Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

Entscheide jeweils bei den vier Abbildungen, welcher Fall zutrifft.

Fall 1: transversales Schneiden (ein Schnittpunkt mit zwei verschiedenen Tangenten)
Fall 2: berührendes Schneiden (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich im Schnittpunkt)
Fall 3: Berührpunkt (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich nicht im Schnittpunkt)

Welche Punkte sind Berührpunkte (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich nicht im Schnittpunkt)?

B, D, F, G
A, D, F, G
B, C, D, E
B, C, D, G

3

Gegeben sind die beiden Funktionen $f(x)=2x^3-4x^2+3x$ und $g(x)=4{,}25x^2-6x+1$ und der Punkt $B(2|6)$ . Zeige, dass $B$ ein Berührpunkt der beiden Graphen von $f$ und $g$ ist.

4

Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen $f(x)=2x^2+k$ , mit $k \in \mathbb{R}$ und

$g(x)=-3x^2+4x-1$ .

Gib auch die Gleichung der Tangente an.

5

Berechne die Koordinaten des Berührpunktes der beiden Parabeln, deren Funktionsgleichungen $f$ und $g$ gegeben sind:

$f(x)=(x-2)^2$ und $g(x)=3\cdot(x-3)^2+1{,}5$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Ableitungen berechnen

Berechne zunächst die Ableitungen von $f$ und $g$ . Beachte dabei die Kettenregel.

$f(x)=(x-2)^2\;\Rightarrow\;f'(x)=2\cdot(x-2)\cdot 1$

$g(x)=3\cdot(x-3)^2+1{,}5\;\Rightarrow\;g'(x)=6\cdot(x-3)\cdot 1$

Gleichungen aufstellen

$\mathrm{(I)}\;f(x_B)=g(x_B)\;\Rightarrow\;(x_B-2)^2=3\cdot(x_B-3)^2+1{,}5$

$\mathrm{(II)}\;f'(x_B)=g'(x_B)\;\Rightarrow\;2\cdot(x_B-2)=6\cdot(x_B-3)$

Stelle $x_B$ berechnen

Die einfachere der beiden Gleichung ist Gleichung $\mathrm{(II)}$ . Sie wird nach $x_B$ aufgelöst.

$\displaystyle 2\cdot(x_B-2)$	$=$	$\displaystyle 6\cdot(x_B-3)$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 2x_B-4$	$=$	$\displaystyle 6x_B-18$	$\displaystyle +18$
	↓	Löse nach $x_B$ auf.
$\displaystyle 2x_B+14$	$=$	$\displaystyle 6x_B$	$\displaystyle -2x_B$
$\displaystyle 14$	$=$	$\displaystyle 4x_B$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \dfrac{14}{4}$	$=$	$\displaystyle x_B$
$\displaystyle 3{,}5$	$=$	$\displaystyle x_B$

An der Stelle $x_B=3{,}5$ liegt ein möglicher Berührpunkt vor.

Probe, ob $x_B$ der Berührpunkt ist

Prüfe nun, ob Gleichung $\mathrm{(I)}\;f(x_B)=g(x_B)\;\Rightarrow\;(x_B-2)^2=3\cdot(x_B-3)^2+1{,}5$ erfüllt ist.

$\displaystyle (x_B-2)^2$	$=$	$\displaystyle 3\cdot(x_B-3)^2+1{,}5$
	↓	Setze $x_B=3{,}5$ ein.
$\displaystyle (3{,}5-2)^2$	$=$	$\displaystyle 3\cdot(3{,}5-3)^2+1{,}5$
$\displaystyle 1{,}5^2$	$=$	$\displaystyle 3\cdot0{,}5^2+1{,}5$
$\displaystyle 2{,}25$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}+1{,}5$
$\displaystyle 2{,}25$	$=$	$\displaystyle 2{,}25$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Gleichung $\mathrm{(I)}$ ist erfüllt.

Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B(3{,}5|2{,}25)$ .

Graphische Darstellung

Die folgende graphische Darstellung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

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6

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ durch:

$f(x)=(x+2)^2-2$ und $g(x)=-\dfrac{5}{18}x^3-\dfrac{11}{18}x^2+\dfrac{8}{9}x$

Die Graphen $G_f$ und $G_g$ der beiden Funktionen $f$ und $g$ haben zwei gemeinsame Punkte $S_1(-2|-2)$ und $S_2(-1{,}8|-1{,}96)$ .

