Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Für das Viereck $ABCD$ gilt: $\overline{AB}=10\;\text{cm};~\overline{BC}=8 \;\text{cm};~\overline{AD}=6\;\text{cm};~\sphericalangle CBA=90°;~\sphericalangle BAD=120°$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma

Zeichnen Sie das Viereck $ABCD$ und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[BD]$ und das Maß des Winkels $\sphericalangle DBA$ .

$[$ Ergebnisse: $\overline{BD}=14\;\text{cm};~\sphericalangle DBA =21{,}79°]$

Teilaufgabe a

Zeichnung des Vierecks $ABCD$ :

Strecke $[AB] = 10\;\text{cm}$
$\measuredangle BAD=120°$
$\measuredangle CBA=90°$

$\overline{AD}=\ 6\;\text{cm}$
$\overline{BC}=8\;\text{cm}$
Verbinde abschließend die Punkte $D$ und $C$ .

Länge der Strecke $\left[BD\right]$ über den Kosinussatz im Dreieck $ABD$ :

$\displaystyle \overline{BD}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{AB}^2+\overline{AD}^2-2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cdot\cos\left(\measuredangle BAD\right)$
$\displaystyle \overline{BD}^2$	$=$	$\displaystyle \left(10^2+6^2-2\cdot10\cdot6\cdot\cos\left(120°\right)\right)\;\text{cm}^2$
$\displaystyle \overline{BD}$	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{10^2+6^2-2\cdot10\cdot6\cdot\cos\left(120°\right)}\right)\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{BD}$	$=$	$\displaystyle 14\;\text{cm}$

Maß des Winkels $\measuredangle DBA$ über den Sinussatz im Dreieck $ABD$ :

$\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\sin\left(\measuredangle DBA\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{BD}}{\sin\left(\measuredangle BAD\right)}$
$\displaystyle \frac{6\;\text{cm}}{\sin\left(\measuredangle DBA\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{14\;\text{cm}}{\sin\left(120°\right)}$
$\displaystyle \sin\left(\measuredangle DBA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{6\;\text{cm}\cdot\sin\left(120°\right)}{14\;\text{cm}}$
$\displaystyle \sin\left(\measuredangle DBA\right)$	$≈$	$\displaystyle 0{,}3711$	$\displaystyle \sin^{-1}$
$\displaystyle \measuredangle DBA$	$≈$	$\displaystyle 21{,}79°$

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Berechnen Sie den Umfang $u$ des Vierecks $ABCD$ .

Teilaufgabe b

$\measuredangle BAC$ im Dreieck $ABC$ :

$\tan\left(\measuredangle BAC\right)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

$\tan\left(\measuredangle BAC\right)=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{8\;\text{cm}}{10\;\text{cm}}$

$\measuredangle BAC\approx38{,}66°$

$\measuredangle CAD=120°-\measuredangle BAC=120°-38{,}66°\approx81{,}34°$

$\overline{AC}$ im Dreieck ABC mit dem Satz des Pythagoras:

$\overline{AC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2}=\sqrt{100\;\text{cm}^2+64\;\text{cm}^2}=\sqrt{164\;\text{cm}^2}\approx12{,}81\;\text{cm}$

$\overline{DC}$ im Dreieck $ACD$ mithilfe des Kosinussatzes:

$\displaystyle \overline{DC}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{AC}^2+\overline{AD}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{AD}\cdot\cos\left(\measuredangle CAD\right)$
$\displaystyle \overline{DC}$	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{164+6^2-2\cdot\sqrt{164}\cdot6\cdot\cos\left(81{,}34°\right)}\right)\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{DC}$	$≈$	$\displaystyle 13{,}30\;\text{cm}$

$u=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}=\left(10+8+13{,}30+6\right)\;\text{cm}\ =37{,}30\;\text{cm}$

Bemerkung: Alternativ könne wir die Länge der Strecke $\overline{CD}$ auch mit dem Kosinussatz im Dreieck $CBD$ berechnen. Der Winkel $\measuredangle CBD$ ist ja leicht zu berechnen: $\measuredangle CBD=90^\circ-21{,}79^\circ=68{,}21^\circ$

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Der Kreis um $A$ berührt die Strecke $[BD]$ im Punkt $F$ und schneidet die Strecke $[AB]$ im Punkt $G$ .

