Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

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Gegeben sind die beiden Funktionen $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$ und $g(x)=4{,}25x^2-6x+1$ und der Punkt $B (2 ∣ 6)$ . Zeige, dass $B$ ein Berührpunkt der beiden Graphen von $f$ und $g$ ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Gegeben ist der Punkt $B (2 ∣ 6)$ .

Prüfe für diesen Punkt die Bedingung $\mathrm{(I)}$ :

$\displaystyle f(x_B)$	$=$	$\displaystyle g(x_B)$
	↓	Setze die Funktionsterme ein.
$\displaystyle 2x^3-4x^2+3x$	$=$	$\displaystyle 4{,}25x^2-6x+1$
	↓	Setze $x_{B} = 2$ ein.
$\displaystyle 2\cdot 2^3-4\cdot 2^2+3\cdot2$	$=$	$\displaystyle 4{,}25\cdot 2^2-6\cdot 2+1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 2\cdot 8-4\cdot 4+6$	$=$	$\displaystyle 4{,}25\cdot4-12+1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle 17-11$
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle 6\;\checkmark$

Bedingung $\mathrm{(I)}$ ist erfüllt.

Berechne die Ableitungen und prüfe für den Punkt $B$ die Bedingung $\mathrm{(II)}$ :

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 8 x + 3$ und $g^{'} (x) = 8,5 x - 6$

$\displaystyle f{'}(x_B)$	$=$	$\displaystyle g{'}(x_B)$
	↓	Setze die Ableitungen ein.
$\displaystyle 6x^2-8x+3$	$=$	$\displaystyle 8{,}5x-6$
	↓	Setze $x_{B} = 2$ ein.
$\displaystyle 6\cdot 2^2-8\cdot 2+3$	$=$	$\displaystyle 8{,}5\cdot2-6$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 24-16+3$	$=$	$\displaystyle 17-6$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 11$	$=$	$\displaystyle 11\;\checkmark$

Bedingung $\mathrm{(II)}$ ist auch erfüllt.

Beide Bedingungen für einen Berührpunkt sind erfüllt. Der gegebene Punkt $B (2 ∣ 6)$ ist somit ein Berührpunkt.

Die folgende graphische Darstellung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

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Wende die Bedingungen für einen Berührpunkt $B$ an.

$\mathrm{(I)}\; f(x_B)=g(x_B)\qquad \mathrm{(II)}\; f{'}(x_B)=g{'}(x_B)$