Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B4

Das Trapez $ABCD$ mit $\overline{AD}\parallel \overline{BC}$ ist die Grundfläche des Prismas $ABCDEFGH$ mit der Höhe $\overline{AE}$ (siehe Skizze).

Es gilt: $\overline{AB}= 5{,}5 \;\text{cm}$ ; $\overline{AD}= 8 \;\text{cm}$ ;

$\sphericalangle BAD = 90^\circ$ ; $\overline{BC}= 6 \;\text{cm}$ ; $\overline{AE} = 9 \;\text{cm}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ und die Strecke $\overline{AF}$ , wobei die Strecke $\overline{AB}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $B$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega =45^\circ$ .
Zeigen Sie sodann, dass für das Maß des Winkels $FAE$ gilt: $\sphericalangle FAE = 31{,}43^\circ$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
Zeichnung Schrägbild Prisma:
Berechnung $∢FAE$ mithilfe des Tangens
(Im folgenden wird abgekürzt: AK: Ankathete, GK: Gegenkathete und HY: Hypotenuse)
$\tan( \sphericalangle FAE)=\left[\dfrac{GK}{AK}\right]=\frac {|\overline{EF}|}{|\overline{AE}|}=\frac {5{,}5 ~cm}{9 ~cm}= 0,\overline6$
$\Rightarrow \sphericalangle FAE=31{,}43°$
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Zeichne das Schrägbild des Prismas.
Berechne das Maß des Winkels $FAE$ mit dem Tangens.

Punkte $S_n$ liegen auf der Strecke $\overline{AF}$ . Die Winkel $AES_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in\; ]0^\circ; 90^\circ]$ . Die Punkte $S_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABCDS_n$ mit den Höhen $\overline{S_nT_n}$ .

Es gilt: $T_n \in\overline{AB}$ .

Zeichnen Sie für $\varphi =70^\circ$ die Strecke $\overline{ES_1 }$ , die Pyramide $ABCDS_1$ und die Höhe $\overline{S_1T_1}$ in das Schrägbild zu a) ein.

Ermitteln Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecken $\overline{AS_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ .

(3,5 P)

$[$ Teilergebnis: $\left|\overline{AS_n}(\varphi)\right|= \dfrac{9\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+31{,}43^\circ)} \;\text{cm}]$

In der Pyramide $ABCDS_2$ gilt: $\left|\overline{AT_2}\right|= 3{,}5 \;\text{cm}$ .

Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AS_2}$ sowie den zugehörigen Wert für $\varphi$ . (3,5 P)

$[$ Teilergebnis: $\left|\overline{AS_2}\right|= 6{,}71 \;\text{cm}]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens

Länge der Strecke berechnen

$\displaystyle \displaystyle\cos φ$	$=$	$\displaystyle {\dfrac{\text{AK}}{\text{HY}}}$
$\displaystyle \cos(90°-31{,}43°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3{,}5\;\text{cm}}{\overline {AS_2}}$
	↓	auflösen nach $\overline{AS_2}$
$\displaystyle \displaystyle\|\overline {AS_2}\|$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3{,}5\;\text{cm}}{\cos(58{,}57°)}$
$\displaystyle \displaystyle\|\overline {AS_2}\|$	$=$	$\displaystyle 6{,}71$

