Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest Du hier als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers, der das Glas einer Sanduhr darstellt.

Es gilt: $M C = M E = M D = r = 10 mm; A G = 2 mm; ∢ F B A = 59 °; [B C] ‖ [E F]; [A G] ‖ [B F]$
Die beiden Hälften des Glases sind jeweils $50 mm$ hoch. Die untere Hälfte ist bis zur Fülllinie $B F$ mit Sand gefüllt.
Wird die Sanduhr umgedreht, rieseln pro Sekunde durchschnittlich $50 {mm}^{3}$ des Sandes von der oberen in die untere Hälfte des Glases. Berechnen Sie, nach welcher Zeit sich der Sand wieder vollständig in der unteren Hälfte des Glases befindet.
Runden Sie auf Ganze.
$[$ Teilergebnis: $B C = 25 mm$ $]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen zusammengesetzter Körper
Um das Volumen des Sands in der Sanduhr zu bestimmen, müssen wir das Volumen des Sands in der unteren Halbkugel mit dem Volumen des Sands im Zylinder addieren.
$\begin{array}{rcl} V_{S a n d} & = & V_{H a l b k u g e l} + V_{Z y l i n d e r} \\ = & \frac{1}{2} V_{K u g e l} + V_{Z y l i n d e r} \end{array}$
Um $V_{K u g e l}$ zu bestimmen, benutzt du die Formel für das Kugelvolumen, also
$V_{K u g e l} = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot (10 mm)^{3}$
Jetzt fehlt nur noch das Volumen des mit Sand gefüllten Zylinders. Das wird ein wenig schwieriger.
Das Volumen eines Zylinders bestimmt man über die Formel
$V_{Z y l i n d e r} = π r^{2} h$
Die Höhe des Zylinders ist jedoch nicht angegeben und muss über andere Angaben aus der Aufgabenstellung ermittelt werden. Eine Skizze hilft dir oft, klarer zu sehen, was gegeben ist und was nicht.
Da die Höhe der unteren Sanduhrhälfte angegeben ist, können wir $h$ bestimmen, indem wir die Höhe des oberen Kegelstumpfs $k$ berechnen.
$50 mm = D M + h + k$
$D M$ ist wiederrum gegeben, aber wir müssen noch ein wenig rechnen, um $k$ zu bestimmen.
Bestimmung von k
Aus der Angabe kannst du rauslesen, dass $A G = 2 mm$ und $∢ F B A = 59 °$ .
Durch diese Angaben lässt sich ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen.
Die Länge $A G$ ist angegeben. Um die untere Seitenlänge des Dreiecks zu bestimmen und $[A G] | | [B F]$ ist, ist die Seitenlänge $r - 1 mm = 10 mm - 1 mm = 9 mm$ .
Mit dem Tangens kannst du dann $k$ bestimmen:
$\begin{array}{lrcl} \tan (59 °) & = & \frac{k}{9 mm} \\ \Leftrightarrow & k & = & \tan (59 °) \cdot 9 mm \\ \Leftrightarrow & k & \approx & 15 mm \end{array}$
Das Schlimmste ist nun geschafft!
Berechnung von $h$
Jetzt kannst du die Formel von oben nutzen, um $h$ zu bestimmen.
$50 mm = M D + h + k = r + h + k$
$r$ und $k$ kennst du mittlerweile. So ergibt sich für $h$ :
$h = 50 mm - r - k = 50 mm - 10 mm - 15 mm = 25 mm$
Berechnung des Zylindervolumens
Jetzt, wo du $h$ bestimmt hast, kannst du das Zylindervolumen endlich berechnen. Setze dafür $h$ in die Formel von oben ein:
$V_{Z y l i n d e r} = π r^{2} h_{} = π \cdot (10 mm)^{2} \cdot 25 mm$
Bestimmung des Volumens des Sands in der Sanduhr
Nun kannst du die Volumen des Sands im Zylinder und der Halbkugel addieren und bekommst das Volumen des Sands in der Sanduhr:
$\begin{array}{rcl} V_{S a n d} & = & \frac{1}{2} V_{K u g e l} + V_{Z y l i n d e r} \\ = & (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot π \cdot 10^{3} + π \cdot 10^{2} \cdot 25) {mm}^{3} \\ = & 9948 {mm}^{3} \end{array}$
(auf Ganze gerundet)
Bestimmung der Zeit bis der Sand durchläuft
Pro Minute laufen $50 {mm}^{3}$ Sand von einer Seite der Sanduhr auf die andere. Somit braucht es $\frac{9948 {mm}^{3}}{50 \frac{{mm}^{3}}{s}} \approx 199 s$ bis der Sand durchgelaufen ist.
Um hier zu berechnen, wie lange der Sand braucht, um von der einen Hälfte des Sanduhr in die andere zu fließen, muss man das Volumen des Sands in der Sanduhr bestimmen. Jedoch muss man auf dem Weg zur Lösung ein paar der nötigen Längen dafür bestimmen.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einem Wald leben derzeit $500$ Eichhörnchen. Man nimmt an, dass sich die Anzahl $y$ der Eichhörnchen nach $x$ Jahren näherungsweise durch die Funktion $f : y = 500 \cdot {1,03}^{x} (𝔾 = ℝ_{0}^{+} \times ℝ_{0}^{+})$ bestimmen lässt.
1. Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Hunderter gerundet und zeichnen Sie sodann den Graphen der Funktion $f$ in das Koordinatensystem ein.
  
