiden Graphen von $f$ und $g$ ist.

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Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen $f (x) = 2 x^{2} + k$ , mit $k \in ℝ$ und
$g (x) = - 3 x^{2} + 4 x - 1$ .
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diskriminante
  $d (x) = f (x) - g (x) = 2 x^{2} + k - (- 3 x^{2} + 4 x - 1) = 5 x^{2} - 4 x + 1 + k$
  Berechne die Nullstellen: $d (x) = 0$
  Du erhältst die quadratische Gleichung $5 x^{2} - 4 x + 1 + k = 0$ .
  Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ und setze $D = 0$ :
  $(- 4)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (1 + k)$ $=$ $0$
  ↓
  Vereinfache.
  $16 - 20 - 20 k$ $=$ $0$
  $- 4 - 20 k$ $=$ $0$ $+ 4$
  $- 20 k$ $=$ $4$ $: (- 20)$
  $k$ $=$ $- \frac{4}{20}$
  $k$ $=$ $- 0,2$
  Für $k = - 0,2$ haben die Graphen von $f$ und $g$ einen Berührpunkt.
  Die Funktionsgleichung von $f$ lautet dann: $f (x) = 2 x^{2} - 0,2$
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  Bilde die Differenzfunktion $d (x) = f (x) - g (x)$ und berechne deren Nullstellen. Du erhältst eine quadratische Gleichung. Bei einem Berührpunkt darf es nur eine (doppelte) Nullstelle geben. Die Forderung nach nur einer Nullstelle bedeutet, dass die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null ist.
3. Gib auch die Gleichung der Tangente an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente
  Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (0,4 | 0,12)$ .
  Für die Tangentensteigung berechne $f^{'} (0,4)$ (oder $g^{'} (0,4)$ ):
  $f^{'} (x) = 4 x \Rightarrow f^{'} (0,4) = 4 \cdot 0,4 = 1,6$
  Die Tangentensteigung beträgt $m = 1,6$ .
  Die allgemeine Tangentengleichung lautet:
  $y_{T} = m \cdot x + t$
  Setze $m = 1,6$ ein: $\Rightarrow y_{T} = 1,6 \cdot x + t$
  $y_{T}$ $=$ $1,6 \cdot x + t$
  ↓
  Setze $B (0,4 | 0,12)$ ein.
  $0,12$ $=$ $1,6 \cdot 0,4 + t$
  $0,12$ $=$ $0,64 + t$ $- 0,64$
  $- 0,52$ $=$ $t$
  Die Tangente hat die Gleichung:
  $y_{T} = 1,6 \cdot x - 0,52$
  Die folgende graphische Darstellung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Tangente und Graph von $f$ oder $g$ haben im Punkt $B$ die gleiche Steigung.
  Das ist auch die Tangentensteigung $m$ .
  Weiterhin ist der Berührpunkt $B (0,4 | 0,12)$ bekannt.
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Berechne die Koordinaten des Berührpunktes der beiden Parabeln, deren Funktionsgleichungen $f$ und $g$ gegeben sind:
$f (x) = (x - 2)^{2}$ und $g (x) = 3 \cdot (x - 3)^{2} + 1,5$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente
Ableitungen berechnen
Berechne zunächst die Ableitungen von $f$ und $g$ . Beachte dabei die Kettenregel.
$f (x) = (x - 2)^{2} \Rightarrow f^{'} (x) = 2 \cdot (x - 2) \cdot 1$
$g (x) = 3 \cdot (x - 3)^{2} + 1,5 \Rightarrow g^{'} (x) = 6 \cdot (x - 3) \cdot 1$
Gleichungen aufstellen
$(I) f (x_{B}) = g (x_{B}) \Rightarrow (x_{B} - 2)^{2} = 3 \cdot (x_{B} - 3)^{2} + 1,5$
$(I I) f^{'} (x_{B}) = g^{'} (x_{B}) \Rightarrow 2 \cdot (x_{B} - 2) = 6 \cdot (x_{B} - 3)$
Stelle $x_{B}$ berechnen
Die einfachere der beiden Gleichung ist Gleichung $(I I)$ . Sie wird nach $x_{B}$ aufgelöst.
$2 \cdot (x_{B} - 2)$ $=$ $6 \cdot (x_{B} - 3)$
↓
Löse die Klammern auf.
$2 x_{B} - 4$ $=$ $6 x_{B} - 18$ $+ 18$
↓
Löse nach $x_{B}$ auf.
$2 x_{B} + 14$ $=$ $6 x_{B}$ $- 2 x_{B}$
$14$ $=$ $4 x_{B}$ $: 4$
$\frac{14}{4}$ $=$ $x_{B}$
$3,5$ $=$ $x_{B}$
An der Stelle $x_{B} = 3,5$ liegt ein möglicher Berührpunkt vor.
Probe, ob $x_{B}$ der Berührpunkt ist
Prüfe nun, ob Gleichung $(I) f (x_{B}) = g (x_{B}) \Rightarrow (x_{B} - 2)^{2} = 3 \cdot (x_{B} - 3)^{2} + 1,5$ erfüllt ist.
$(x_{B} - 2)^{2}$ $=$ $3 \cdot (x_{B} - 3)^{2} + 1,5$
↓
Setze $x_{B} = 3,5$ ein.
$(3,5 - 2)^{2}$ $=$ $3 \cdot (3,5 - 3)^{2} + 1,5$
${1,5}^{2}$ $=$ $3 \cdot {0,5}^{2} + 1,5$
$2,25$ $=$ $\frac{3}{4} + 1,5$
$2,25$ $=$ $2,25$
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Gleichung $(I)$ ist erfüllt.
Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (3,5 | 2,25)$ .
Graphische Darstellung
Die folgende graphische Darstellung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Die Graphen zweier Funktionen $f$ und $g$ haben einen Berührpunkt an der Stelle $x_{B}$ , wenn sie an dieser Stelle den gleichen Funktionswert und die gleiche Ableitung haben.
Es muss gelten: $(I) f (x_{B}) = g (x_{B})$ (gleiche Funktionswerte)
und $(I I) f^{'} (x_{B}) = g^{'} (x_{B})$ (gleiche Ableitungen)
Die einfachere der beiden Gleichungen $(I)$ oder $(I I)$ wird nach $x_{B}$ aufgelöst. Dann muss noch geprüft werden, ob dieses $x_{B}$ auch die andere Gleichung erfüllt.
Ist dies der Fall, können die Koordinaten des Berührpunktes angegeben werden: $B (x_{B} | f (x_{B}))$ bzw. $B (x_{B} | g (x_{B}))$

