Teil B - lernen mit Serlo!

Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , deren Grundfläche das Quadrat $A B C D$ ist.

Die Spitze $S$ der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt $M$ der Strecke $[A D]$ .

$N$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[B C]$ .

Es gilt: $A B = 8 cm; ∢ S N M = 55^{\circ}$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $[M N]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $M$ links vom Punkt $N$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}; ω = 45^{\circ} .$
Berechnen Sie sodann die Höhe $[M S]$ der Pyramide $A B C D S$ und die Länge der Strecke $[S N]$ .
$[$ Ergebnisse: $M S = 11,43 cm; S N = 13,95 cm$ $]$
Teilaufgabe a
Schrägbild der Pyramide ABCDS:
$$ $[A N] = 8 cm$ (Schrägbildachse)
$[A D] = [B C] = 4 cm$ , da wir den Verkürzungsfaktor $q = \frac{1}{2}$ haben. Beide liegen in $45 °$ zu $[M N]$ .
(oder: $[A M] = [M D] = [B N] = [N C] = 2 cm$ )
$∡ S N M = 55 °$
$∡ N M S = 90 °$ , da die Spitze senkrecht über $M$ liegt.
Die beiden Geraden (bzw. Halbgeraden) schneiden sich in Punkt $S$ .
Verbinde nun alle Eckpunkte der Pyramide.
Pyramide mit quadratischer Grundfläche
Die Höhe $[M S]$ der Pyramide und die Länge $[S N]$ :
Im rechtwinkligen Dreieck MNS können wir $[M S]$ mithilfe der Trigonometrie berechnen:
$\tan (∡ S N M)$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (∡ S N M)$ $=$ $\frac{M S}{M N}$
$\tan (55 °)$ $=$ $\frac{M S}{8 cm}$
$M S$ $=$ $8 cm \cdot \tan (55 °)$
$M S$ $\approx$ $11,43 cm$
$\cos (∡ S N M)$ $=$ $\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\cos (∡ S N M)$ $=$ $\frac{M N}{S N}$
$\cos (55 °)$ $=$ $\frac{8 cm}{S N}$
$S N$ $=$ $\frac{8 cm}{\cos (55 °)}$
$S N$ $\approx$ $13,95 cm$
Bemerkung: Wir können alternativ $S N$ mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $S M N$ berechnen.
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Punkte $P_{n}$ auf der Strecke $[S N]$ mit $P_{n} S (x) = x cm$ und $x \in ℝ$ und $x \in] 0; 13,95 [$ sind die Spitzen von Pyramiden $B C M P_{n}$ . Punkte $F_{n}$ sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen $[P_{n} F_{n}]$ .

Zeichnen Sie für $x = 5$ die Pyramide $B C M P_{1}$ zusammen mit ihrer Höhe [ $P_{1} F_{1}$ ] in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $∡ S P_{1} M$

$[$ Teilergebnis: $M P_{1} = 7,88 cm$ $]$

Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $B C M P_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V (x) = (- 8,75 x + 121,92) {cm}^{3}$

Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von $x$ das zugehörige Volumen der Pyramiden $B C M P_{n}$ mehr als $34 %$ des Volumens der Pyramide $A B C D S$ beträgt.

Teilaufgabe d
Der Wert x, bei dem das $V_{B C M P_{n}}$ mehr als $34 %$ des $V_{A B C D S}$ beträgt:
Das Volumen der Pyramide $A B C D S$ (mit $h = [M S]$ ):
$V_{A B C D S} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot {(8 cm)}^{2} \cdot 11,43 cm \approx 243,84 {cm}^{3}$
Wenn das Volumen von $B C M P_{n}$ mehr als $34 %$ betragen soll, ist
$V_{B C M P_{n}} ⩾ 243,84 {cm}^{3} \cdot 34 % ⩾ 82,91 {cm}^{3}$ .
$V (x)$ $>$ $82,91$
$(- 8,75 x + 121,92)$ $>$ $82,91$
$- 8,75 x + 121,92$ $>$ $82,91$ $- 121,92$
$- 8,75 x$ $>$ $82,91 - 121,92$
$- 8,75 x$ $>$ $- 39,01$ $: (- 8,75)$
↓
Teilung durch eine negative Zahl --> "das Ungleichheitszeichen dreht sich um"
$x$ $<$ $4,46$
$L =$ ${x | x < 4,46}$
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Unter den Punkten $P_{n}$ hat der Punkt $P_{2}$ die kürzeste Entfernung zu $M$ .