  Lösung zu a
  Ergänze zunächst die Tabelle
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2. Bestimmen Sie mithilfe des Graphen der Funktion $f$ , nach wie vielen Jahren sich die ursprüngliche Anzahl der Eichhörnchen erstmals versechsfacht haben wird.
  
  Lösung zu b
  Zeichne den Graphen anhand der in der Tabelle ermittelten Zahlen und lese den x-Wert der Funktion ab, wenn der y-Wert dem 6-fachen des Ausgangswertes von 500 entspricht, also $500 \cdot 6 = 3000$ .
  Nach etwa $61$ Jahren hat sich die Anzahl der Eichhörnchen versechsfacht.
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3. Ermitteln Sie rechnerisch, um wie viel Prozent die Anzahl der Eichhörnchen in einem Zeitraum von sieben Jahren zunehmen wird.
  
  Lösung zu c
  Für diese Teilaufgabe benötigst Du die Prozentrechnung.
  Berechne zunächst, wie hoch die Anzahl der Eichhörnchen nach $7$ Jahren ist.
  $y = 500 \cdot {1,03}^{7} = 500 \cdot 1,23 = 615$
  Nach $7$ Jahren beträgt die Anzahl der Eichhörnchen $615$ .
  Berechne nun, um wie viel Prozent die Anzahl der Eichhörnchen zugenommen hat.
  $\frac{615}{500} = 1,23$
  Die Anzahl der Eichhörnchen hat um $23 %$ zugenommen.
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3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Zeichnung zeigt das Trapez $A B C D$ . Der Punkt $F$ liegt auf der Strecke $[A B]$ , der Punkt $E$ liegt auf der Strecke $[C D]$ und die Diagonale $[A C]$ schneidet die Strecke $[E F]$ im Punkt $M$ .
Es gilt: $A B = 7 cm$ ; $B C = 6 cm$ ; $C D = 10 cm$ ; $∢ C B A = 90 °$ ; $∢ D C B$ = $90 °$ ; $A F = D E = 3 cm$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Berechnen Sie die Länge der Diagonalen $[A C]$ sowie das Maß $φ$ des Winkels $D C A$ .
  $[$ Ergebnisse: $A C = 9,22 cm; φ = 40,60 °$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  Lösung zu a
  Für diese Teilaufgabe wende den Satz des Pythagoras an.
  Das Dreieck $A B C$ ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $A C$ . Daher gilt:
  $A C$ = $\sqrt{(A B)^{2} + (B C)^{2}}$
  $A C = \sqrt{7^{2} + 6^{2}} cm$
  $A C = 9,22 cm$
  Berechne nun den Winkel $φ = ∢ D C A$
  Für die Berechnung des Winkels $φ$ schau Dir zunächst an, welche Informationen Dir aus der Angabe bekannt sind.
  Das Dreieck $A C B$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Seitenlängen Du kennst. Den Winkel $∢ A C B$ kannst Du mithilfe des Tangens berechnen.
  $\tan (∢ A C B) = \frac{A B}{B C} = \frac{7}{6}$
  Außerdem weißt Du, dass
  $∢ A C B = ∢ D C B - φ$ und $∢ D C B = 90 °$
  Also gilt
  $∢ A C B = 90 ° - φ$
  Daraus folgt:
  $\tan (∢ A C B) = \tan (90 ° - φ)$
  $\tan (∢ A C B) = \frac{7}{6}$
  $90 ° - φ = 49,40 °$
  $φ = 40,60 °$
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2. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecke $[M C]$ gilt: $M C =$ $6,45 cm$ .
  
