Ableitung bestimmen

Bilde die 1. Ableitung der Funktion $f(x)=-\frac 1 3 x^3+3x^2-5x$:

$f'(x)=x^2+6x-5$

Kandidaten für Extremstellen der 1. Ableitung suchen

Du suchst die Kandidaten für Extremstellen der 1. Ableitung (Achtung! Nicht von f selbst!).

Das sind die Stellen mit waagerechten Tangenten, also der Steigung 0.

Die 2. Ableitung beschreibt das Steigungsverhalten der 1. Ableitung:

$f''(x)=2x+6$

Die Vielfachheit der Nullstelle $x=3$ ist 1, deshalb handelt es sich um eine Extremstelle von $f'$ (und nebenbei um eine Wendestelle von $f$)

Art der Extremstelle

Die Art der Extremstelle kannst du zum Beispiel über eine Monotonietabelle bestimmen (alternativ über eine Skizze von $G_{f''}$ oder die 3. Ableitung).

Der Graph der 1. Ableitung $G_{f'}$ hat nur eine Extremstelle. Einen Tiefpunkt bei $x=-3$

Lage des Extrempunkts

Du weißt nun, dass bei $x=-3$ ein Tiefpunkt liegt. Allerdings liegt hier nur eine Stelle lokal stärkster Abnahme vor, wenn der Graph $G_f$ tatsächlich zu diesem Zeitpunkt auch fällt. Das bedeutet, dass der Tiefpunkt von $G_{f'}$ unter der x-Achse liegen muss, also $f'(-3)<0$

$f'(-3)=(-3)^2+6\cdot(-3)-5=-14<0 \Rightarrow$ Der Graph $G_f$ fällt für $x=-3$ auch tatsächlich.

Folgerung lokal stärkste Abnahme

Da es sich beim Tiefpunkt $TIP(-3|-14)$ von $G_{f'}$ um einen Tiefpunkt unter der x-Achse handelt, hat der Graph $G_f$ dort zumindest eine Stelle lokal stärkster Abnahme.

Global stärkste Zu- oder Abnahme

Der Graph der Ableitung hat nur einen Extrempunkt, den gerade erwähnten Tiefpunkt. Der Graph der Ableitung ist also eine nach oben geöffnete Parabel.

Damit ist der Tiefpunkt der globale (absolute) Tiefpunkt der Ableitung und somit hat $G_f$ bei x=-3 eine Stelle global stärkster Abnahme.

Es gibt keinen (lokalen oder globalen) Hochpunkt bei $G_{f'}$ und deshalb auch keine Stelle global stärkster Zunahme bei $G_f$.