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ durch:

$f (x) = (x + 2)^{2} - 2$ und $g (x) = - \frac{5}{18} x^{3} - \frac{11}{18} x^{2} + \frac{8}{9} x$

Die Graphen $G_{f}$ und $G_{g}$ der beiden Funktionen $f$ und $g$ haben zwei gemeinsame Punkte $S_{1} (- 2 | - 2)$ und $S_{2} (- 1,8 | - 1,96)$ .

Zeige, dass nur einer der beiden Punkte ein Berührpunkt ist.

7
An die Funktion $f (x) = 3 \cdot \ln (x)$ soll vom Punkt $P (0 | 2)$ aus eine Tangente gelegt werden. Bestimme die Gleichung der Tangente und den Berührpunkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente
Allgemeine Bedingung für einen Berührpunkt
Die Tangente $g_{T}$ und der Graph der Funktion $f$ haben einen gemeinsamen Punkt, den Berührpunkt $B$ .
Für den Berührpunkt $B$ gelten die Bedingungen:
$(I) f (x_{b}) = g_{T} (x_{B})$ und $(I I) f^{'} (x_{B}) = g_{T}^{'} (x_{B})$
Aufgrund des Verlaufs des Graphens von $f$ kann es nur einen Berührpunkt geben.
Dieser Berührpunkt hat die Koordinaten $B (x_{B} | 3 \cdot \ln (x_{B}))$ .
Stelle die Tangentengleichung auf.
Sie hat die allgemeine Form:
$g_{T} : y = m \cdot x + t$
Der Punkt $P (0 | 2)$ liegt auf der Tangente. Setze seine Koordinaten in die Tangentengleichung ein.
$2$ $=$ $m \cdot 0 + t$
$2$ $=$ $t$
Es ist also $g_{T} : y = m \cdot x + 2$ .
Für die Steigung der Tangente gilt: $m = f^{'} (x_{B})$
Damit ist Bedingung $(I I)$ erfüllt.
Die Ableitung der ln-Funktion ist $f^{'} (x) = \frac{3}{x}$ .
Für den Berührpunkt gilt dann: $f^{'} (x_{B}) = \frac{3}{x_{B}}$
Die Tangentengleichung lautet somit: $g_{T} : y = \frac{3}{x_{B}} \cdot x + 2$
Setze die Koordinaten des Berührpunktes $B (x_{B} | 3 \cdot \ln (x_{B}))$ in die Tangentengleichung ein, um $x_{B}$ zu erhalten:
$g_{T} : y$ $=$ $\frac{3}{x_{B}} \cdot x + 2$
↓
Setze $B (x_{B} | 3 \cdot \ln (x_{B}))$ ein.
$3 \cdot \ln (x_{B})$ $=$ $\frac{3}{x_{B}} \cdot x_{B} + 2$
↓
Kürze.
$3 \cdot \ln (x_{B})$ $=$ $3 + 2$
↓
Vereinfache.
$3 \cdot \ln (x_{B})$ $=$ $5$ $: 3$
↓
Löse nach $x_{B}$ auf.
$\ln (x_{B})$ $=$ $\frac{5}{3}$ $e^{()}$
$x_{B}$ $=$ $e^{\frac{5}{3}}$
Die Tangentengleichung lautet somit:

