Teil B - lernen mit Serlo!

Die Skizze zeigt das Fünfeck $ABCDE$ , das den Grundriss eines Badezimmers darstellt. Es gilt:

$\overline{AC}=6{,}00\;\text{m}\;\;\overline{AE}=2{,}25\;\text{m}\;\;\overline{CD}=3{,}60\;\text{m};\\\angle CBA=90^\circ;\;\;\angle BAE=85^\circ;\\\angle BAC=\angle DCA=36{,}87^\circ.$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie jeweils die Länge der Strecken $[AB]$ und $[BC]$ .

$[$ Ergebnisse: $\overline{AB}=4{,}80\;\text{m};\:\overline{BC}=3{,}60\;\text{m}$ $]$

Zeichnen Sie den Grundriss des Badezimmers im Maßstab $1 : 50$ und begründen Sie, dass die Geraden $AB$ und $CD$ parallel zueinander sind.
Teilaufgabe b
Grundriss des Badezimmers im Maßstab $1:50$ :
Maßstab $1: 50$ bedeutet, dass $1\;\text{cm}$ einer Zeichnung, $50\;\text{cm}$ in Realität entsprechen (oder $10\;\text{cm}$ real, entsprechen $0{,}2\;\text{cm}$ in der Zeichnung):
$\overline{BC}=\overline{DC}=\ 360\;\text{cm}\ :\ 7{,}2\;\text{cm}$
$\overline{AC}=600\;\text{cm}\ :\ 12\;\text{cm}$
$\overline{AB}=480\;\text{cm}\ :9{,}6\;\text{cm}$
$\overline{AE}=225\;\text{cm}\ :\ 4{,}5\;\text{cm}$
Zeichnung von $\overline{AB}=9{,}6\;\text{cm}$
$\measuredangle BAC=36{,}87°$ und $\measuredangle CBA=90°$
Schnittpunkt ist der Punkt C.
$\measuredangle BAE=85°$
$\overline{AE}=4{,}5\;\text{cm}\ \left(E\right)$
Da $\measuredangle BAC=\measuredangle DCA=36{,}87°$ groß ist, sind die beiden Winkel Wechselwinkel und die Strecken $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$ : Parallele zu $\overline{AB}$ durch den Punkt C.
$\overline{DC}=7{,}2\;\text{cm}$
$\overline{ED}$ verbinden
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Ermitteln Sie rechnerisch jeweils die Länge der Strecken $[EC]$ und $[ED]$ .

$[$ Teilergebnis: $\angle DCE=16{,}44^\circ$ ; Ergebnisse: $\overline{EC}=4{,}80\;\text{m};\:\:\overline{ED}=1{,}69\;\text{m}$ $]$

Teilaufgabe c

Länge der Strecke $\overline{EC}$ im Dreieck ACE mit dem Kosinussatz:

$\measuredangle CAE=\measuredangle BAE-\measuredangle BAC=85°-36{,}87°=48{,}13°$

$\displaystyle \overline{EC}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{AC}^2+\overline{AE}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{AE}\cdot\cos\left(\measuredangle CAE\right)$
$\displaystyle \overline{EC}^2$	$=$	$\displaystyle 6^2+2{,}25^2-2\cdot6\cdot2{,}25\cdot\cos\left(48{,}13°\right)\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{EC}^{ }$	$=$	$\displaystyle \sqrt{6^2+2{,}25^2-2\cdot6\cdot2{,}25\cdot\cos\left(48{,}13°\right)}\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{EC}$	$≈$	$\displaystyle 4{,}80\;\text{m}$

Länge der Strecke $\overline{ED}$ :

$\measuredangle ECA$ über den Sinussatz:

Mit Winkel $\measuredangle CAE=48{,}13°$ folgt dann:

$\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\sin\left(\measuredangle ECA\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{EC}}{\sin\left(\measuredangle CAE\right)}$
$\displaystyle \frac{2{,}25\;\text{m}}{\sin\left(\measuredangle ECA\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{4{,}80\;\text{m}}{\sin\left(48{,}13°\right)}$
$\displaystyle \sin\left(\measuredangle ECA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2{,}25\;\text{m}\cdot\sin\left(48{,}13°\right)}{4{,}80\;\text{m}}$
$\displaystyle \measuredangle ECA$	$≈$	$\displaystyle 20{,}43°$

Für den Winkel $\measuredangle DCE$ gilt: $\measuredangle DCE =36{,}87^\circ-20{,}43^\circ=16{,}44^\circ$

$\displaystyle \overline{ED}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{EC}^2+\overline{CD}^2-2\cdot\overline{EC}\cdot\overline{CD}\cdot\cos\left(\measuredangle DCE\right)$
$\displaystyle \overline{ED}^2$	$=$	$\displaystyle 4{,}8^2+3{,}6^2-2\cdot4{,}8\cdot3{,}6\cdot\cos\left(16{,}44°\right)\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{ED}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{4{,}8^2+3{,}6^2-2\cdot4{,}8\cdot3{,}6\cdot\cos\left(16{,}44°\right)}\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{ED}$	$=$	$\displaystyle 1{,}69\;\text{m}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Der Kreis um $D$ mit dem Radius $\overline{DE}$ schneidet die Strecke $[DC]$ im Punkt $F$ .

Zeichnen Sie den zugehörigen Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe b) ein und berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $EDF$ .

