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Aufgaben

1.1 Die Skizze zeigt das Fünfeck ABCDE, das den Grundriss eines Badezimmers darstellt. Es gilt:

%%\overline{AC}=6,00m;\;\;\overline{AE}=2,25m;\;\;\overline{CD}=3,60m;\\\angle CBA=90^\circ;\;\;\angle BAE=85^\circ\\\angle BAC=\angle DCA=36,87^\circ%%

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Fünfeck

1.1 Berechnen Sie jeweils die Länge der Strecken [AB] und [BC].

[Ergebnisse: %%\overline{AB}=4,80m;\:\overline{BC}=3,60m%%]

1.2 Zeichnen Sie den Grundriss des Badezimmers im Maßstab 1 : 50 und begründen Sie, dass die Geraden AB und CD parallel zueinander sind.

1.3 Ermitteln Sie rechnerisch jeweils die Länge der Strecken [EC] und [ED].

[Teilergebnis: %%\angle DCE=16,44^\circ%%; Ergebnisse: %%\overline{EC}=4,80m;\:\:\overline{ED}=1,69m%%]

1.4 Der Kreis um D mit dem Radius %%\overline{DE}%% schneidet die Strecke [DC] im Punkt F. Zeichnen Sie den zugehörigen Kreisbogen %%\overset\frown{EF}%% in die Zeichnung zu 1.2 ein und berechnen Sie sodann das Maß des Winkels EDF.

[Ergebnis: %%\angle EDF=126,42^\circ%%]

1.5 Im Bereich, der durch die Strecken [FD] und [DE] sowie durch den Kreisbogen %%\overset\frown{EF}%% begrenzt ist, wird eine Dusche errichtet. Die restliche Bodenfläche wird gefliest. Ermitteln Sie den Flächeninhalt A des zu fliesenden Bodens.

1.6 Der Punkt P mit P %%\in%% [EF] kennzeichnet die Lage des Abflusses der Dusche. Dabei hat P die minimale Entfernung zum Punkt D. Zeichnen Sie die Strecke [EF] und den Punkt P in die Zeichnung zu 1.2 ein und bestimmen Sie sodann durch Rechnung die Länge der Strecke [PD].

2.0 Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche das Quadrat ABCD ist. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Strecke [AD].

N ist der Mittelpunkt der Strecke [BC].

Es gilt: %%\overline{AB}=8cm;\;\;\angle SNM=55^\circ%%

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Pyramide

2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke [MN] auf der Schrägbildachse und der Punkt M links vom Punkt N liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: %%q=\frac12;\;\;\;\omega=45^\circ%%

Berechnen Sie sodann die Höhe [MS] der Pyramide ABCDS und die Länge der Strecke [SN].

[Ergebnisse: %%\overline{MS}=11,43cm;\;\;\overline{SN}=13,95cm%%]

2.2 Punkte %%P_n%% auf der Strecke [SN] mit %%\overline{P_nS}(x)=x\;cm%% und x%%\in\mathbb{R}%% und x %%\in%%] 0;13,95 [ sind die Spitzen von Pyramiden %%BCMP_n%%. Punkte %%F_n%% sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen [%%P_nF_n%%].

Zeichnen Sie für x=5 die Pyramide %%BCMP_1%% zusammen mit ihrer Höhe [%%P_1F_1%%] in das Schrägbild zu 2.1 ein. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels %%SP_1M%%

[Teilergebnis: %%\overline{MP_1}=7,88cm%%]

2.3 Zeigen Sie, dass für das Volumen V der Pyramiden %%BCMP_n%% in Abhängigkeit von x gilt:

V(x)=(-8,75x+121,92)cm³

2.4 Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von x das zugehörige Volumen der Pyramiden %%BCMP_n%% mehr als 34 % des Volumens der Pyramide ABCDS beträgt.

2.5 Unter den Punkten %%P_n%% hat der Punkt %%P_2%% die kürzeste Entfernung zu M. Zeichnen Sie die Pyramide %%BCMP_2%% in das Schrägbild zu 2.1 ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [%%MP_2%%] sowie den zugehörigen Wert für x.

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