Teil B - lernen mit Serlo!

Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ , deren Grundfläche das Quadrat $ABCD$ ist.

Die Spitze $S$ der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt $M$ der Strecke $[AD]$ .

$N$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[BC]$ .

Es gilt: $\overline{AB}=8\;\text{cm};\;\;\sphericalangle SNM=55^\circ$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ , wobei die Strecke $[MN]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $M$ links vom Punkt $N$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\frac12;\;\;\;\omega=45^\circ.$

Berechnen Sie sodann die Höhe $[MS]$ der Pyramide $ABCDS$ und die Länge der Strecke $[SN]$ .

$[$ Ergebnisse: $\overline{MS}=11{,}43\;\text{cm};\;\;\overline{SN}=13{,}95\;\text{cm}$ $]$

Teilaufgabe a

Schrägbild der Pyramide ABCDS:

$$ $[AN] = 8 \;\text{cm}$ (Schrägbildachse)
$[AD] = [BC] = 4 \;\text{cm}$ , da wir den Verkürzungsfaktor $q=\frac{1}{2}$ haben. Beide liegen in $45°$ zu $[MN]$ .

(oder: $[AM] = [MD] = [BN] = [NC] = 2\;\text{cm}$ )

$\measuredangle SNM=55°$
$\measuredangle NMS=90°$ , da die Spitze senkrecht über $M$ liegt.
Die beiden Geraden (bzw. Halbgeraden) schneiden sich in Punkt $S$ .
Verbinde nun alle Eckpunkte der Pyramide.

Die Höhe $\left[MS\right]$ der Pyramide und die Länge $[SN]$ :

Im rechtwinkligen Dreieck MNS können wir $[MS]$ mithilfe der Trigonometrie berechnen:

$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{MS}}{\overline{MN}}$
$\displaystyle \tan\left(55°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{MS}}{8\;\text{cm}}$
$\displaystyle \overline{MS}$	$=$	$\displaystyle 8\;\text{cm}\cdot\tan\left(55°\right)$
$\displaystyle \overline{MS}$	$≈$	$\displaystyle 11{,}43\;\text{cm}$

$\displaystyle \cos\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \cos\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{MN}}{\overline{SN}}$
$\displaystyle \cos\left(55°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{8\;\text{cm}}{\overline{SN}}$
$\displaystyle \overline{SN}$	$=$	$\displaystyle \frac{8\;\text{cm}}{\cos\left(55°\right)}$
$\displaystyle \overline{SN}$	$≈$	$\displaystyle 13{,}95\;\text{cm}$

Bemerkung: Wir können alternativ $\overline{SN}$ mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $SMN$ berechnen.

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Punkte $P_n$ auf der Strecke $[SN]$ mit $\overline{P_nS}(x)=x\;\text{cm}$ und $x\in\mathbb{R}$ und $x\in\; ] 0;13{,}95 [$ sind die Spitzen von Pyramiden $BCMP_n$ . Punkte $F_n$ sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen $[P_nF_n]$ .

Zeichnen Sie für $x=5$ die Pyramide $BCMP_1$ zusammen mit ihrer Höhe [ $P_1F_1$ ] in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $\measuredangle SP_1M$

$[$ Teilergebnis: $\overline{MP_1}=7{,}88\;\text{cm}$ $]$

Teilaufgabe b

Pyramide $BCMP_n$ mit $x=5\;\text{cm}$ :

Da $x = 5\;\text{cm}$ ist, ist $[SP_1] = 5\;\text{cm}$ .

Einzeichnen von $P_1$

$F_1$ liegt auf $[MN]$ , da die Grundfläche $BCM$ , als auch die Seitenfläche $BCP_1$ gleichschenklige Dreiecke und $[MN]$ und $[NP_1]$ Symmetrieachsen sind.
Fälle ein Lot von $P_1$ auf $[MN]$ , der Schnittpunkt ist der Fußpunkt $F_1$ der Höhe der Pyramide.

Das Maß des Winkels $\measuredangle SP_1M$ im Dreieck $MP_1S$ mit Hilfe der Trigonometrie:

$\overline{MP_1}$ im Dreieck $MNP_1$ mit dem Kosinussatz:

$\displaystyle \overline{MP_1}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{MN}^2+\overline{NP_1}^2-2\cdot\overline{MN}\cdot\overline{NP_1}\cdot\cos\left(\measuredangle SNM\right)$
$\displaystyle \overline{MP_1}^2$	$=$	$\displaystyle \left(8^2+\left(13{,}95-5\right)^2-2\cdot8\cdot\left(13{,}95-5\right)\cdot\cos\left(55°\right)\right)\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{MP_1}^2$	$=$	$\displaystyle \left(8^2+\left(8{,}95\right)^2-2\cdot8\cdot8{,}95\cdot\cos\left(55°\right)\right)\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{MP_1}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{8^2+\left(8{,}95\right)^2-2\cdot8\cdot8{,}95\cdot\cos\left(55°\right)}\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{MP_1}$	$≈$	$\displaystyle 7{,}87\;\text{cm}$

In der Musterlösung wird mit einem gerundeten Ergebnis gerechnet, daher kommt hier $7{,}88\;\text{cm}$ heraus, genauer wäre allerdings $7{,}87 \;\text{cm}$ .