$g_{T} : y = \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}} \cdot x + 2 \approx 0,57 \cdot x + 2$
Berechne die y-Koordinaten des Berührpunktes
Setze $x_{B} = e^{\frac{5}{3}}$ in die Tangentengleichung und in die Funktionsgleichung ein, um den $y$ -Wert des Berührpunktes zu erhalten und um zu sehen, ob Bedingung $(I)$ erfüllt ist.
Tangentengleichung
$y$ $=$ $\frac{3}{e^{\frac{5}{3}}} \cdot x + 2$
↓
Setze $x_{B} = e^{\frac{5}{3}}$ ein.
$=$ $\frac{3}{e^{\frac{5}{3}}} \cdot e^{\frac{5}{3}} + 2$
↓
Kürze.
$=$ $3 + 2$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $5$
Funktionsgleichung
$y$ $=$ $3 \cdot \ln (x_{B})$
↓
Setze $x_{B} = e^{\frac{5}{3}}$ ein.
$=$ $3 \cdot \ln (e^{\frac{5}{3}})$
↓
Wende ein Logarithmusgesetz an.
$=$ $3 \cdot \frac{5}{3} \cdot \ln (e)$
↓
Kürze. $\ln (e) = 1$ .
$=$ $5$
Sowohl die Tangentengleichung als auch die Funktionsgleichung haben den gleichen $y$ -Wert $y = 5$ . Damit ist Bedingung $(I)$ erfüllt.
Der gesuchte Berührpunkt hat die Koordinaten:
$B (e^{\frac{5}{3}} | 5)$
Graphische Darstellung
Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f (x_{B})$	$=$	$g (x_{B})$
	↓	Setze die Funktionsterme ein.
$2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$	$=$	$4,25 x^{2} - 6 x + 1$
	↓	Setze $x_{B} = 2$ ein.
$2 \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2$	$=$	$4,25 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 + 1$
	↓	Vereinfache.
$2 \cdot 8 - 4 \cdot 4 + 6$	$=$	$4,25 \cdot 4 - 12 + 1$
	↓	Fasse zusammen.
$6$	$=$	$17 - 11$
$6$	$=$	$6 ✓$

$f^{'} (x_{B})$	$=$	$g^{'} (x_{B})$
	↓	Setze die Ableitungen ein.
$6 x^{2} - 8 x + 3$	$=$	$8,5 x - 6$
	↓	Setze $x_{B} = 2$ ein.
$6 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 3$	$=$	$8,5 \cdot 2 - 6$
	↓	Vereinfache.
$24 - 16 + 3$	$=$	$17 - 6$
	↓	Fasse zusammen.
$11$	$=$	$11 ✓$

$f^{'} (x)$	$=$	$2 x + 4$
	↓	Setze $x = - 2$ ein.
$f^{'} (- 2)$	$=$	$2 \cdot (- 2) + 4$
$f^{'} (- 2)$	$=$	$0$

$g^{'} (x)$	$=$	$- \frac{5}{6} x^{2} - \frac{11}{9} x + \frac{8}{9}$
	↓	Setze $x = - 2$ ein.
$g^{'} (- 2)$	$=$	$- \frac{5}{6} \cdot (- 2)^{2} - \frac{11}{9} \cdot (- 2) + \frac{8}{9}$
$g^{'} (- 2)$	$=$	$- \frac{20}{6} + \frac{22}{9} + \frac{8}{9}$
	↓	Erweitere auf den Hauptnenner $18$ .
$g^{'} (- 2)$	$=$	$\frac{- 60 + 44 + 16}{18}$
	↓	Fasse zusammen.
$g^{'} (- 2)$	$=$	$\frac{0}{18}$
$g^{'} (- 2)$	$=$	$0$

$f^{'} (x)$	$=$	$2 x + 4$
	↓	Setze $x = - 1,8$ ein.
$f^{'} (- 1,8)$	$=$	$2 \cdot (- 1,8) + 4$
$f^{'} (- 1,8)$	$=$	$0,4$

Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

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Ableitungen berechnen

Gleichungen aufstellen

Stelle $x_{B}$ berechnen

Probe, ob $x_{B}$ der Berührpunkt ist

Graphische Darstellung

Überprüfung für den Punkt $S_{1} (- 2 | - 2)$ :

Überprüfung für den Punkt $S_{2} (- 1,8 | - 1,96)$ :

Allgemeine Bedingung für einen Berührpunkt

Stelle die Tangentengleichung auf.

