Lösung zu a

Für diese Teilaufgabe wende den Satz des Pythagoras an.

Das Dreieck $ABC$ ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $\overline{AC}$. Daher gilt:

$\overline{AC}$ = $\sqrt{(\overline{AB}{)}^2+(\overline{BC}{)}^2}$

$\overline{AC}=\sqrt{7^2+6^2}\text{cm}$

$\overline{AC}=\mathrm{9,22}\text{cm}$

Berechne nun den Winkel $\phi =\sphericalangle DCA$

Für die Berechnung des Winkels $\phi$ schau Dir zunächst an, welche Informationen Dir aus der Angabe bekannt sind.

Das Dreieck $ACB$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Seitenlängen Du kennst. Den Winkel $\sphericalangle ACB$ kannst Du mithilfe des Tangens berechnen.

$\tan (\sphericalangle ACB)={\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$

Außerdem weißt Du, dass

$\sphericalangle ACB=\sphericalangle DCB-\phi$ und $\sphericalangle DCB=90°$

Also gilt

$\sphericalangle ACB=90°-\phi$

Daraus folgt:

$\tan (\sphericalangle ACB)=\tan (90°-\phi )$

$\tan (\sphericalangle ACB)={\displaystyle \frac{7}{6}}$

$90°-\phi =\mathrm{49,40}°$

$\phi =\mathrm{40,60}°$

Lösung zu b

Für die Lösung dieser Teilaufgabe benötigst Du den Strahlensatz (V-Figur).

${\displaystyle \frac{\overline{MC}}{\overline{AC}}}={\displaystyle \frac{\overline{EC}}{\overline{DC}}}$

${\displaystyle \frac{\overline{MC}}{\mathrm{9,22}\text{cm}}}={\displaystyle \frac{10\text{cm}-3\text{cm}}{\overline{1}0\text{cm}}}$

$\overline{MC}={\displaystyle \frac{7\text{cm}\cdot \mathrm{9,22}\text{cm}}{10\text{cm}}}=\mathrm{6,45}\text{cm}$

Lösung zu c

Lösung zu d

Für diese Teilaufgabe musst Du wissen, wie man die Kreisbogenlänge berechnet.

$b=U\cdot {\displaystyle \frac{\alpha }{360°}}$

$U=2\cdot \pi \cdot r$

$b=2\cdot \overline{MS}\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{\sphericalangle CME}{360°}}$

Für die Berechnung der Strecke $\overline{MS}$ betrachte das rechtwinklige Dreieck $MSC$.

Bekannt ist Dir bereits der Winkel $\phi$ und die Strecke $\overline{MS}$.

Wende nun die Formel für den Sinus des Winkels $\phi$ an.

$\sin (\phi )={\displaystyle \frac{\overline{MS}}{\overline{MC}}}$

$\sin (\mathrm{40,60}°)={\displaystyle \frac{\overline{MS}}{\mathrm{6,45}\text{cm}}}$

$\overline{MS}=\mathrm{4,20}\text{cm}$

Für die Berechnung des Winkels $\sphericalangle CME$ berechne zunächst $\overline{ME}$.

Hierfür benötigst Du Kosinussatz mit dem Winkel $\phi$.

$(\overline{ME}{)}^2=((\overline{CE}{)}^2+(\overline{MC}{)}^2-2\cdot \overline{CE}\cdot \overline{MC}\cdot \cos \phi ){\text{cm}}^2$

$(\overline{ME}{)}^2=((10-3{)}^2+{\mathrm{6,45}}^2-2\cdot (10-3)\cdot \mathrm{6,45}\cdot \cos \mathrm{40,60}°){\text{cm}}^2$

$\overline{ME}=\mathrm{4,69}\text{cm}$

Für die Berechnung des Winkels $\sphericalangle CME$ benutze nochmals den Kosinussatz mit dem Winkel $\sphericalangle CME$.

$(\overline{CE}{)}^2=(\overline{ME}{)}^2+(\overline{MC}{)}^2-2\cdot \overline{ME}\cdot \overline{MC}\cdot \cos \sphericalangle CME$

$(10-3{)}^2={\mathrm{4,69}}^2+{\mathrm{6,45}}^2-2\cdot \mathrm{4,69}\cdot \mathrm{6,45}\cdot \cos \sphericalangle CME$

$\sphericalangle CME=\mathrm{76,04}°$

$b=2\cdot \mathrm{4,20}\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{76,04}°}{360°}}\text{cm}$

$b=\mathrm{5,57}\text{cm}$

Die Länge des Kreisbogens $b=\mathrm{5,57}\text{cm}.$