Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Die Skizze zeigt das Fünfeck $ABCDE$ , das den Grundriss eines Badezimmers darstellt. Es gilt:

$\overline{AC}=6{,}00\;\text{m}\;\;\overline{AE}=2{,}25\;\text{m}\;\;\overline{CD}=3{,}60\;\text{m};\\\angle CBA=90^\circ;\;\;\angle BAE=85^\circ;\\\angle BAC=\angle DCA=36{,}87^\circ.$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie jeweils die Länge der Strecken $[AB]$ und $[BC]$ .

$[$ Ergebnisse: $\overline{AB}=4{,}80\;\text{m};\:\overline{BC}=3{,}60\;\text{m}$ $]$

Zeichnen Sie den Grundriss des Badezimmers im Maßstab $1 : 50$ und begründen Sie, dass die Geraden $AB$ und $CD$ parallel zueinander sind.
Teilaufgabe b
Grundriss des Badezimmers im Maßstab $1:50$ :
Maßstab $1: 50$ bedeutet, dass $1\;\text{cm}$ einer Zeichnung, $50\;\text{cm}$ in Realität entsprechen (oder $10\;\text{cm}$ real, entsprechen $0{,}2\;\text{cm}$ in der Zeichnung):
$\overline{BC}=\overline{DC}=\ 360\;\text{cm}\ :\ 7{,}2\;\text{cm}$
$\overline{AC}=600\;\text{cm}\ :\ 12\;\text{cm}$
$\overline{AB}=480\;\text{cm}\ :9{,}6\;\text{cm}$
$\overline{AE}=225\;\text{cm}\ :\ 4{,}5\;\text{cm}$
Zeichnung von $\overline{AB}=9{,}6\;\text{cm}$
$\measuredangle BAC=36{,}87°$ und $\measuredangle CBA=90°$
Schnittpunkt ist der Punkt C.
$\measuredangle BAE=85°$
$\overline{AE}=4{,}5\;\text{cm}\ \left(E\right)$
Da $\measuredangle BAC=\measuredangle DCA=36{,}87°$ groß ist, sind die beiden Winkel Wechselwinkel und die Strecken $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$ : Parallele zu $\overline{AB}$ durch den Punkt C.
$\overline{DC}=7{,}2\;\text{cm}$
$\overline{ED}$ verbinden
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Ermitteln Sie rechnerisch jeweils die Länge der Strecken $[EC]$ und $[ED]$ .

$[$ Teilergebnis: $\angle DCE=16{,}44^\circ$ ; Ergebnisse: $\overline{EC}=4{,}80\;\text{m};\:\:\overline{ED}=1{,}69\;\text{m}$ $]$

Teilaufgabe c

Länge der Strecke $\overline{EC}$ im Dreieck ACE mit dem Kosinussatz:

$\measuredangle CAE=\measuredangle BAE-\measuredangle BAC=85°-36{,}87°=48{,}13°$

$\displaystyle \overline{EC}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{AC}^2+\overline{AE}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{AE}\cdot\cos\left(\measuredangle CAE\right)$
$\displaystyle \overline{EC}^2$	$=$	$\displaystyle 6^2+2{,}25^2-2\cdot6\cdot2{,}25\cdot\cos\left(48{,}13°\right)\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{EC}^{ }$	$=$	$\displaystyle \sqrt{6^2+2{,}25^2-2\cdot6\cdot2{,}25\cdot\cos\left(48{,}13°\right)}\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{EC}$	$≈$	$\displaystyle 4{,}80\;\text{m}$

Länge der Strecke $\overline{ED}$ :

$\measuredangle ECA$ über den Sinussatz:

Mit Winkel $\measuredangle CAE=48{,}13°$ folgt dann:

$\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\sin\left(\measuredangle ECA\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{EC}}{\sin\left(\measuredangle CAE\right)}$
$\displaystyle \frac{2{,}25\;\text{m}}{\sin\left(\measuredangle ECA\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{4{,}80\;\text{m}}{\sin\left(48{,}13°\right)}$
$\displaystyle \sin\left(\measuredangle ECA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2{,}25\;\text{m}\cdot\sin\left(48{,}13°\right)}{4{,}80\;\text{m}}$
$\displaystyle \measuredangle ECA$	$≈$	$\displaystyle 20{,}43°$

Für den Winkel $\measuredangle DCE$ gilt: $\measuredangle DCE =36{,}87^\circ-20{,}43^\circ=16{,}44^\circ$