$[$ Ergebnis: $\angle EDF=126{,}42^\circ$ $]$

Im Bereich, der durch die Strecken $[FD]$ und $[DE]$ sowie durch den Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ begrenzt ist, wird eine Dusche errichtet. Die restliche Bodenfläche wird gefliest. Ermitteln Sie den Flächeninhalt $A$ des zu fliesenden Bodens.

Teilaufgabe e

Flächenberechnung des Kreissektors EFD mit Radius $\overline{ED}:$

$\displaystyle A_{Kreissektor}$	$=$	$\displaystyle \frac{\alpha}{360°}\cdot A_{\text{Kreis}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\alpha}{360°}\cdot r^2\cdot\pi$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{126{,}42°}{360°}\cdot1{,}69^2\cdot\pi\right) \;\text{m}^2$
	$≈$	$\displaystyle 3{,}15\;\text{m}^2$

Flächenberechnung des Vielecks $ABCDE$ :

$A_1=\frac{1}{2}\cdot\overline{ED}\cdot\overline{CD}\cdot\sin\left(\measuredangle EDC\right)=\frac{1}{2}\cdot1{,}69\;\text{m}\cdot3{,}6\;\text{m}\cdot\sin\left(126{,}42°\right)\approx2{,}45 \;\text{m}^2$

$A_2=\frac{1}{2}\cdot\overline{AC}\cdot\overline{AE}\cdot\sin\left(\measuredangle CAE\right)=\frac{1}{2}\cdot6\;\text{m}\cdot2{,}25\;\text{m}\cdot\sin\left(48{,}13°\right)\approx5{,}03\;\text{m}^2$

$A_3=\frac{1}{2}\cdot\left[AB\right]\cdot\left[BC\right]=\frac{1}{2}\cdot4{,}8\;\text{m}\cdot3{,}6\;\text{m}=8{,}64\;\text{m}^2$

Die Fläche des Vielecks $ABCDE$ :

$A_{ABCDE}=A_1+A_2+A_3=\left(2{,}45+5{,}03+8{,}64\right)\;\text{m}^2\approx16{,}12\;\text{m}^2$

(eigentlich: $16{,}11\;\text{m}^2$ )

Die gesuchte Bodenfläche:

$A_{Fließoden}=A_{ABCDE}-A_{Sektor}=\left(16{,}11-3{,}15\right)\;\text{m}^2\approx12{,}96\;\text{m}^2$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Der Punkt $P$ mit $P \in[EF]$ kennzeichnet die Lage des Abflusses der Dusche.

Dabei hat $P$ die minimale Entfernung zum Punkt $D$ .

Zeichnen Sie die Strecke $[EF]$ und den Punkt $P$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe b) ein und bestimmen Sie sodann durch Rechnung die Länge der Strecke $[PD]$ .

$\displaystyle \cos\left(\measuredangle BAC\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \cos\left(36{,}87°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{6\;\text{m}}$	$\displaystyle \cdot6\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{AB}$	$=$	$\displaystyle \cos\left(36{,}87°\right)\cdot6\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{AB}$	$=$	$\displaystyle 4{,}80\;\text{m}$

$\displaystyle \sin\left(\measuredangle BAC\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \sin\left(36{,}87°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{BC}}{6\;\text{m}}$	$\displaystyle \cdot6\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{BC}$	$=$	$\displaystyle \sin\left(36{,}87°\right)\cdot6\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{BC}$	$≈$	$\displaystyle 3{,}60\;\text{m}$

$\displaystyle \overline{EC}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{CD}^2+\overline{ED}^2-2\cdot\overline{CD}\cdot\overline{ED}\cdot\cos\left(\measuredangle EDF\right)$
$\displaystyle 4{,}8^2$	$=$	$\displaystyle 3{,}6^2+1{,}69^2-2\cdot3{,}6\cdot1{,}69\cdot\cos\left(\measuredangle EDF\right)$	$\displaystyle +2\cdot3{,}6\cdot1{,}69\cdot\cos\left(\measuredangle EDF\right)$
$\displaystyle 4{,}8^2+2\cdot3{,}6\cdot1{,}69\cdot\cos\left(\measuredangle EDF\right)$	$≈$	$\displaystyle 3{,}6^2+1{,}69^2$	$\displaystyle -4{,}8^2$
$\displaystyle 2\cdot3{,}6\cdot1{,}69\cdot\cos\left(\measuredangle EDF\right)$	$≈$	$\displaystyle 3{,}6^2+1{,}69^2-4{,}8^2$	$\displaystyle :(2\cdot3{,}6\cdot1{,}69)$
$\displaystyle \cos\left(\measuredangle EDF\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3{,}6^2+1{,}69^2-4{,}8^2}{2\cdot3{,}6\cdot1{,}69}$
	↓	Anwendung von $\cos^{-1}$ .
$\displaystyle \measuredangle EDF$	$≈$	$\displaystyle 126{,}42°$

$\displaystyle \sin\left(\measuredangle PED\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \sin\left(\measuredangle PED\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{PD}}{\overline{ED}}$
$\displaystyle \sin\left(26{,}75°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{PD}}{1{,}69\;\text{m}}$	$\displaystyle \cdot1{,}69\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{PD}$	$=$	$\displaystyle \sin\left(26{,}79°\right)\cdot1{,}69\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{PD}$	$≈$	$\displaystyle 0{,}76\;\text{m}$

Teilaufgabe a

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe b

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe c

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe d

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe e

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe f

Hast du eine Frage oder Feedback?