Berechne die Koordinaten des Berührpunktes der beiden Parabeln, deren Funktionsgleichungen f und g gegeben sind:
f(x)=(x−2)2 und g(x)=3⋅(x−3)2+1,5.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente
Ableitungen berechnen
Berechne zunächst die Ableitungen von f und g. Beachte dabei die Kettenregel.
f(x)=(x−2)2⇒f′(x)=2⋅(x−2)⋅1
g(x)=3⋅(x−3)2+1,5⇒g′(x)=6⋅(x−3)⋅1
Gleichungen aufstellen
(I)f(xB)=g(xB)⇒(xB−2)2=3⋅(xB−3)2+1,5
(II)f′(xB)=g′(xB)⇒2⋅(xB−2)=6⋅(xB−3)
Stelle xB berechnen
Die einfachere der beiden Gleichung ist Gleichung (II). Sie wird nach xB aufgelöst.
2⋅(xB−2) | = | 6⋅(xB−3) | |
↓ | Löse die Klammern auf. | ||
2xB−4 | = | 6xB−18 | +18 |
↓ | Löse nach xB auf. | ||
2xB+14 | = | 6xB | −2xB |
14 | = | 4xB | :4 |
414 | = | xB | |
3,5 | = | xB |
An der Stelle xB=3,5 liegt ein möglicher Berührpunkt vor.
Probe, ob xB der Berührpunkt ist
Prüfe nun, ob Gleichung (I)f(xB)=g(xB)⇒(xB−2)2=3⋅(xB−3)2+1,5 erfüllt ist.
(xB−2)2 | = | 3⋅(xB−3)2+1,5 | |
↓ | Setze xB=3,5 ein. | ||
(3,5−2)2 | = | 3⋅(3,5−3)2+1,5 | |
1,52 | = | 3⋅0,52+1,5 | |
2,25 | = | 43+1,5 | |
2,25 | = | 2,25 |
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Gleichung (I) ist erfüllt.
Graphische Darstellung
Die folgende graphische Darstellung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Die Graphen zweier Funktionen f und g haben einen Berührpunkt an der Stelle xB, wenn sie an dieser Stelle den gleichen Funktionswert und die gleiche Ableitung haben.
Es muss gelten: (I)f(xB)=g(xB) (gleiche Funktionswerte)
und (II)f′(xB)=g′(xB) (gleiche Ableitungen)
Die einfachere der beiden Gleichungen (I) oder (II) wird nach xB aufgelöst. Dann muss noch geprüft werden, ob dieses xB auch die andere Gleichung erfüllt.
Ist dies der Fall, können die Koordinaten des Berührpunktes angegeben werden: B(xB∣f(xB)) bzw. B(xB∣g(xB))