Berechnung von $φ$ mit der allgemeinen Formel aus b

$\displaystyle 6{,}71$	$=$	$\displaystyle \dfrac{9\;\cdot \sin φ}{\sin (φ+31{,}43^\circ)}$
$\displaystyle \displaystyle\frac{6{,}71}{9}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sin φ}{\sin (\color{red}φ\color{black}+\color{green}31{,}43^\circ\color{black})}$
	↓	mit Additionstheorem für Sinus: $\sin(\color{red}α\color{black}+\color{green}β\color{black})=\sin \color{red}α\color{black}\cdot\cos \color{green}β\color{black}+\cdot\sin \color{green}β\color{black}\cdot\cos \color{red}α$
$\displaystyle 0{,}746$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sin φ}{\sin\color{red} φ\color{black}\cdot \text{cos}(\color{green}31{,}43\color{black})+\text{sin}(\color{green}31{,}43\color{black})\cdot\cos \color{red}φ}$
$\displaystyle 0{,}746$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sin φ}{\sin φ\color{black}\cdot 0{,}85\color{black}+0{,}52\cdot\cos φ}$	$\displaystyle \cdot \sin⁡(φ)\cdot0{,}853+0{,}521\cdot \cos⁡(φ)$
$\displaystyle \sin⁡(φ)$	$=$	$\displaystyle 0{,}746\cdot[(\sin⁡(φ)\cdot 0{,}853+0{,}521\cdot \cos⁡(φ)]$
$\displaystyle \sin⁡(φ)$	$=$	$\displaystyle 0{,}636\cdot \sin⁡(φ)+0{,}389\cdot \cos⁡(φ)$	$\displaystyle :\sin(φ)$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}636\cdot \sin⁡(φ)}{\sin⁡(φ)}+\dfrac{0{,}389\cdot\cos⁡(φ)}{\sin⁡⁡(φ)}$
	↓	$\sin⁡⁡(φ)$ im ersten Bruch kürzen
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 0{,}636+0{,}389 \cdot \dfrac{\cos⁡(φ)}{\sin⁡(φ)}$
	↓	ersetze $\frac {\sin⁡(φ)}{\cos⁡(φ)} =\tan⁡(φ)$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 0{,}636+0{,}389 \frac{1}{\tan⁡(φ)}$	$\displaystyle 0{,}636$
$\displaystyle 0{,}364$	$=$	$\displaystyle 0{,}389 \frac{1}{\tan⁡(φ)}$	$\displaystyle :0{,}388$
$\displaystyle \frac{0{,}364}{0{,}389}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\tan⁡(φ)}$
	↓	Kehrbruch
$\displaystyle \tan⁡(φ)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}389}{0{,}363}$	$\displaystyle \text{tan}^{-1}$
$\displaystyle φ$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\dfrac{0{,}389}{0{,}364}\right)=46{,}90^\circ$

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Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCDS_n$ in
Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\dfrac{98{,}56\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+31{,}43^\circ)} \;\text{cm}^3$ . (3 P)
Volumen der Pyramide
Allgemein gilt:
${V_\text{{Pyr}}=\frac{1}{3}\cdot G_{\text{Trapez}\: ABCD}\cdot h_{\text{Pyramide}\:ABCDS_n }}$
$\quad$ mit $G_{\text{Trapez}\: ABCD}=\frac{1}{2}\cdot (|\overline {AD}|+|\overline {BC}|)\cdot|\overline {AB}|$ und
$\quad$ mit $h_{\text{Pyramide}\:ABCDS_n}= |\overline{S_nT_n}|$
${\Rightarrow V_{Pyr}=\frac{1}{3}\cdot\frac {1}{2}\cdot(|\overline {AD}|+|\overline {BC}|)\cdot|\overline {AB}|\cdot |\overline{S_nT_n}|}$
Bekannt ist schon:
$|\overline{AD}|=8\:cm$
$|\overline{BC}|=6\:cm$
$|\overline{AB}| =5{,}5\:cm$
Die noch fehlende Größe $|\overline{S_nT_n}|$ wird berechnet
$\displaystyle\color{red}\sin(90°-31{,}43°)\color{black}=[\frac{GK}{HY}]=\frac{|\overline{S_nT_n}|}{\color{green}\overline {|AS_n |}}$
Hierbei sind $\displaystyle\color{green}|{\overline {AS_n}}|\color{black}=\frac{9\cdot{\sin φ}}{\sin(φ+31{,}43°)}$ (vgl. Aufgabe 4 b)
und $\color{red}\sin(90°-31{,}43°)= \sin (58{,}57°)\approx 0{,}853$
Damit wird
$\displaystyle|\overline {S_nT_n}|=\color{red}0{,}853\color{black}\cdot \color{green}|\overline {AS_n}|\color{black}=0{,}853\cdot\frac{9\cdot{\sin φ}}{\sin(φ+31{,}43°)}=7{,}68\cdot{\frac{\sin φ}{\sin(φ+31{,}43°)}}$
Wir setzen $|\overline{S_nT_n}|$ in die vorher aufgestellte Formel ein
$\displaystyle\Rightarrow {V_{\text{Pyr}}=\frac{1}{3}\cdot\frac {1}{2}\cdot(8+6)\cdot5{,}5\cdot 7{,}68\cdot \frac{{\sin φ}}{\sin(φ+31{,}43°)}}$
$\Rightarrow {V_{\text{Pyr}(φ)}=98{,}56\cdot \dfrac{{\sin φ}}{\sin(φ+31{,}43°)}}$
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Berechne des Volumens $V$ der Pyramide $ABCDS_n$ .
Bestimme dazu die Länge $|\overline{S_nT_n}|$ mit dem Sinus.