Zeige, dass nur einer der beiden Punkte ein Berührpunkt ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph

Berechne zunächst die Ableitungen der beiden Funktionen:

$f'(x)=2\cdot(x+2)=2x+4$

$g'(x)=-\dfrac{5}{6}x^2-\dfrac{11}{9}x+\dfrac{8}{9}$

Überprüfe jetzt die beiden Punkte $S_1$ und $S_2.$

Überprüfung für den Punkt $S_1(-2|-2)$ :

Zunächst wird $x_1=-2$ in $f'(x)$ eingesetzt:

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle 2x+4$
	↓	Setze $x=-2$ ein.
$\displaystyle f'(-2)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(-2)+4$
$\displaystyle f'(-2)$	$=$	$\displaystyle 0$

Nun wird $x_1=-2$ in $g'(x)$ eingesetzt:

$\displaystyle g'(x)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{5}{6}x^2-\dfrac{11}{9}x+\dfrac{8}{9}$
	↓	Setze $x=-2$ ein.
$\displaystyle g'(-2)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{5}{6}\cdot(-2)^2-\dfrac{11}{9}\cdot(-2)+\dfrac{8}{9}$
$\displaystyle g'(-2)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{20}{6}+\dfrac{22}{9}+\dfrac{8}{9}$
	↓	Erweitere auf den Hauptnenner $18$ .
$\displaystyle g'(-2)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-60+44+16}{18}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle g'(-2)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0}{18}$
$\displaystyle g'(-2)$	$=$	$\displaystyle 0$

Für $x_1 =-2$ gilt $f'(-2)=g'(-2)=0$ .

Damit ist auch die Bedingung $\mathrm{(II)}$ erfüllt und an der Stelle $x_1=-2$ liegt ein Berührpunkt vor.

Der Punkt $S_1(-2|-2)$ ist somit ein Berührpunkt.

Überprüfung für den Punkt $S_2(-1{,}8|-1{,}96)$ :

Zunächst wird $x_2=-1{,}8$ in $f'(x)$ eingesetzt:

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle 2x+4$
	↓	Setze $x=-1{,}8$ ein.
$\displaystyle f'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(-1{,}8)+4$
$\displaystyle f'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$

Nun wird $x_2=-1{,}8$ in $g'(x)$ eingesetzt:

$\displaystyle g'(x)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{5}{6}x^2-\dfrac{11}{9}x+\dfrac{8}{9}$
	↓	Setze $x=-1{,}8$ ein.
$\displaystyle g'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{5}{6}\cdot(-1{,}8)^2-\dfrac{11}{9}\cdot(-1{,}8)+\dfrac{8}{9}$
$\displaystyle g'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{5\cdot3{,}24}{6}+\dfrac{11\cdot1{,}8}{9}+\dfrac{8}{9}$
$\displaystyle g'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{27}{10}+\dfrac{11}{5}+\dfrac{8}{9}$
	↓	Bringe auf den Hauptnenner $90$ .
$\displaystyle g'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-243+198+80}{90}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle g'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{35}{90}$
	↓	Kürze mit $5$ .
$\displaystyle g'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{7}{18}$

Für $x_2 =-1{,}8$ gilt $f'(-1{,}8)=0{,}4$ und $g'(-1{,}8)=\dfrac{7}{18}$ , d.h. $f'(-1{,}8)\neq g'(-1{,}8)$ .

Damit ist die Bedingung $\mathrm{(II)}$ nicht erfüllt und an der Stelle $x_2=-1{,}8$ liegt kein Berührpunkt vor. Der Punkt $S_2(-1{,}8|-1{,}96)$ ist somit ein Schnittpunkt.

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7

An die Funktion $f(x)=3\cdot \ln(x)$ soll vom Punkt $P(0\mid2)$ aus eine Tangente gelegt werden. Bestimme die Gleichung der Tangente und den Berührpunkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Allgemeine Bedingung für einen Berührpunkt

Die Tangente $g_T$ und der Graph der Funktion $f$ haben einen gemeinsamen Punkt, den Berührpunkt $B$ .

Für den Berührpunkt $B$ gelten die Bedingungen:

$\mathrm{(I)}\;f(x_b)=g_T(x_B)$ und $\mathrm{(II)}\;f'(x_B)=g_T{'}(x_B)$

Aufgrund des Verlaufs des Graphens von $f$ kann es nur einen Berührpunkt geben.

Dieser Berührpunkt hat die Koordinaten $B(x_B|3\cdot \ln(x_B))$ .

Stelle die Tangentengleichung auf.

Sie hat die allgemeine Form:

$g_T:\;y=m\cdot x+t$

Der Punkt $P(0|2)$ liegt auf der Tangente. Setze seine Koordinaten in die Tangentengleichung ein.

$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle m\cdot 0+t$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle t$

Es ist also $g_T:\;y=m\cdot x+2$ .

Für die Steigung der Tangente gilt: $m=f'(x_B)$

Damit ist Bedingung $\mathrm{(II)}$ erfüllt.

Die Ableitung der ln-Funktion ist $f'(x)=\dfrac{3}{x}$ .

