Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

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Berechne die Koordinaten des Berührpunktes der beiden Parabeln, deren Funktionsgleichungen $f$ und $g$ gegeben sind:

$f (x) = (x - 2)^{2}$ und $g (x) = 3 \cdot (x - 3)^{2} + 1,5$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Ableitungen berechnen

Berechne zunächst die Ableitungen von $f$ und $g$ . Beachte dabei die Kettenregel.

$f (x) = (x - 2)^{2} \Rightarrow f^{'} (x) = 2 \cdot (x - 2) \cdot 1$

$g (x) = 3 \cdot (x - 3)^{2} + 1,5 \Rightarrow g^{'} (x) = 6 \cdot (x - 3) \cdot 1$

Gleichungen aufstellen

$(I) f (x_{B}) = g (x_{B}) \Rightarrow (x_{B} - 2)^{2} = 3 \cdot (x_{B} - 3)^{2} + 1,5$

$(I I) f^{'} (x_{B}) = g^{'} (x_{B}) \Rightarrow 2 \cdot (x_{B} - 2) = 6 \cdot (x_{B} - 3)$

Stelle $x_{B}$ berechnen

Die einfachere der beiden Gleichung ist Gleichung $(I I)$ . Sie wird nach $x_{B}$ aufgelöst.

$2 \cdot (x_{B} - 2)$	$=$	$6 \cdot (x_{B} - 3)$
	↓	Löse die Klammern auf.
$2 x_{B} - 4$	$=$	$6 x_{B} - 18$	$+ 18$
	↓	Löse nach $x_{B}$ auf.
$2 x_{B} + 14$	$=$	$6 x_{B}$	$- 2 x_{B}$
$14$	$=$	$4 x_{B}$	$: 4$
$\frac{14}{4}$	$=$	$x_{B}$
$3,5$	$=$	$x_{B}$

An der Stelle $x_{B} = 3,5$ liegt ein möglicher Berührpunkt vor.

Probe, ob $x_{B}$ der Berührpunkt ist

Prüfe nun, ob Gleichung $(I) f (x_{B}) = g (x_{B}) \Rightarrow (x_{B} - 2)^{2} = 3 \cdot (x_{B} - 3)^{2} + 1,5$ erfüllt ist.

$(x_{B} - 2)^{2}$	$=$	$3 \cdot (x_{B} - 3)^{2} + 1,5$
	↓	Setze $x_{B} = 3,5$ ein.
$(3,5 - 2)^{2}$	$=$	$3 \cdot (3,5 - 3)^{2} + 1,5$
${1,5}^{2}$	$=$	$3 \cdot {0,5}^{2} + 1,5$
$2,25$	$=$	$\frac{3}{4} + 1,5$
$2,25$	$=$	$2,25$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Gleichung $(I)$ ist erfüllt.

Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (3,5 | 2,25)$ .

Graphische Darstellung

Die folgende graphische Darstellung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Die Graphen zweier Funktionen $f$ und $g$ haben einen Berührpunkt an der Stelle $x_{B}$ , wenn sie an dieser Stelle den gleichen Funktionswert und die gleiche Ableitung haben.

Es muss gelten: $(I) f (x_{B}) = g (x_{B})$ (gleiche Funktionswerte)

und $(I I) f^{'} (x_{B}) = g^{'} (x_{B})$ (gleiche Ableitungen)

Die einfachere der beiden Gleichungen $(I)$ oder $(I I)$ wird nach $x_{B}$ aufgelöst. Dann muss noch geprüft werden, ob dieses $x_{B}$ auch die andere Gleichung erfüllt.

Ist dies der Fall, können die Koordinaten des Berührpunktes angegeben werden: $B (x_{B} | f (x_{B}))$ bzw. $B (x_{B} | g (x_{B}))$

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→ Was bedeutet das?

Ableitungen berechnen

Gleichungen aufstellen

Stelle xB berechnen

Probe, ob xB der Berührpunkt ist

Graphische Darstellung

Stelle $x_{B}$ berechnen

Probe, ob $x_{B}$ der Berührpunkt ist