Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen $f (x) = 2 x^{2} + k$ , mit $k \in ℝ$ und

$g (x) = - 3 x^{2} + 4 x - 1$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diskriminante
$d (x) = f (x) - g (x) = 2 x^{2} + k - (- 3 x^{2} + 4 x - 1) = 5 x^{2} - 4 x + 1 + k$
Berechne die Nullstellen: $d (x) = 0$
Du erhältst die quadratische Gleichung $5 x^{2} - 4 x + 1 + k = 0$ .
Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ und setze $D = 0$ :
$(- 4)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (1 + k)$ $=$ $0$
↓
Vereinfache.
$16 - 20 - 20 k$ $=$ $0$
$- 4 - 20 k$ $=$ $0$ $+ 4$
$- 20 k$ $=$ $4$ $: (- 20)$
$k$ $=$ $- \frac{4}{20}$
$k$ $=$ $- 0,2$
Für $k = - 0,2$ haben die Graphen von $f$ und $g$ einen Berührpunkt.
Die Funktionsgleichung von $f$ lautet dann: $f (x) = 2 x^{2} - 0,2$
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Bilde die Differenzfunktion $d (x) = f (x) - g (x)$ und berechne deren Nullstellen. Du erhältst eine quadratische Gleichung. Bei einem Berührpunkt darf es nur eine (doppelte) Nullstelle geben. Die Forderung nach nur einer Nullstelle bedeutet, dass die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null ist.
Gib auch die Gleichung der Tangente an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente
Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (0,4 | 0,12)$ .
Für die Tangentensteigung berechne $f^{'} (0,4)$ (oder $g^{'} (0,4)$ ):
$f^{'} (x) = 4 x \Rightarrow f^{'} (0,4) = 4 \cdot 0,4 = 1,6$
Die Tangentensteigung beträgt $m = 1,6$ .
Die allgemeine Tangentengleichung lautet:
$y_{T} = m \cdot x + t$
Setze $m = 1,6$ ein: $\Rightarrow y_{T} = 1,6 \cdot x + t$
$y_{T}$ $=$ $1,6 \cdot x + t$
↓
Setze $B (0,4 | 0,12)$ ein.
$0,12$ $=$ $1,6 \cdot 0,4 + t$
$0,12$ $=$ $0,64 + t$ $- 0,64$
$- 0,52$ $=$ $t$
Die Tangente hat die Gleichung:
$y_{T} = 1,6 \cdot x - 0,52$
Die folgende graphische Darstellung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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Tangente und Graph von $f$ oder $g$ haben im Punkt $B$ die gleiche Steigung.
Das ist auch die Tangentensteigung $m$ .
Weiterhin ist der Berührpunkt $B (0,4 | 0,12)$ bekannt.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$(- 4)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (1 + k)$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$16 - 20 - 20 k$	$=$	$0$
$- 4 - 20 k$	$=$	$0$	$+ 4$
$- 20 k$	$=$	$4$	$: (- 20)$
$k$	$=$	$- \frac{4}{20}$
$k$	$=$	$- 0,2$

$y_{T}$	$=$	$1,6 \cdot x + t$
	↓	Setze $B (0,4 \| 0,12)$ ein.
$0,12$	$=$	$1,6 \cdot 0,4 + t$
$0,12$	$=$	$0,64 + t$	$- 0,64$
$- 0,52$	$=$	$t$

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