Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ durch:

$f(x)=(x+2)^2-2$ und $g(x)=-\dfrac{5}{18}x^3-\dfrac{11}{18}x^2+\dfrac{8}{9}x$

Die Graphen $G_f$ und $G_g$ der beiden Funktionen $f$ und $g$ haben zwei gemeinsame Punkte $S_1(-2|-2)$ und $S_2(-1{,}8|-1{,}96)$ .

Zeige, dass nur einer der beiden Punkte ein Berührpunkt ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph

Berechne zunächst die Ableitungen der beiden Funktionen:

$f'(x)=2\cdot(x+2)=2x+4$

$g'(x)=-\dfrac{5}{6}x^2-\dfrac{11}{9}x+\dfrac{8}{9}$

Überprüfe jetzt die beiden Punkte $S_1$ und $S_2.$

Überprüfung für den Punkt $S_1(-2|-2)$ :

Zunächst wird $x_1=-2$ in $f'(x)$ eingesetzt:

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle 2x+4$
	↓	Setze $x=-2$ ein.
$\displaystyle f'(-2)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(-2)+4$
$\displaystyle f'(-2)$	$=$	$\displaystyle 0$

Nun wird $x_1=-2$ in $g'(x)$ eingesetzt:

$\displaystyle g'(x)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{5}{6}x^2-\dfrac{11}{9}x+\dfrac{8}{9}$
	↓	Setze $x=-2$ ein.
$\displaystyle g'(-2)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{5}{6}\cdot(-2)^2-\dfrac{11}{9}\cdot(-2)+\dfrac{8}{9}$
$\displaystyle g'(-2)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{20}{6}+\dfrac{22}{9}+\dfrac{8}{9}$
	↓	Erweitere auf den Hauptnenner $18$ .
$\displaystyle g'(-2)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-60+44+16}{18}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle g'(-2)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0}{18}$
$\displaystyle g'(-2)$	$=$	$\displaystyle 0$

Für $x_1 =-2$ gilt $f'(-2)=g'(-2)=0$ .

Damit ist auch die Bedingung $\mathrm{(II)}$ erfüllt und an der Stelle $x_1=-2$ liegt ein Berührpunkt vor.

Der Punkt $S_1(-2|-2)$ ist somit ein Berührpunkt.

Überprüfung für den Punkt $S_2(-1{,}8|-1{,}96)$ :

Zunächst wird $x_2=-1{,}8$ in $f'(x)$ eingesetzt:

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle 2x+4$
	↓	Setze $x=-1{,}8$ ein.
$\displaystyle f'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(-1{,}8)+4$
$\displaystyle f'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$

Nun wird $x_2=-1{,}8$ in $g'(x)$ eingesetzt:

$\displaystyle g'(x)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{5}{6}x^2-\dfrac{11}{9}x+\dfrac{8}{9}$
	↓	Setze $x=-1{,}8$ ein.
$\displaystyle g'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{5}{6}\cdot(-1{,}8)^2-\dfrac{11}{9}\cdot(-1{,}8)+\dfrac{8}{9}$
$\displaystyle g'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{5\cdot3{,}24}{6}+\dfrac{11\cdot1{,}8}{9}+\dfrac{8}{9}$
$\displaystyle g'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{27}{10}+\dfrac{11}{5}+\dfrac{8}{9}$
	↓	Bringe auf den Hauptnenner $90$ .
$\displaystyle g'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-243+198+80}{90}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle g'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{35}{90}$
	↓	Kürze mit $5$ .
$\displaystyle g'(-1{,}8)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{7}{18}$

Für $x_2 =-1{,}8$ gilt $f'(-1{,}8)=0{,}4$ und $g'(-1{,}8)=\dfrac{7}{18}$ , d.h. $f'(-1{,}8)\neq g'(-1{,}8)$ .

Damit ist die Bedingung $\mathrm{(II)}$ nicht erfüllt und an der Stelle $x_2=-1{,}8$ liegt kein Berührpunkt vor. Der Punkt $S_2(-1{,}8|-1{,}96)$ ist somit ein Schnittpunkt.

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Überprüfung für den Punkt S1(−2∣−2)S_1(-2|-2)S1​(−2∣−2):

Überprüfung für den Punkt S2(−1,8∣−1,96)S_2(-1{,}8|-1{,}96)S2​(−1,8∣−1,96):

Überprüfung für den Punkt $S_1(-2|-2)$ :

Überprüfung für den Punkt $S_2(-1{,}8|-1{,}96)$ :