Ableitungen berechnen

Berechne zunächst die Ableitungen von $ff$ und $gg$. Beachte dabei die Kettenregel.

$f(x)=(x-2{)}^2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot (x-2)\cdot 1f(x)=(x-2)^2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f\text{'}(x)=2\backslash cdot(x-2)\backslash cdot\; 1$

$g(x)=3\cdot (x-3{)}^2+\mathrm{1,5}\Rightarrow g^{\mathrm{\prime }}(x)=6\cdot (x-3)\cdot 1g(x)=3\backslash cdot(x-3)^2+1\{,\}5\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;g\text{'}(x)=6\backslash cdot(x-3)\backslash cdot\; 1$

Gleichungen aufstellen

$(\mathrm{I})f(x_B)=g(x_B)\Rightarrow (x_B-2{)}^2=3\cdot (x_B-3{)}^2+\mathrm{1,5}\backslash mathrm\{(I)\}\backslash ;f(x\_B)=g(x\_B)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;(x\_B-2)^2=3\backslash cdot(x\_B-3)^2+1\{,\}5$

$(\mathrm{I}\mathrm{I})f^{\mathrm{\prime }}(x_B)=g^{\mathrm{\prime }}(x_B)\Rightarrow 2\cdot (x_B-2)=6\cdot (x_B-3)\backslash mathrm\{(II)\}\backslash ;f\text{'}(x\_B)=g\text{'}(x\_B)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;2\backslash cdot(x\_B-2)=6\backslash cdot(x\_B-3)$

Stelle $x_{B}x\_B$ berechnen

Die einfachere der beiden Gleichung ist Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})\backslash mathrm\{(II)\}$. Sie wird nach $x_{B}x\_B$ aufgelöst.

An der Stelle $x_B=\mathrm{3,5}x\_B=3\{,\}5$ liegt ein möglicher Berührpunkt vor.

Probe, ob $x_{B}x\_B$ der Berührpunkt ist

Prüfe nun, ob Gleichung $(\mathrm{I})f(x_B)=g(x_B)\Rightarrow (x_B-2{)}^2=3\cdot (x_B-3{)}^2+\mathrm{1,5}\backslash mathrm\{(I)\}\backslash ;f(x\_B)=g(x\_B)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;(x\_B-2)^2=3\backslash cdot(x\_B-3)^2+1\{,\}5$ erfüllt ist.

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Gleichung $(\mathrm{I})\backslash mathrm\{(I)\}$ ist erfüllt.

Graphische Darstellung

Die folgende graphische Darstellung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.