Für den Berührpunkt gilt dann: $f'(x_B)=\dfrac{3}{x_B}$

Die Tangentengleichung lautet somit: $g_T:\;y=\dfrac{3}{x_B}\cdot x+2$

Setze die Koordinaten des Berührpunktes $B(x_B|3\cdot \ln(x_B))$ in die Tangentengleichung ein, um $x_B$ zu erhalten:

$\displaystyle g_T:\;y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{x_B}\cdot x+2$
	↓	Setze $B(x_B\|3\cdot \ln(x_B))$ ein.
$\displaystyle 3\cdot \ln(x_B)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{x_B}\cdot x_B+2$
	↓	Kürze.
$\displaystyle 3\cdot \ln(x_B)$	$=$	$\displaystyle 3+2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 3\cdot \ln(x_B)$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :3$
	↓	Löse nach $x_B$ auf.
$\displaystyle \ln(x_B)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{3}$	$\displaystyle e^{()}$
$\displaystyle x_B$	$=$	$\displaystyle e^{\frac{5}{3}}$

Die Tangentengleichung lautet somit:

\displaystyle g_T:\;y=\dfrac{3}{e^{\frac{5}{3}}}\cdot x +2\approx0{,}57\cdot x+2

Berechne die y-Koordinaten des Berührpunktes

Setze $x_B=e^{\frac{5}{3}}$ in die Tangentengleichung und in die Funktionsgleichung ein, um den $y$ -Wert des Berührpunktes zu erhalten und um zu sehen, ob Bedingung $\mathrm{(I)}$ erfüllt ist.

Tangentengleichung

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{e^{\frac{5}{3}}}\cdot x +2$
	↓	Setze $x_B=e^{\frac{5}{3}}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{e^{\frac{5}{3}}}\cdot e^{\frac{5}{3}} +2$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle 3+2$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 5$

Funktionsgleichung

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\cdot \ln(x_B)$
	↓	Setze $x_B=e^{\frac{5}{3}}$ ein.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot \ln(e^{\frac{5}{3}})$
	↓	Wende ein Logarithmusgesetz an.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot \dfrac{5}{3}\cdot \ln(e)$
	↓	Kürze. $\ln(e)=1$ .
	$=$	$\displaystyle 5$

Sowohl die Tangentengleichung als auch die Funktionsgleichung haben den gleichen $y$ -Wert $y=5$ . Damit ist Bedingung $\mathrm{(I)}$ erfüllt.

Der gesuchte Berührpunkt hat die Koordinaten:

\displaystyle g_T:\;y=\dfrac{3}{e^{\frac{5}{3}}}\cdot x +2\approx0{,}57\cdot x+2

Graphische Darstellung

Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

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$\displaystyle f(x_B)$	$=$	$\displaystyle g(x_B)$
	↓	Setze die Funktionsterme ein.
$\displaystyle 2x^3-4x^2+3x$	$=$	$\displaystyle 4{,}25x^2-6x+1$
	↓	Setze $x_B=2$ ein.
$\displaystyle 2\cdot 2^3-4\cdot 2^2+3\cdot2$	$=$	$\displaystyle 4{,}25\cdot 2^2-6\cdot 2+1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 2\cdot 8-4\cdot 4+6$	$=$	$\displaystyle 4{,}25\cdot4-12+1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle 17-11$
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle 6\;\checkmark$

$\displaystyle f{'}(x_B)$	$=$	$\displaystyle g{'}(x_B)$
	↓	Setze die Ableitungen ein.
$\displaystyle 6x^2-8x+3$	$=$	$\displaystyle 8{,}5x-6$
	↓	Setze $x_B=2$ ein.
$\displaystyle 6\cdot 2^2-8\cdot 2+3$	$=$	$\displaystyle 8{,}5\cdot2-6$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 24-16+3$	$=$	$\displaystyle 17-6$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 11$	$=$	$\displaystyle 11\;\checkmark$

$\displaystyle y_T$	$=$	$\displaystyle 1{,}6\cdot x+t$
	↓	Setze $B(0{,}4\|0{,}12)$ ein.
$\displaystyle 0{,}12$	$=$	$\displaystyle 1{,}6\cdot 0{,}4+t$
$\displaystyle 0{,}12$	$=$	$\displaystyle 0{,}64+t$	$\displaystyle -0{,}64$
$\displaystyle -0{,}52$	$=$	$\displaystyle t$

$\displaystyle (-4)^2-4\cdot5\cdot(1+k)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 16-20-20k$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -4-20k$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle -20k$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :(-20)$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{4}{20}$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle -0{,}2$

Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

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Ableitungen berechnen

Gleichungen aufstellen

Stelle xBx_BxB​ berechnen

Probe, ob xBx_BxB​ der Berührpunkt ist

Graphische Darstellung

Überprüfung für den Punkt S1(−2∣−2)S_1(-2|-2)S1​(−2∣−2):

Überprüfung für den Punkt S2(−1,8∣−1,96)S_2(-1{,}8|-1{,}96)S2​(−1,8∣−1,96):

Allgemeine Bedingung für einen Berührpunkt

Stelle die Tangentengleichung auf.

Berechne die y-Koordinaten des Berührpunktes

Tangentengleichung

Funktionsgleichung

Graphische Darstellung

Stelle $x_B$ berechnen

Probe, ob $x_B$ der Berührpunkt ist

Überprüfung für den Punkt $S_1(-2|-2)$ :

Überprüfung für den Punkt $S_2(-1{,}8|-1{,}96)$ :