$\displaystyle \overline{ED}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{EC}^2+\overline{CD}^2-2\cdot\overline{EC}\cdot\overline{CD}\cdot\cos\left(\measuredangle DCE\right)$
$\displaystyle \overline{ED}^2$	$=$	$\displaystyle 4{,}8^2+3{,}6^2-2\cdot4{,}8\cdot3{,}6\cdot\cos\left(16{,}44°\right)\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{ED}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{4{,}8^2+3{,}6^2-2\cdot4{,}8\cdot3{,}6\cdot\cos\left(16{,}44°\right)}\;\text{m}$
$\displaystyle \overline{ED}$	$=$	$\displaystyle 1{,}69\;\text{m}$

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Der Kreis um $D$ mit dem Radius $\overline{DE}$ schneidet die Strecke $[DC]$ im Punkt $F$ .

Zeichnen Sie den zugehörigen Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe b) ein und berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $EDF$ .

$[$ Ergebnis: $\angle EDF=126{,}42^\circ$ $]$

Im Bereich, der durch die Strecken $[FD]$ und $[DE]$ sowie durch den Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ begrenzt ist, wird eine Dusche errichtet. Die restliche Bodenfläche wird gefliest. Ermitteln Sie den Flächeninhalt $A$ des zu fliesenden Bodens.

Teilaufgabe e

Flächenberechnung des Kreissektors EFD mit Radius $\overline{ED}:$

$\displaystyle A_{Kreissektor}$	$=$	$\displaystyle \frac{\alpha}{360°}\cdot A_{\text{Kreis}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\alpha}{360°}\cdot r^2\cdot\pi$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{126{,}42°}{360°}\cdot1{,}69^2\cdot\pi\right) \;\text{m}^2$
	$≈$	$\displaystyle 3{,}15\;\text{m}^2$

Flächenberechnung des Vielecks $ABCDE$ :

$A_1=\frac{1}{2}\cdot\overline{ED}\cdot\overline{CD}\cdot\sin\left(\measuredangle EDC\right)=\frac{1}{2}\cdot1{,}69\;\text{m}\cdot3{,}6\;\text{m}\cdot\sin\left(126{,}42°\right)\approx2{,}45 \;\text{m}^2$

$A_2=\frac{1}{2}\cdot\overline{AC}\cdot\overline{AE}\cdot\sin\left(\measuredangle CAE\right)=\frac{1}{2}\cdot6\;\text{m}\cdot2{,}25\;\text{m}\cdot\sin\left(48{,}13°\right)\approx5{,}03\;\text{m}^2$

$A_3=\frac{1}{2}\cdot\left[AB\right]\cdot\left[BC\right]=\frac{1}{2}\cdot4{,}8\;\text{m}\cdot3{,}6\;\text{m}=8{,}64\;\text{m}^2$

Die Fläche des Vielecks $ABCDE$ :

$A_{ABCDE}=A_1+A_2+A_3=\left(2{,}45+5{,}03+8{,}64\right)\;\text{m}^2\approx16{,}12\;\text{m}^2$

(eigentlich: $16{,}11\;\text{m}^2$ )

Die gesuchte Bodenfläche:

$A_{Fließoden}=A_{ABCDE}-A_{Sektor}=\left(16{,}11-3{,}15\right)\;\text{m}^2\approx12{,}96\;\text{m}^2$

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Der Punkt $P$ mit $P \in[EF]$ kennzeichnet die Lage des Abflusses der Dusche.

Dabei hat $P$ die minimale Entfernung zum Punkt $D$ .

Zeichnen Sie die Strecke $[EF]$ und den Punkt $P$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe b) ein und bestimmen Sie sodann durch Rechnung die Länge der Strecke $[PD]$ .

Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ , deren Grundfläche das Quadrat $ABCD$ ist.

Die Spitze $S$ der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt $M$ der Strecke $[AD]$ .

$N$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[BC]$ .

Es gilt: $\overline{AB}=8\;\text{cm};\;\;\sphericalangle SNM=55^\circ$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ , wobei die Strecke $[MN]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $M$ links vom Punkt $N$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\frac12;\;\;\;\omega=45^\circ.$

Berechnen Sie sodann die Höhe $[MS]$ der Pyramide $ABCDS$ und die Länge der Strecke $[SN]$ .

