Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Für das Viereck $A B C D$ gilt: $A B = 10 cm; B C = 8 cm; A D = 6 cm; ∢ C B A = 90 °; ∢ B A D = 120 °$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma

Zeichnen Sie das Viereck $A B C D$ und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[B D]$ und das Maß des Winkels $∢ D B A$ .
$[$ Ergebnisse: $B D = 14 cm; ∢ D B A = 21,79 °]$
Teilaufgabe a
Zeichnung des Vierecks $A B C D$ :
Strecke $[A B] = 10 cm$
$∡ B A D = 120 °$
$∡ C B A = 90 °$
$A D = 6 cm$
$B C = 8 cm$
Verbinde abschließend die Punkte $D$ und $C$ .
Länge der Strecke $[B D]$ über den Kosinussatz im Dreieck $A B D$ :
${B D}^{2}$ $=$ ${A B}^{2} + {A D}^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos (∡ B A D)$
${B D}^{2}$ $=$ $(10^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos (120 °)) {cm}^{2}$
$B D$ $=$ $(\sqrt{10^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos (120 °)}) cm$
$B D$ $=$ $14 cm$
Maß des Winkels $∡ D B A$ über den Sinussatz im Dreieck $A B D$ :
$\frac{A D}{\sin (∡ D B A)}$ $=$ $\frac{B D}{\sin (∡ B A D)}$
$\frac{6 cm}{\sin (∡ D B A)}$ $=$ $\frac{14 cm}{\sin (120 °)}$
$\sin (∡ D B A)$ $=$ $\frac{6 cm \cdot \sin (120 °)}{14 cm}$
$\sin (∡ D B A)$ $\approx$ $0,3711$ $\sin^{- 1}$
$∡ D B A$ $\approx$ $21,79 °$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Berechnen Sie den Umfang $u$ des Vierecks $A B C D$ .