Zeichnen Sie die Strecke $[AF]$ und den zugehörigen Kreisbogen $\overset{\frown}{GF}$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe a) ein.

Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt $A$ der Figur, die durch die Strecken $[GB]$ , $[BF]$ und den Kreisbogen $\overset{\frown}{GF}$ begrenzt wird.

$[$ Teilergebnis: $\overline{AF}=3{,}71\;\text{cm}]$

Zeichnung der Strecke $[AF]$ und des Kreisbogens $\overset\frown{GF}$ :

Der Kreis $A$ berührt die Strecke $[DB]$ im Punkt $F$ , daher muss die Strecke $[AF]$ in einem rechten Winkel zu $[DB]$ stehen: Fälle der Lot von $A$ auf die Strecke $[DB]$ .
Schnittpunk der Strecke $[DB]$ und der Senkrechten $]AF[$ ist der Punkt $F$ .

Zeichne nun den Kreis um $A$ mit Radius $r = [AF]$ .
Der Schnittpunkt der Kreislinie und der Strecke $[AB]$ ist der Punkt $G$ .

Flächeninhalt $A$ der entstandenen Figur $GBF$ :

$A=A_{\text{Dreieck}\ \left(ABF\right)}-A_{\text{Kreissektor}\ \left(AGF\right)}$

Fläche des Dreiecks $ABF$ :

$\overline{AF}$ im rechtwinkligen Dreieck $ABF$ mithilfe der Trigonometrie

( $\measuredangle FBA=\measuredangle DBA$ ):

$\displaystyle \sin\left(\measuredangle FBA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \sin\left(\measuredangle FBA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AF}}{\overline{AB}}$
$\displaystyle \sin\left(21{,}79°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AF}}{10\;\text{cm}}$	$\displaystyle \cdot10\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{AF}$	$=$	$\displaystyle \sin\left(21{,}79°\right)\cdot10\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{AF}$	$≈$	$\displaystyle 3{,}71\;\text{cm}$

Bemerkung: Alternativ können wir die Länge von $\overline{FB}$ auch mit dem Satz des Pythagoras berechnen, die Längen von $\overline{AF}$ und $\overline{AB}$ sind ja bekannt.

$\overline{FB}$ im rechtwinkligen Dreieck $ABF$ mithilfe der Trigonometrie

$\displaystyle \tan\left(\measuredangle FBA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle FBA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}$
$\displaystyle \tan\left(21{,}79°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}71\;\text{cm}}{\overline{FB}}$
$\displaystyle \overline{FB}$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}71\;\text{cm}}{\tan\left(21{,}79°\right)}$
$\displaystyle \overline{FB}$	$≈$	$\displaystyle 9{,}28\;\text{cm}$

$A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\overline{AF}\cdot\overline{FB}=\frac{1}{2}\cdot3{,}71\;\text{cm}\cdot9{,}28\;\text{cm}\ \approx17{,}22\;\text{cm}^2$

Fläche des Kreissektors: $A_s=r^2\cdot\pi\cdot\frac{\alpha}{360°}$

$\alpha$ im Dreieck $ABF$ über die Innenwinkelsumme im Dreieck:

$\alpha\ =\measuredangle BAF=180°-90°-\measuredangle DBA=180°-90°-21{,}79°=68{,}21°$

$A_{\text{Kreissektor}}=r^2\cdot\pi\cdot\frac{\alpha}{360°}=\overline{AF}^2\cdot\pi\cdot\frac{\alpha}{360°}=\left(3{,}71\;\text{cm}\right)^2\cdot\pi\cdot\frac{68{,}21°}{360°}\approx8{,}19\;\text{cm}^2$

$A=A_{\text{Dreieck}}-A_{\text{Kreissektor}}=17{,}22\;\text{cm}^2-8{,}19\;\text{cm}^2\approx9{,}03\;\text{cm}^2$

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Punkte $H_n$ auf der Strecke $[BD]$ mit $\overline{H_nB}(x)=x\;\text{cm}$ bilden für $x\in ]0;14[$ und $x\in\mathbb{R}$ zusammen mit dem Punkt $C$ Strecken $[H_nC]$ .