  Lösung zu b
  Für die Lösung dieser Teilaufgabe benötigst Du den Strahlensatz (V-Figur).
  $\frac{M C}{A C} = \frac{E C}{D C}$
  $\frac{M C}{9,22 cm} = \frac{10 cm - 3 cm}{10 cm}$
  $M C = \frac{7 cm \cdot 9,22 cm}{10 cm} = 6,45 cm$
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3. Ein Kreis um $M$ berührt die Strecke $[C E]$ im Punkt $S$ und schneidet die Strecke $[M C]$ im Punkt $G$ sowie die Strecke $[M E]$ im Punkt $H$ .
  Zeichnen Sie den Berührpunkt $S$ und den Kreisbogen $\overset{⌢}{G}$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.
  
  Lösung zu c
  Trapez mit Kreisbogen
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4. Berechnen Sie die Länge $b$ des Kreisbogens $\overset{⌢}{G}$ .
  $[$ Teilergebnisse: $M S = 4,20 cm; ∢ C M E = 76,04 °$ $]$
  
  Lösung zu d
  Für diese Teilaufgabe musst Du wissen, wie man die Kreisbogenlänge berechnet.
  $b = U \cdot \frac{α}{360 °}$
  $U = 2 \cdot π \cdot r$
  $b = 2 \cdot M S \cdot π \cdot \frac{∢ C M E}{360 °}$
  Für die Berechnung der Strecke $M S$ betrachte das rechtwinklige Dreieck $M S C$ .
  Bekannt ist Dir bereits der Winkel $φ$ und die Strecke $M S$ .
  Wende nun die Formel für den Sinus des Winkels $φ$ an.
  $\sin (φ) = \frac{M S}{M C}$
  $\sin (40,60 °) = \frac{M S}{6,45 cm}$
  $M S = 4,20 cm$
  Für die Berechnung des Winkels $∢ C M E$ berechne zunächst $M E$ .
  Hierfür benötigst Du Kosinussatz mit dem Winkel $φ$ .
  $(M E)^{2} = ((C E)^{2} + (M C)^{2} - 2 \cdot C E \cdot M C \cdot \cos φ) {cm}^{2}$
  $(M E)^{2} = ((10 - 3)^{2} + {6,45}^{2} - 2 \cdot (10 - 3) \cdot 6,45 \cdot \cos 40,60 °) {cm}^{2}$
  $M E = 4,69 cm$
  Für die Berechnung des Winkels $∢ C M E$ benutze nochmals den Kosinussatz mit dem Winkel $∢ C M E$ .
  $(C E)^{2} = (M E)^{2} + (M C)^{2} - 2 \cdot M E \cdot M C \cdot \cos ∢ C M E$
  $(10 - 3)^{2} = {4,69}^{2} + {6,45}^{2} - 2 \cdot 4,69 \cdot 6,45 \cdot \cos ∢ C M E$
  $∢ C M E = 76,04 °$
  $b = 2 \cdot 4,20 \cdot π \cdot \frac{76,04 °}{360 °} cm$
  $b = 5,57 cm$
  Die Länge des Kreisbogens $b = 5,57 cm .$
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