Teilaufgabe b
$∡ B A C$ im Dreieck $A B C$ :
$\tan (∡ B A C) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (∡ B A C) = \frac{B C}{A B} = \frac{8 cm}{10 cm}$
$∡ B A C \approx 38,66 °$
$∡ C A D = 120 ° - ∡ B A C = 120 ° - 38,66 ° \approx 81,34 °$
$A C$ im Dreieck ABC mit dem Satz des Pythagoras:
$A C = \sqrt{{A B}^{2} + {B C}^{2}} = \sqrt{100 {cm}^{2} + 64 {cm}^{2}} = \sqrt{164 {cm}^{2}} \approx 12,81 cm$
$D C$ im Dreieck $A C D$ mithilfe des Kosinussatzes:
${D C}^{2}$ $=$ ${A C}^{2} + {A D}^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot \cos (∡ C A D)$
$D C$ $=$ $(\sqrt{164 + 6^{2} - 2 \cdot \sqrt{164} \cdot 6 \cdot \cos (81,34 °)}) cm$
$D C$ $\approx$ $13,30 cm$
$u = A B + B C + C D + D A = (10 + 8 + 13,30 + 6) cm = 37,30 cm$
Bemerkung: Alternativ könne wir die Länge der Strecke $C D$ auch mit dem Kosinussatz im Dreieck $C B D$ berechnen. Der Winkel $∡ C B D$ ist ja leicht zu berechnen: $∡ C B D = 90^{\circ} - {21,79}^{\circ} = {68,21}^{\circ}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Der Kreis um $A$ berührt die Strecke $[B D]$ im Punkt $F$ und schneidet die Strecke $[A B]$ im Punkt $G$ .
Zeichnen Sie die Strecke $[A F]$ und den zugehörigen Kreisbogen $\overset{⌢}{G}$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe a) ein.
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt $A$ der Figur, die durch die Strecken $[G B]$ , $[B F]$ und den Kreisbogen $\overset{⌢}{G}$ begrenzt wird.
$[$ Teilergebnis: $A F = 3,71 cm]$
Zeichnung der Strecke $[A F]$ und des Kreisbogens $\overset{⌢}{G}$ :
Der Kreis $A$ berührt die Strecke $[D B]$ im Punkt $F$ , daher muss die Strecke $[A F]$ in einem rechten Winkel zu $[D B]$ stehen: Fälle der Lot von $A$ auf die Strecke $[D B]$ .
Schnittpunk der Strecke $[D B]$ und der Senkrechten $] A F [$ ist der Punkt $F$ .
Zeichne nun den Kreis um $A$ mit Radius $r = [A F]$ .
Der Schnittpunkt der Kreislinie und der Strecke $[A B]$ ist der Punkt $G$ .
Flächeninhalt $A$ der entstandenen Figur $G B F$ :
$A = A_{Dreieck (A B F)} - A_{Kreissektor (A G F)}$
Fläche des Dreiecks $A B F$ :
$A F$ im rechtwinkligen Dreieck $A B F$ mithilfe der Trigonometrie
( $∡ F B A = ∡ D B A$ ):
$\sin (∡ F B A)$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (∡ F B A)$ $=$ $\frac{A F}{A B}$
$\sin (21,79 °)$ $=$ $\frac{A F}{10 cm}$ $\cdot 10 cm$
$A F$ $=$ $\sin (21,79 °) \cdot 10 cm$
$A F$ $\approx$ $3,71 cm$
Bemerkung: Alternativ können wir die Länge von $F B$ auch mit dem Satz des Pythagoras berechnen, die Längen von $A F$ und $A B$ sind ja bekannt.
$F B$ im rechtwinkligen Dreieck $A B F$ mithilfe der Trigonometrie
$\tan (∡ F B A)$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (∡ F B A)$ $=$ $\frac{A F}{F B}$
$\tan (21,79 °)$ $=$ $\frac{3,71 cm}{F B}$
$F B$ $=$ $\frac{3,71 cm}{\tan (21,79 °)}$
$F B$ $\approx$ $9,28 cm$
$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot A F \cdot F B = \frac{1}{2} \cdot 3,71 cm \cdot 9,28 cm \approx 17,22 {cm}^{2}$
Fläche des Kreissektors: $A_{s} = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360 °}$
$α$ im Dreieck $A B F$ über die Innenwinkelsumme im Dreieck:
$α = ∡ B A F = 180 ° - 90 ° - ∡ D B A = 180 ° - 90 ° - 21,79 ° = 68,21 °$
$A_{Kreissektor} = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360 °} = {A F}^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360 °} = {(3,71 cm)}^{2} \cdot π \cdot \frac{68,21 °}{360 °} \approx 8,19 {cm}^{2}$
$A = A_{Dreieck} - A_{Kreissektor} = 17,22 {cm}^{2} - 8,19 {cm}^{2} \approx 9,03 {cm}^{2}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Punkte $H_{n}$ auf der Strecke $[B D]$ mit $H_{n} B (x) = x cm$ bilden für $x \in] 0; 14 [$ und $x \in ℝ$ zusammen mit dem Punkt $C$ Strecken $[H_{n} C]$ .
Zeichnen Sie die Strecke $[H_{1} C]$ für $x = 6$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe a) ein.
Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $[H_{n} C]$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $H_{n} C (x) = \sqrt{x^{2} - 5,94 x + 64} cm$ .
Teilaufgabe d
Zeichnung der Strecke $[$ $H_{1} C$ $]$ für $x = 6$
$H_{1} B = 6 cm$ (pink) und $H_{1} B \in [B D]$
Verbinde die Punkte $H_{1}$ und $C$
Länge der Strecke $H_{1} C$ in Abhängigkeit von $x$ mithilfe des Kosinussatzes im Dreieck $B C H_{1}$ :
Winkel $C B H_{1}$ : $∡ C B H_{1} = ∡ C B A - ∡ D B A = 90 ° - 21,79 ° = 68,21 °$
${H_{n} C}^{2} (x)$ $=$ ${B H_{n}}^{2} + {B C}^{2} - 2 \cdot B H_{n} \cdot B C \cdot \cos (∡ C B H_{1})$
${H_{n} C}^{2} (x)$ $=$ $(x^{2} + 8^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 \cdot \cos (68,21 °)) {cm}^{2}$ $\sqrt{}$
$H_{n} C (x)$ $=$ $(\sqrt{x^{2} + 8^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 \cdot \cos (68,21 °)}) cm$
$H_{n} C (x)$ $=$ $(\sqrt{x^{2} + 64 - 5,94 \cdot x}) cm$
$H_{n} C (x)$ $=$ $(\sqrt{x^{2} - 5,94 x + 64}) cm$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Unter den Strecken $[H_{n} C]$ hat die Strecke $[H_{0} C]$ die minimale Länge.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ und die Länge der Strecke $[H_{0} C]$ .