Berechne die y-Koordinaten des Berührpunktes

Tangentengleichung

Funktionsgleichung

Graphische Darstellung

$(- 4)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (1 + k)$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$16 - 20 - 20 k$	$=$	$0$
$- 4 - 20 k$	$=$	$0$	$+ 4$
$- 20 k$	$=$	$4$	$: (- 20)$
$k$	$=$	$- \frac{4}{20}$
$k$	$=$	$- 0,2$

$y_{T}$	$=$	$1,6 \cdot x + t$
	↓	Setze $B (0,4 \| 0,12)$ ein.
$0,12$	$=$	$1,6 \cdot 0,4 + t$
$0,12$	$=$	$0,64 + t$	$- 0,64$
$- 0,52$	$=$	$t$

$2 \cdot (x_{B} - 2)$	$=$	$6 \cdot (x_{B} - 3)$
	↓	Löse die Klammern auf.
$2 x_{B} - 4$	$=$	$6 x_{B} - 18$	$+ 18$
	↓	Löse nach $x_{B}$ auf.
$2 x_{B} + 14$	$=$	$6 x_{B}$	$- 2 x_{B}$
$14$	$=$	$4 x_{B}$	$: 4$
$\frac{14}{4}$	$=$	$x_{B}$
$3,5$	$=$	$x_{B}$

$(x_{B} - 2)^{2}$	$=$	$3 \cdot (x_{B} - 3)^{2} + 1,5$
	↓	Setze $x_{B} = 3,5$ ein.
$(3,5 - 2)^{2}$	$=$	$3 \cdot (3,5 - 3)^{2} + 1,5$
${1,5}^{2}$	$=$	$3 \cdot {0,5}^{2} + 1,5$
$2,25$	$=$	$\frac{3}{4} + 1,5$
$2,25$	$=$	$2,25$

$g_{T} : y$	$=$	$\frac{3}{x_{B}} \cdot x + 2$
	↓	Setze $B (x_{B} \| 3 \cdot \ln (x_{B}))$ ein.
$3 \cdot \ln (x_{B})$	$=$	$\frac{3}{x_{B}} \cdot x_{B} + 2$
	↓	Kürze.
$3 \cdot \ln (x_{B})$	$=$	$3 + 2$
	↓	Vereinfache.
$3 \cdot \ln (x_{B})$	$=$	$5$	$: 3$
	↓	Löse nach $x_{B}$ auf.
$\ln (x_{B})$	$=$	$\frac{5}{3}$	$e^{()}$
$x_{B}$	$=$	$e^{\frac{5}{3}}$

$y$	$=$	$\frac{3}{e^{\frac{5}{3}}} \cdot x + 2$
	↓	Setze $x_{B} = e^{\frac{5}{3}}$ ein.
	$=$	$\frac{3}{e^{\frac{5}{3}}} \cdot e^{\frac{5}{3}} + 2$
	↓	Kürze.
	$=$	$3 + 2$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$5$

$y$	$=$	$3 \cdot \ln (x_{B})$
	↓	Setze $x_{B} = e^{\frac{5}{3}}$ ein.
	$=$	$3 \cdot \ln (e^{\frac{5}{3}})$
	↓	Wende ein Logarithmusgesetz an.
	$=$	$3 \cdot \frac{5}{3} \cdot \ln (e)$
	↓	Kürze. $\ln (e) = 1$ .
	$=$	$5$

Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

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Ableitungen berechnen

Gleichungen aufstellen

Stelle xB berechnen

Probe, ob xB der Berührpunkt ist

Graphische Darstellung

Überprüfung für den Punkt S1(−2|−2):

Überprüfung für den Punkt S2(−1,8|−1,96):

Allgemeine Bedingung für einen Berührpunkt

Stelle die Tangentengleichung auf.

Berechne die y-Koordinaten des Berührpunktes

Tangentengleichung

Funktionsgleichung

Graphische Darstellung

Stelle $x_{B}$ berechnen

Probe, ob $x_{B}$ der Berührpunkt ist

Überprüfung für den Punkt $S_{1} (- 2 | - 2)$ :

Überprüfung für den Punkt $S_{2} (- 1,8 | - 1,96)$ :