Zeichnen Sie die Strecke $[H_1C]$ für $x=6$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe a) ein.

Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $[H_n C]$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $\overline{H_nC}(x)=\sqrt{x^2-5{,}94x+64}\;\text{cm}$ .

Unter den Strecken $[H_nC]$ hat die Strecke $[H_0C]$ die minimale Länge.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ und die Länge der Strecke $[H_0C]$ .

Teilaufgabe e
Der zugehörige Wert $x$ für $\left[H_0C\right]$ :
Die Strecke $[H_nC]$ ist minimal, wenn $[H_nC]$ senkrecht auf $[DB]$ steht (siehe Bild).
Das Dreieck $H_0BC$ ist rechtwinklig, somit kannst du die Länge $\overline{H_0C}\left(x\right)$ mithilfe der Trigonometrie berechnen:
$\cos\left(\measuredangle CBH_0\right)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos\left(\measuredangle CBH_0\right)=\frac{\overline{H_0B}}{\overline{BC}}$
$\cos\left(68{,}21°\right)=\dfrac{x}{8}$
$x=\cos\left(68{,}21°\right)\cdot8\approx2{,}97$
Wenn du die genaue Länge $\overline{H_0C}$ berechnen willst, kannst du x in die obige Gleichung einsetzen:
$\overline{H_0C}=\left(\sqrt{x^2-5{,}94x+64}\right)\;\text{cm}=\left(\sqrt{2{,}97^2-5{,}94\cdot2{,}97+64}\right)\;\text{cm}\approx7{,}43\;\text{cm}$
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Überprüfen Sie durch Rechnung, ob das Dreieck $BCF$ gleichschenklig ist.
- Das Dreieck $BCF$ ist gleichschenklig.
- Das Dreieck $BCF$ ist nicht gleichschenklig.
Teilaufgabe f
Das Dreieck $BCF$ ist nicht gleichschenklig:
Die Länge $\overline{CF}$ mithilfe des Kosinussatzes:
$\overline{CF}^2=\overline{BF}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{BF}\cdot\overline{BC}\cdot\cos\left(\measuredangle CBF\right)$
$\overline{CF}^2=\left(9{,}28^2+8^2-2\cdot9{,}28\cdot8\cdot\cos\left(68{,}21°\right)\right)\;\text{cm}^2$
$\overline{CF}=\left(\sqrt{9{,}28^2+8^2-2\cdot9{,}28\cdot8\cdot\cos\left(68{,}21°\right)}\right)\;\text{cm}$
$\overline{CF}\approx9{,}75\;\text{cm}$
$\overline{BC}=8\;\text{cm}$ und in Aufgabe c) berechnet $\overline{BF}=9{,}28\;\text{cm}$
Es ist also: $\overline{BC}<\overline{BF}<\overline{CF}$
Damit ist das Dreieck $BCF$ nicht gleichschenklig.
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$\displaystyle \overline{H_nC}^2\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \overline{BH_n}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{BH_n}\cdot\overline{BC}\cdot\cos\left(\measuredangle CBH_1\right)$
$\displaystyle \overline{H_nC}^2\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(x^2+8^2-2\cdot x\cdot8\cdot\cos\left(68{,}21°\right)\right)\;\text{cm}^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \overline{H_nC}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{x^2+8^2-2\cdot x\cdot8\cdot\cos\left(68{,}21°\right)}\right)\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{H_nC}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{x^2+64-5{,}94\cdot x}\right)\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{H_nC}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{x^2-5{,}94x+64}\right)\;\text{cm}$

Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe d

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Teilaufgabe e

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Teilaufgabe f

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