Berechne zunächst die Ableitungen der beiden Funktionen:

$f^{\prime }(x)=2\cdot (x+2)=2x+4$

$g^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{5}{6}}{x}^2-{\displaystyle \frac{11}{9}}x+{\displaystyle \frac{8}{9}}$

Überprüfe jetzt die beiden Punkte $S_1$ und $S_2.$

Überprüfung für den Punkt $S_1(-2|-2)$:

Zunächst wird $x_1=-2$ in $f^{\prime }(x)$ eingesetzt:

Nun wird $x_1=-2$ in $g^{\prime }(x)$ eingesetzt:

Für $x_1=-2$ gilt $f^{\prime }(-2)=g^{\prime }(-2)=0$.

Damit ist auch die Bedingung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ erfüllt und an der Stelle $x_1=-2$ liegt ein Berührpunkt vor.

Der Punkt $S_1(-2|-2)$ ist somit ein Berührpunkt.

Überprüfung für den Punkt $S_2(-\mathrm{1,8}|-\mathrm{1,96})$:

Zunächst wird $x_2=-\mathrm{1,8}$ in $f^{\prime }(x)$ eingesetzt:

Nun wird $x_2=-\mathrm{1,8}$ in $g^{\prime }(x)$ eingesetzt:

Für $x_2=-\mathrm{1,8}$ gilt $f^{\prime }(-\mathrm{1,8})=\mathrm{0,4}$ und $g^{\prime }(-\mathrm{1,8})={\displaystyle \frac{7}{18}}$, d.h. $f^{\prime }(-\mathrm{1,8})\ne g^{\prime }(-\mathrm{1,8})$.

Damit ist die Bedingung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ nicht erfüllt und an der Stelle $x_2=-\mathrm{1,8}$ liegt kein Berührpunkt vor. Der Punkt $S_2(-\mathrm{1,8}|-\mathrm{1,96})$ ist somit ein Schnittpunkt.