Lösung zu a

Für diese Teilaufgabe wende den Satz des Pythagoras an.

Das Dreieck $ABC$ ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $\overline {AC}$. Daher gilt:

$\overline {AC}$ = $\sqrt{(\overline {AB})²+(\overline {BC})^2}$

$\overline {AC}= \sqrt{7²+6²}\;\text{cm}$

$\overline {AC}= 9{,}22\;\text{cm}$

Berechne nun den Winkel $\varphi=\sphericalangle DCA$

Für die Berechnung des Winkels $\varphi$ schau Dir zunächst an, welche Informationen Dir aus der Angabe bekannt sind.

Das Dreieck $ACB$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Seitenlängen Du kennst. Den Winkel $\sphericalangle ACB$ kannst Du mithilfe des Tangens berechnen.

$\tan(\sphericalangle ACB)= \dfrac{\overline {AB}}{\overline {BC}}= \dfrac{7}{6}$

Außerdem weißt Du, dass

$\sphericalangle ACB=\sphericalangle DCB-\varphi$ und $\sphericalangle DCB=90°$

Also gilt

$\sphericalangle ACB=90°-\varphi$

Daraus folgt:

$\tan(\sphericalangle ACB)=\tan (90°-\varphi)$

$\tan(\sphericalangle ACB)= \dfrac{7}{6}$

$90°-\varphi=49{,}40°$

$\varphi=40{,}60°$

Lösung zu b

Für die Lösung dieser Teilaufgabe benötigst Du den Strahlensatz (V-Figur).

$\dfrac{\overline {MC}}{\overline {AC}}=\dfrac{\overline {EC}}{\overline {DC}}$

$\dfrac{\overline {MC}}{9{,}22\;\text{cm}}=\dfrac{10\;\text{cm}-3\;\text{cm}}{\overline 10\;\text{cm}}$

$\overline {MC}= \dfrac{7\;\text{cm}\cdot9{,}22\;\text{cm}}{10\;\text{cm}}=6{,}45\;\text{cm}$

Lösung zu c

Lösung zu d

Für diese Teilaufgabe musst Du wissen, wie man die Kreisbogenlänge berechnet.

$b=U\cdot\dfrac{\alpha}{360°}$

$U=2\cdot\pi\cdot r$

$b=2 \cdot\overline{MS} \cdot \pi\cdot\dfrac{\sphericalangle{CME}}{360°}$

Für die Berechnung der Strecke $\overline {MS}$ betrachte das rechtwinklige Dreieck $MSC$.

Bekannt ist Dir bereits der Winkel $\varphi$ und die Strecke $\overline{MS}$.

Wende nun die Formel für den Sinus des Winkels $\varphi$ an.

$\sin(\varphi)=\dfrac{\overline{MS}}{\overline{MC}}$

$\sin(40{,}60°)=\dfrac{\overline{MS}}{6{,}45\;\text{cm}}$

$\overline{MS}=4{,}20\;\text{cm}$

Für die Berechnung des Winkels $\sphericalangle{CME}$ berechne zunächst $\overline {ME}$.

Hierfür benötigst Du Kosinussatz mit dem Winkel $\varphi$.

$(\overline{ME})²=\left((\overline{CE})²+(\overline{MC})²-2\cdot\overline{CE}\cdot \overline{MC}\cdot \cos \varphi\right)\;\text{cm}^2$

$(\overline{ME})²=\left((10-3)²+6{,}45²-2\cdot(10-3)\cdot 6{,}45\cdot \cos 40{,}60°\right)\;\text{cm}²$

$\overline{ME}=4{,}69\;\text{cm}$

Für die Berechnung des Winkels $\sphericalangle{CME}$ benutze nochmals den Kosinussatz mit dem Winkel $\sphericalangle{CME}$.

$(\overline{CE})²=(\overline{ME})²+(\overline{MC})²-2\cdot \overline{ME}\cdot \overline{MC}\cdot \cos \sphericalangle{CME}$

$(10-3)²=4{,}69²+6{,}45²-2\cdot 4{,}69\cdot 6{,}45\cdot \cos \sphericalangle{CME}$

$\sphericalangle{CME}=76{,}04°$

$b=2\cdot 4{,}20\cdot \pi\cdot\dfrac{76{,}04°}{360°}\;\text{cm}$

$b=5{,}57\;\text{cm}$

Die Länge des Kreisbogens $b=5{,}57\;\text{cm}.$