Zeichnen Sie die Pyramide $B C M P_{2}$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ $M P_{2}$ ] sowie den zugehörigen Wert für $x$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

${M P_{1}}^{2}$	$=$	${M N}^{2} + {N P_{1}}^{2} - 2 \cdot M N \cdot N P_{1} \cdot \cos (∡ S N M)$
${M P_{1}}^{2}$	$=$	$(8^{2} + {(13,95 - 5)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (13,95 - 5) \cdot \cos (55 °)) cm$
${M P_{1}}^{2}$	$=$	$(8^{2} + {(8,95)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 8,95 \cdot \cos (55 °)) cm$
$M P_{1}$	$=$	$\sqrt{8^{2} + {(8,95)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 8,95 \cdot \cos (55 °)} cm$
$M P_{1}$	$\approx$	$7,87 cm$

$\sin (∡ S N M)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (∡ S N M)$	$=$	$\frac{P_{n} F_{n}}{P_{n} N}$
$\sin (∡ S N M)$	$=$	$\frac{P_{n} F_{n}}{S N - x}$
$\sin (55 °)$	$=$	$\frac{P_{n} F_{n}}{13,95 cm - x}$	$\cdot (13,95 c m - x)$
$P_{n} F_{n}$	$=$	$\sin (55 °) \cdot (13,95 cm - x)$
$P_{n} F_{n}$	$=$	$(\sin (55 °) \cdot 13,95 cm) - (\sin (55 °) \cdot x)$
$P_{n} F_{n}$	$=$	$11,43 cm - 0,82 x cm$

$V_{P y r a m i d e} (x)$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot B C \cdot M N) \cdot P_{x} F_{x}$
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8) \cdot (11,43 - 0,82 x)) {cm}^{3}$
	$=$	$(\frac{32}{3} \cdot (11,43 - 0,82 x)) {cm}^{3}$
	$=$	$(121,92 - 8,75 x) {cm}^{3}$
	$=$	$(- 8,75 x + 121,92) {cm}^{3}$

$\sin (∡ S N M)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (∡ S N M)$	$=$	$\frac{M P_{2}}{M N}$
$\sin (55 °)$	$=$	$\frac{M P_{2}}{8 cm}$	$\cdot 8 cm$
$M P_{2}$	$=$	$\sin (55 °) \cdot 8 cm$
$M P_{2}$	$\approx$	$6,55 cm$

Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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Teilaufgabe e

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$\tan (∡ S N M)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (∡ S N M)$	$=$	$\frac{M S}{M N}$
$\tan (55 °)$	$=$	$\frac{M S}{8 cm}$
$M S$	$=$	$8 cm \cdot \tan (55 °)$
$M S$	$\approx$	$11,43 cm$

$\cos (∡ S N M)$	$=$	$\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\cos (∡ S N M)$	$=$	$\frac{M N}{S N}$
$\cos (55 °)$	$=$	$\frac{8 cm}{S N}$
$S N$	$=$	$\frac{8 cm}{\cos (55 °)}$
$S N$	$\approx$	$13,95 cm$

$V (x)$	$>$	$82,91$
$(- 8,75 x + 121,92)$	$>$	$82,91$
$- 8,75 x + 121,92$	$>$	$82,91$	$- 121,92$
$- 8,75 x$	$>$	$82,91 - 121,92$
$- 8,75 x$	$>$	$- 39,01$	$: (- 8,75)$
	↓	Teilung durch eine negative Zahl --> "das Ungleichheitszeichen dreht sich um"
$x$	$<$	$4,46$