Teilaufgabe e
Der zugehörige Wert $x$ für $[H_{0} C]$ :
Die Strecke $[H_{n} C]$ ist minimal, wenn $[H_{n} C]$ senkrecht auf $[D B]$ steht (siehe Bild).
Das Dreieck $H_{0} B C$ ist rechtwinklig, somit kannst du die Länge $H_{0} C (x)$ mithilfe der Trigonometrie berechnen:
$\cos (∡ C B H_{0}) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\cos (∡ C B H_{0}) = \frac{H_{0} B}{B C}$
$\cos (68,21 °) = \frac{x}{8}$
$x = \cos (68,21 °) \cdot 8 \approx 2,97$
Wenn du die genaue Länge $H_{0} C$ berechnen willst, kannst du x in die obige Gleichung einsetzen:
$H_{0} C = (\sqrt{x^{2} - 5,94 x + 64}) cm = (\sqrt{{2,97}^{2} - 5,94 \cdot 2,97 + 64}) cm \approx 7,43 cm$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Überprüfen Sie durch Rechnung, ob das Dreieck $B C F$ gleichschenklig ist.
- Das Dreieck $B C F$ ist gleichschenklig.
- Das Dreieck $B C F$ ist nicht gleichschenklig.
Teilaufgabe f
Das Dreieck $B C F$ ist nicht gleichschenklig:
Die Länge $C F$ mithilfe des Kosinussatzes:
${C F}^{2} = {B F}^{2} + {B C}^{2} - 2 \cdot B F \cdot B C \cdot \cos (∡ C B F)$
${C F}^{2} = ({9,28}^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 9,28 \cdot 8 \cdot \cos (68,21 °)) {cm}^{2}$
$C F = (\sqrt{{9,28}^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 9,28 \cdot 8 \cdot \cos (68,21 °)}) cm$
$C F \approx 9,75 cm$
$B C = 8 cm$ und in Aufgabe c) berechnet $B F = 9,28 cm$
Es ist also: $B C < B F < C F$
Damit ist das Dreieck $B C F$ nicht gleichschenklig.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

${B D}^{2}$	$=$	${A B}^{2} + {A D}^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos (∡ B A D)$
${B D}^{2}$	$=$	$(10^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos (120 °)) {cm}^{2}$
$B D$	$=$	$(\sqrt{10^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos (120 °)}) cm$
$B D$	$=$	$14 cm$

$\frac{A D}{\sin (∡ D B A)}$	$=$	$\frac{B D}{\sin (∡ B A D)}$
$\frac{6 cm}{\sin (∡ D B A)}$	$=$	$\frac{14 cm}{\sin (120 °)}$
$\sin (∡ D B A)$	$=$	$\frac{6 cm \cdot \sin (120 °)}{14 cm}$
$\sin (∡ D B A)$	$\approx$	$0,3711$	$\sin^{- 1}$
$∡ D B A$	$\approx$	$21,79 °$

${D C}^{2}$	$=$	${A C}^{2} + {A D}^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot \cos (∡ C A D)$
$D C$	$=$	$(\sqrt{164 + 6^{2} - 2 \cdot \sqrt{164} \cdot 6 \cdot \cos (81,34 °)}) cm$
$D C$	$\approx$	$13,30 cm$

$\sin (∡ F B A)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (∡ F B A)$	$=$	$\frac{A F}{A B}$
$\sin (21,79 °)$	$=$	$\frac{A F}{10 cm}$	$\cdot 10 cm$
$A F$	$=$	$\sin (21,79 °) \cdot 10 cm$
$A F$	$\approx$	$3,71 cm$

$\tan (∡ F B A)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (∡ F B A)$	$=$	$\frac{A F}{F B}$
$\tan (21,79 °)$	$=$	$\frac{3,71 cm}{F B}$
$F B$	$=$	$\frac{3,71 cm}{\tan (21,79 °)}$
$F B$	$\approx$	$9,28 cm$

${H_{n} C}^{2} (x)$	$=$	${B H_{n}}^{2} + {B C}^{2} - 2 \cdot B H_{n} \cdot B C \cdot \cos (∡ C B H_{1})$
${H_{n} C}^{2} (x)$	$=$	$(x^{2} + 8^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 \cdot \cos (68,21 °)) {cm}^{2}$	$\sqrt{}$
$H_{n} C (x)$	$=$	$(\sqrt{x^{2} + 8^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 \cdot \cos (68,21 °)}) cm$
$H_{n} C (x)$	$=$	$(\sqrt{x^{2} + 64 - 5,94 \cdot x}) cm$
$H_{n} C (x)$	$=$	$(\sqrt{x^{2} - 5,94 x + 64}) cm$

Teilaufgabe a

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe b

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe d

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe e

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe f

Hast du eine Frage oder Feedback?