Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

…

Gegeben sind die beiden Funktionen $f(x)=2x^3-4x^2+3x$ und $g(x)=4{,}25x^2-6x+1$ und der Punkt $B(2|6)$ . Zeige, dass $B$ ein Berührpunkt der beiden Graphen von $f$ und $g$ ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Gegeben ist der Punkt $B(2|6)$ .

Prüfe für diesen Punkt die Bedingung $\mathrm{(I)}$ :

$\displaystyle f(x_B)$	$=$	$\displaystyle g(x_B)$
	↓	Setze die Funktionsterme ein.
$\displaystyle 2x^3-4x^2+3x$	$=$	$\displaystyle 4{,}25x^2-6x+1$
	↓	Setze $x_B=2$ ein.
$\displaystyle 2\cdot 2^3-4\cdot 2^2+3\cdot2$	$=$	$\displaystyle 4{,}25\cdot 2^2-6\cdot 2+1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 2\cdot 8-4\cdot 4+6$	$=$	$\displaystyle 4{,}25\cdot4-12+1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle 17-11$
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle 6\;\checkmark$

Bedingung $\mathrm{(I)}$ ist erfüllt.

Berechne die Ableitungen und prüfe für den Punkt $B$ die Bedingung $\mathrm{(II)}$ :

$f'(x)=6x^2-8x+3$ und $g'(x)=8{,}5x-6$

$\displaystyle f{'}(x_B)$	$=$	$\displaystyle g{'}(x_B)$
	↓	Setze die Ableitungen ein.
$\displaystyle 6x^2-8x+3$	$=$	$\displaystyle 8{,}5x-6$
	↓	Setze $x_B=2$ ein.
$\displaystyle 6\cdot 2^2-8\cdot 2+3$	$=$	$\displaystyle 8{,}5\cdot2-6$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 24-16+3$	$=$	$\displaystyle 17-6$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 11$	$=$	$\displaystyle 11\;\checkmark$

Bedingung $\mathrm{(II)}$ ist auch erfüllt.

Beide Bedingungen für einen Berührpunkt sind erfüllt. Der gegebene Punkt $B(2|6)$ ist somit ein Berührpunkt.

Die folgende graphische Darstellung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Wende die Bedingungen für einen Berührpunkt $B$ an.

$\mathrm{(I)}\; f(x_B)=g(x_B)\qquad \mathrm{(II)}\; f{'}(x_B)=g{'}(x_B)$