Wir rechnen dennoch mit $7{,}88\;\text{cm}$ weiter.

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Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $BCMP_n$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V(x)=(-8{,}75x+121{,}92)\;\text{cm}^3$

Teilaufgabe c

Volumen der Pyramiden $BCMP_n$ in Abhängigkeit von x:

Höhe der Pyramide $\overline{P_xF_x}\$ im rechtwinkligen Dreieck $FNP$ mit der Trigonometrie:

$\displaystyle \sin\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \sin\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{P_nF_n}}{\overline{P_nN}}$
$\displaystyle \sin\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{P_nF_n}}{\overline{SN}-x}$
$\displaystyle \sin\left(55°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{P_nF_n}}{13{,}95\;\text{cm}\ -x}$	$\displaystyle \cdot\left(13{,}95cm-x\right)$
$\displaystyle \overline{P_nF_n}$	$=$	$\displaystyle \sin\left(55°\right)\cdot\left(13{,}95\;\text{cm}-x\right)$
$\displaystyle \overline{P_nF_n}$	$=$	$\displaystyle \left(\sin\left(55°\right)\cdot13{,}95\;\text{cm}\right)-\left(\sin\left(55°\right)\cdot x\right)$
$\displaystyle \overline{P_nF_n}$	$=$	$\displaystyle 11{,}43\;\text{cm}\ -0{,}82x\;\text{cm}$

$\displaystyle V_{Pyramide}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot G\cdot h$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot\overline{MN}\right)\cdot\overline{P_xF_x}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot8\cdot8\right)\cdot\left(11{,}43\ -0{,}82x\right)\right)\;\text{cm}^3$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{32}{3}\cdot\left(11{,}43\ -0{,}82x\right)\right)\;\text{cm}^3$
	$=$	$\displaystyle \left(121{,}92-8{,}75x\right)\;\text{cm}^3$
	$=$	$\displaystyle \left(-8{,}75x+121{,}92\right)\;\text{cm}^3$

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Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von $x$ das zugehörige Volumen der Pyramiden $BCMP_n$ mehr als $34\;\%$ des Volumens der Pyramide $ABCDS$ beträgt.

Unter den Punkten $P_n$ hat der Punkt $P_2$ die kürzeste Entfernung zu $M$ .

Zeichnen Sie die Pyramide $BCMP_2$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ $MP_2$ ] sowie den zugehörigen Wert für $x$ .

Teilaufgabe e

Zeichnung der Pyramide $BCMP_2$ :

[ $MP_2$ ] ist die kürzeste Entfernung, folglich steht sie senkrecht auf $[SN]$ .
Der Schnittpunkt der Lotgeraden auf $[SN]$ ist die Spitze $P_2$ .

Von $P_2$ wird ebenfalls ein Lot auf $[MN]$ gezeichnet: $F_2$ (siehe nächstes Bild) ist der Fußpunkt der Pyramide.
Verbindung aller Eckpunkte (siehe nächstes Bild).

Die Länge der Strecke $[MP_2]$ im rechtwinkligen Dreieck $MNP_2$ mit der Trigonometrie:

$\displaystyle \sin\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \sin\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{MP_2}}{\overline{MN}}$
$\displaystyle \sin\left(55°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{MP_2}}{8\;\text{cm}}$	$\displaystyle \cdot8\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{MP_2}$	$=$	$\displaystyle \sin\left(55°\right)\cdot8\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{MP_2}$	$≈$	$\displaystyle 6{,}55\;\text{cm}$

Die Länge der Strecke $[MP_2]$ mit dem zugehörigen Wert $x$ im rechtwinkligen Dreieck $MNP_2$ mit der Trigonometrie:

$\displaystyle \cos\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \cos\left(\measuredangle SNM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{P_2N}}{\overline{MN}}$
$\displaystyle \cos\left(55°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{(13{,}95-x)\;\text{cm}}{8\;\text{cm}}$	$\displaystyle \cdot8$
	↓	Kürze die $\text{cm}$ .
$\displaystyle \cos\left(55°\right)\cdot8$	$=$	$\displaystyle 13{,}95-x$	$\displaystyle -13{,}95$
$\displaystyle \cos\left(55°\right)\cdot8-13{,}95$	$=$	$\displaystyle -x$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\left(\cos\left(55°\right)\cdot8-13{,}95\right)$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle -\left(-9{,}36\right)$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 9{,}36$

$L = \{9{,}36\}$

Bemerkung: alternativ kann man hier den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $MP_2N$ verwenden.

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$\displaystyle V\left(x\right)$	$>$	$\displaystyle 82{,}91$
$\displaystyle \left(-8{,}75x+121{,}92\right)$	$>$	$\displaystyle 82{,}91$
$\displaystyle -8{,}75x+121{,}92$	$>$	$\displaystyle 82{,}91$	$\displaystyle -121{,}92$
$\displaystyle -8{,}75x$	$>$	$\displaystyle 82{,}91-121{,}92$
$\displaystyle -8{,}75x$	$>$	$\displaystyle -39{,}01$	$\displaystyle :\left(-8{,}75\right)$
	↓	Teilung durch eine negative Zahl --> "das Ungleichheitszeichen dreht sich um"
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle 4{,}46$

Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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Teilaufgabe e

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