Unter den Strecken $\overline{ES_n}$ hat die Strecke $\overline{ES_0}$ die minimale Länge.

Begründen Sie, dass für die zugehörige Belegung für $\varphi$ gilt: $\varphi= 58{,}57^\circ$ .

Berechnen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $ABCDS_0$ am Volumen des Prismas $ABCDEFGH$ . (3,5 P)

$\displaystyle \displaystyle\frac{\|\overline {AS_n}\|}{\|\overline {AE}\|}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sin \color{red}φ\color{black}}{\sin (\color{green}180°-(φ+31{,}43)\color{black})}$	$\displaystyle \cdot \|\overline {AE}\|$
$\displaystyle \|\overline {AS_n}\|$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\|\overline {AE}\|\cdot\sin φ}{\sin (180°-(φ+31{,}43))}$
	↓	$\|\overline {AE}\|$ einsetzen
$\displaystyle \|\overline {AS_n}\|$	$=$	$\displaystyle \dfrac{9\cdot\sin φ}{\sin (180°-(φ+31{,}43))}$

	$\displaystyle 98{,}56\cdot \dfrac{{\sin\color{blue} φ\color{black}}}{\sin(\color{blue}φ\color{black}+31{,}43°)}$
	↓ Wert $φ=58{,}57°$ einsetzen
$=$	$\displaystyle 98{,}56\cdot \frac{{\sin (\color{blue}58{,}57°\color{black})}}{\sin(\color{blue}58{,}57°\color{black}+31{,}43°)}$
$=$	$\displaystyle 98{,}56\cdot \frac{{\sin (58{,}57°)}}{\sin(90°)}$
$=$	$\displaystyle 98{,}56\cdot \frac{{0{,}853}}{1}$
$=$	$\displaystyle 84{,}07\:cm^3$

Aufgabe B4

Zeichnung Schrägbild Prisma:

Berechnung $∢FAE$ mithilfe des Tangens

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Zeichnung

Berechnung der Strecke $|\overline{AS_n}|$ mithilfe der Verhältnisgleichung der Strecken $|\overline{AS_n}|$ und $|\overline{AE}|$ und deren Sinus

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Länge der Strecke berechnen

Berechnung von $φ$ mit der allgemeinen Formel aus b

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Volumen der Pyramide

Die noch fehlende Größe $|\overline{S_nT_n}|$ wird berechnet

Wir setzen $|\overline{S_nT_n}|$ in die vorher aufgestellte Formel ein

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Nun berechnen wir das Volumen mit der Formel aus d

Jetzt berechnen wir das Gesamtvolumen des Prismas

Zuletzt berechnen wir mit den beiden Volumen den prozentualen Anteil

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Aufgabe B4

Zeichnung Schrägbild Prisma:

Berechnung ∢FAE∢FAE ∢FAE mithilfe des Tangens

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Zeichnung

Berechnung der Strecke ∣ASn‾∣|\overline{AS_n}|∣ASn​​∣ mithilfe der Verhältnisgleichung der Strecken ∣ASn‾∣|\overline{AS_n}|∣ASn​​∣ und ∣AE‾∣|\overline{AE}|∣AE∣ und deren Sinus

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Länge der Strecke berechnen

Berechnung von φφφ mit der allgemeinen Formel aus b

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Volumen der Pyramide

Die noch fehlende Größe ∣SnTn‾∣|\overline{S_nT_n}|∣Sn​Tn​​∣ wird berechnet

Wir setzen ∣SnTn‾∣|\overline{S_nT_n}|∣Sn​Tn​​∣ in die vorher aufgestellte Formel ein

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Nun berechnen wir das Volumen mit der Formel aus d

Jetzt berechnen wir das Gesamtvolumen des Prismas

Zuletzt berechnen wir mit den beiden Volumen den prozentualen Anteil

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Berechnung $∢FAE$ mithilfe des Tangens

Berechnung der Strecke $|\overline{AS_n}|$ mithilfe der Verhältnisgleichung der Strecken $|\overline{AS_n}|$ und $|\overline{AE}|$ und deren Sinus

Berechnung von $φ$ mit der allgemeinen Formel aus b

Die noch fehlende Größe $|\overline{S_nT_n}|$ wird berechnet

Wir setzen $|\overline{S_nT_n}|$ in die vorher aufgestellte Formel ein