Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

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Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ durch:

$f (x) = (x + 2)^{2} - 2$ und $g (x) = - \frac{5}{18} x^{3} - \frac{11}{18} x^{2} + \frac{8}{9} x$

Die Graphen $G_{f}$ und $G_{g}$ der beiden Funktionen $f$ und $g$ haben zwei gemeinsame Punkte $S_{1} (- 2 | - 2)$ und $S_{2} (- 1,8 | - 1,96)$ .

Zeige, dass nur einer der beiden Punkte ein Berührpunkt ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph

Berechne zunächst die Ableitungen der beiden Funktionen:

$f^{'} (x) = 2 \cdot (x + 2) = 2 x + 4$

$g^{'} (x) = - \frac{5}{6} x^{2} - \frac{11}{9} x + \frac{8}{9}$

Überprüfe jetzt die beiden Punkte $S_{1}$ und $S_{2} .$

Überprüfung für den Punkt $S_{1} (- 2 | - 2)$ :

Zunächst wird $x_{1} = - 2$ in $f^{'} (x)$ eingesetzt:

$f^{'} (x)$	$=$	$2 x + 4$
	↓	Setze $x = - 2$ ein.
$f^{'} (- 2)$	$=$	$2 \cdot (- 2) + 4$
$f^{'} (- 2)$	$=$	$0$

Nun wird $x_{1} = - 2$ in $g^{'} (x)$ eingesetzt:

$g^{'} (x)$	$=$	$- \frac{5}{6} x^{2} - \frac{11}{9} x + \frac{8}{9}$
	↓	Setze $x = - 2$ ein.
$g^{'} (- 2)$	$=$	$- \frac{5}{6} \cdot (- 2)^{2} - \frac{11}{9} \cdot (- 2) + \frac{8}{9}$
$g^{'} (- 2)$	$=$	$- \frac{20}{6} + \frac{22}{9} + \frac{8}{9}$
	↓	Erweitere auf den Hauptnenner $18$ .
$g^{'} (- 2)$	$=$	$\frac{- 60 + 44 + 16}{18}$
	↓	Fasse zusammen.
$g^{'} (- 2)$	$=$	$\frac{0}{18}$
$g^{'} (- 2)$	$=$	$0$

Für $x_{1} = - 2$ gilt $f^{'} (- 2) = g^{'} (- 2) = 0$ .

Damit ist auch die Bedingung $(I I)$ erfüllt und an der Stelle $x_{1} = - 2$ liegt ein Berührpunkt vor.

Der Punkt $S_{1} (- 2 | - 2)$ ist somit ein Berührpunkt.

Überprüfung für den Punkt $S_{2} (- 1,8 | - 1,96)$ :

Zunächst wird $x_{2} = - 1,8$ in $f^{'} (x)$ eingesetzt:

$f^{'} (x)$	$=$	$2 x + 4$
	↓	Setze $x = - 1,8$ ein.
$f^{'} (- 1,8)$	$=$	$2 \cdot (- 1,8) + 4$
$f^{'} (- 1,8)$	$=$	$0,4$

Nun wird $x_{2} = - 1,8$ in $g^{'} (x)$ eingesetzt:

$g^{'} (x)$	$=$	$- \frac{5}{6} x^{2} - \frac{11}{9} x + \frac{8}{9}$
	↓	Setze $x = - 1,8$ ein.
$g^{'} (- 1,8)$	$=$	$- \frac{5}{6} \cdot (- 1,8)^{2} - \frac{11}{9} \cdot (- 1,8) + \frac{8}{9}$
$g^{'} (- 1,8)$	$=$	$- \frac{5 \cdot 3,24}{6} + \frac{11 \cdot 1,8}{9} + \frac{8}{9}$
$g^{'} (- 1,8)$	$=$	$- \frac{27}{10} + \frac{11}{5} + \frac{8}{9}$
	↓	Bringe auf den Hauptnenner $90$ .
$g^{'} (- 1,8)$	$=$	$\frac{- 243 + 198 + 80}{90}$
	↓	Fasse zusammen.
$g^{'} (- 1,8)$	$=$	$\frac{35}{90}$
	↓	Kürze mit $5$ .
$g^{'} (- 1,8)$	$=$	$\frac{7}{18}$

Für $x_{2} = - 1,8$ gilt $f^{'} (- 1,8) = 0,4$ und $g^{'} (- 1,8) = \frac{7}{18}$ , d.h. $f^{'} (- 1,8) \neq g^{'} (- 1,8)$ .

Damit ist die Bedingung $(I I)$ nicht erfüllt und an der Stelle $x_{2} = - 1,8$ liegt kein Berührpunkt vor. Der Punkt $S_{2} (- 1,8 | - 1,96)$ ist somit ein Schnittpunkt.

Ein Berührpunkt ist ein gemeinsamer Punkt zweier Funktionsgraphen, an dem die Funktionen die gleiche Steigung haben.

Bei einem Berührpunkt muss immer gelten:

$(I) f (x_{B}) = g (x_{B}) (I I) f^{'} (x_{B}) = g^{'} (x_{B})$

Die Bedingung $(I)$ ist bei beiden gegebenen Punkten laut Aufgabenstellung erfüllt:

$f (- 2) = g (- 2)$ und $f (- 1,8) = g (- 1,8)$

Es muss nun die Bedingung $(I I)$ für beide Punkte überprüft werden.

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→ Was bedeutet das?

Überprüfung für den Punkt S1(−2|−2):

Überprüfung für den Punkt S2(−1,8|−1,96):

Überprüfung für den Punkt $S_{1} (- 2 | - 2)$ :

Überprüfung für den Punkt $S_{2} (- 1,8 | - 1,96)$ :