$[$ Ergebnisse: $\overline{MS}=11{,}43\;\text{cm};\;\;\overline{SN}=13{,}95\;\text{cm}$ $]$

Teilaufgabe a

Schrägbild der Pyramide ABCDS:

$$ $[AN] = 8 \;\text{cm}$ (Schrägbildachse)
$[AD] = [BC] = 4 \;\text{cm}$ , da wir den Verkürzungsfaktor $q=\frac{1}{2}$ haben. Beide liegen in $45°$ zu $[MN]$ .

(oder: $[AM] = [MD] = [BN] = [NC] = 2\;\text{cm}$ )

$\measuredangle SNM=55°$
$\measuredangle NMS=90°$ , da die Spitze senkrecht über $M$ liegt.
Die beiden Geraden (bzw. Halbgeraden) schneiden sich in Punkt $S$ .
Verbinde nun alle Eckpunkte der Pyramide.

Die Höhe $\left[MS\right]$ der Pyramide und die Länge $[SN]$ :

Im rechtwinkligen Dreieck MNS können wir $[MS]$ mithilfe der Trigonometrie berechnen:

$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{MS}}{\overline{MN}}$
$\displaystyle \tan\left(55°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{MS}}{8\;\text{cm}}$
$\displaystyle \overline{MS}$	$=$	$\displaystyle 8\;\text{cm}\cdot\tan\left(55°\right)$
$\displaystyle \overline{MS}$	$≈$	$\displaystyle 11{,}43\;\text{cm}$

$\displaystyle \cos\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \cos\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{MN}}{\overline{SN}}$
$\displaystyle \cos\left(55°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{8\;\text{cm}}{\overline{SN}}$
$\displaystyle \overline{SN}$	$=$	$\displaystyle \frac{8\;\text{cm}}{\cos\left(55°\right)}$
$\displaystyle \overline{SN}$	$≈$	$\displaystyle 13{,}95\;\text{cm}$

Bemerkung: Wir können alternativ $\overline{SN}$ mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $SMN$ berechnen.

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Punkte $P_n$ auf der Strecke $[SN]$ mit $\overline{P_nS}(x)=x\;\text{cm}$ und $x\in\mathbb{R}$ und $x\in\; ] 0;13{,}95 [$ sind die Spitzen von Pyramiden $BCMP_n$ . Punkte $F_n$ sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen $[P_nF_n]$ .

Zeichnen Sie für $x=5$ die Pyramide $BCMP_1$ zusammen mit ihrer Höhe [ $P_1F_1$ ] in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $\measuredangle SP_1M$

$[$ Teilergebnis: $\overline{MP_1}=7{,}88\;\text{cm}$ $]$

Teilaufgabe b

Pyramide $BCMP_n$ mit $x=5\;\text{cm}$ :

Da $x = 5\;\text{cm}$ ist, ist $[SP_1] = 5\;\text{cm}$ .

Einzeichnen von $P_1$

$F_1$ liegt auf $[MN]$ , da die Grundfläche $BCM$ , als auch die Seitenfläche $BCP_1$ gleichschenklige Dreiecke und $[MN]$ und $[NP_1]$ Symmetrieachsen sind.
Fälle ein Lot von $P_1$ auf $[MN]$ , der Schnittpunkt ist der Fußpunkt $F_1$ der Höhe der Pyramide.

Das Maß des Winkels $\measuredangle SP_1M$ im Dreieck $MP_1S$ mit Hilfe der Trigonometrie:

$\overline{MP_1}$ im Dreieck $MNP_1$ mit dem Kosinussatz:

$\displaystyle \overline{MP_1}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{MN}^2+\overline{NP_1}^2-2\cdot\overline{MN}\cdot\overline{NP_1}\cdot\cos\left(\measuredangle SNM\right)$
$\displaystyle \overline{MP_1}^2$	$=$	$\displaystyle \left(8^2+\left(13{,}95-5\right)^2-2\cdot8\cdot\left(13{,}95-5\right)\cdot\cos\left(55°\right)\right)\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{MP_1}^2$	$=$	$\displaystyle \left(8^2+\left(8{,}95\right)^2-2\cdot8\cdot8{,}95\cdot\cos\left(55°\right)\right)\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{MP_1}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{8^2+\left(8{,}95\right)^2-2\cdot8\cdot8{,}95\cdot\cos\left(55°\right)}\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{MP_1}$	$≈$	$\displaystyle 7{,}87\;\text{cm}$

In der Musterlösung wird mit einem gerundeten Ergebnis gerechnet, daher kommt hier $7{,}88\;\text{cm}$ heraus, genauer wäre allerdings $7{,}87 \;\text{cm}$ .

Wir rechnen dennoch mit $7{,}88\;\text{cm}$ weiter.