Teil B

1.1 Die Skizze zeigt das Fünfeck ABCDE, das den Grundriss eines Badezimmers darstellt. Es gilt:

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

1.1 Berechnen Sie jeweils die Länge der Strecken [AB] und [BC].

[Ergebnisse: $\sf \overline{AB}=4{,}80m;\:\overline{BC}=3{,}60m$]

1.2 Zeichnen Sie den Grundriss des Badezimmers im Maßstab 1 : 50 und begründen Sie, dass die Geraden AB und CD parallel zueinander sind.

1.3 Ermitteln Sie rechnerisch jeweils die Länge der Strecken [EC] und [ED].

[Teilergebnis: $\sf \angle DCE=16{,}44^\circ$; Ergebnisse: $\sf \overline{EC}=4{,}80m;\:\:\overline{ED}=1{,}69m$]

1.4 Der Kreis um D mit dem Radius $\sf \overline{DE}$ schneidet die Strecke [DC] im Punkt F. Zeichnen Sie den zugehörigen Kreisbogen $\sf \overset\frown{EF}$ in die Zeichnung zu 1.2 ein und berechnen Sie sodann das Maß des Winkels EDF.

[Ergebnis: $\sf \angle EDF=126{,}42^\circ$]

1.5 Im Bereich, der durch die Strecken [FD] und [DE] sowie durch den Kreisbogen $\sf \overset\frown{EF}$ begrenzt ist, wird eine Dusche errichtet. Die restliche Bodenfläche wird gefliest. Ermitteln Sie den Flächeninhalt A des zu fliesenden Bodens.

1.6 Der Punkt P mit P $\sf \in$ [EF] kennzeichnet die Lage des Abflusses der Dusche. Dabei hat P die minimale Entfernung zum Punkt D. Zeichnen Sie die Strecke [EF] und den Punkt P in die Zeichnung zu 1.2 ein und bestimmen Sie sodann durch Rechnung die Länge der Strecke [PD].

2.0 Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche das Quadrat ABCD ist. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Strecke [AD].

N ist der Mittelpunkt der Strecke [BC].

Es gilt: $\sf \overline{AB}=8cm;\;\;\angle SNM=55^\circ$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke [MN] auf der Schrägbildachse und der Punkt M links vom Punkt N liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $\sf q=\dfrac12;\;\;\;\omega=45^\circ$

Berechnen Sie sodann die Höhe [MS] der Pyramide ABCDS und die Länge der Strecke [SN].

[Ergebnisse: $\sf \overline{MS}=11{,}43cm;\;\;\overline{SN}=13{,}95cm$]

2.2 Punkte $\sf P_n$ auf der Strecke [SN] mit $\sf \overline{P_nS}(x)=x\;cm$ und x$\sf \in\mathbb{R}$ und x $\sf \in$] 0;13,95 [ sind die Spitzen von Pyramiden $\sf BCMP_n$. Punkte $\sf F_n$ sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen [$\sf P_nF_n$].

Zeichnen Sie für x=5 die Pyramide $\sf BCMP_1$ zusammen mit ihrer Höhe [$\sf P_1F_1$] in das Schrägbild zu 2.1 ein. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $\sf SP_1M$

[Teilergebnis: $\sf \overline{MP_1}=7{,}88cm$]

2.3 Zeigen Sie, dass für das Volumen V der Pyramiden $\sf BCMP_n$ in Abhängigkeit von x gilt:

V(x)=(-8,75x+121,92)cm³

2.4 Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von x das zugehörige Volumen der Pyramiden $\sf BCMP_n$ mehr als 34 % des Volumens der Pyramide ABCDS beträgt.

2.5 Unter den Punkten $\sf P_n$ hat der Punkt $\sf P_2$ die kürzeste Entfernung zu M. Zeichnen Sie die Pyramide $\sf BCMP_2$ in das Schrägbild zu 2.1 ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [$\sf MP_2$] sowie den zugehörigen Wert für x.